対称性から組み立てる力学（発展）

速度の関数の微分と座標の取り替え

著者：柚木芹香

本体の節では， $v^{2}$ の関数を速度の成分で微分し，全微分が速度について1次式であることを使いました．ここでその計算を確かめ，ラグランジアンを別の座標で書き直す練習をします．

定理数学の道具： $v^{2}$ の関数の微分

$v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ の関数 $L (v^{2})$ を $v_{x}$ で偏微分すると，合成関数の微分により

\frac{\partial L}{\partial v_{x}} = L^{'} (v^{2}) \frac{\partial (v^{2})}{\partial v_{x}} = 2 L^{'} (v^{2}) v_{x}

である．3つの成分をまとめて $\partial L / \partial v = 2 L^{'} (v^{2}) v$ と書く．

本体の節で， $\partial L / \partial v$ が一定のベクトル $c$ になることを見ました． $2 L^{'} (v^{2}) v = c$ から，まず $v$ の向きは $c$ の向きに固定されます．大きさは $2 | L^{'} (v^{2}) | v = | c |$ を満たし，ふつうこの式は $v$ を1つに決めるので， $v$ も一定です．こうして速度ベクトルが一定，つまり等速直線運動になります．

定理数学の道具：全微分は速度について1次

位置と時刻の関数 $F (r, t)$ を，運動に沿って時間で微分すると

\frac{d F}{d t} = \frac{\partial F}{\partial x} \dot{x} + \frac{\partial F}{\partial y} \dot{y} + \frac{\partial F}{\partial z} \dot{z} + \frac{\partial F}{\partial t}

で，速度の成分について1次式（定数項を含む）になる．したがって，速度について2次以上の項を含む関数は，このような全微分では書けない．

練習1　 $L = \frac{1}{2} m v^{2}$ で，速度を $v = v^{'} + V$ （ $V$ は一定）と書き直したときに増える項 $m v^{'} \cdot V + \frac{1}{2} m V^{2}$ が， $F = m r^{'} \cdot V + \frac{1}{2} m V^{2} t$ の全微分であることを確かめよ．

練習2　 $L = a v^{4}$ （ $a$ は定数）で同じ書き直しをし， $V$ について1次の項を求めよ．それが全微分で書けない理由を述べよ．

答え　練習1： $d (r^{'} \cdot V) / d t = v^{'} \cdot V$ なので， $d F / d t = m v^{'} \cdot V + \frac{1}{2} m V^{2}$ ．練習2： $v^{4} = (v^{2})^{2}$ で $v^{2} = v^{' 2} + 2 v^{'} \cdot V + V^{2}$ なので， $V$ について1次の項は $4 a v^{' 2} v^{'} \cdot V$ ．これは速度について3次なので，速度について1次の全微分では書けない．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

平面上の自由な粒子を，極座標 $(r, θ)$ で表す．

$x = r \cos θ$ ， $y = r \sin θ$ から， $v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}$ を示し，ラグランジアン $L$ を $r, θ, \dot{r}, \dot{θ}$ で書け．
$r$ と $θ$ についてのオイラー＝ラグランジュ方程式を書け．
直線 $y = b$ の上を一定の速さ $u$ で進む運動が，(2) の方程式を満たすことを， $r^{2} \dot{θ}$ に注目して確かめよ．

**［図：等速直線運動の極座標］**
粒子Pは直線y = bの上を速さuで右へ進む．rはOPの長さ，θはx軸から反時計回りに測った角．

解答を見る

考え方 一般化座標は角度でもよい． $L$ を新しい座標で書けば，あとはオイラー＝ラグランジュ方程式を機械的に立てるだけである．

$\dot{x} = \dot{r} \cos θ - r \dot{θ} \sin θ$ ， $\dot{y} = \dot{r} \sin θ + r \dot{θ} \cos θ$ ．2乗して足すと交差項が打ち消し合い， $v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}$ ．したがって

L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2})

$r$ について： $\partial L / \partial \dot{r} = m \dot{r}$ ， $\partial L / \partial r = m r {\dot{θ}}^{2}$ より $m \ddot{r} - m r {\dot{θ}}^{2} = 0$ ． $θ$ について： $\partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ}$ ， $\partial L / \partial θ = 0$ より

\frac{d}{d t} (m r^{2} \dot{θ}) = 0

$x = u t$ ， $y = b$ とすると， $\tan θ = b / (u t)$ ． $r^{2} \dot{θ} = x \dot{y} - y \dot{x} = u t \cdot 0 - b \cdot u = - b u$ で一定なので， $θ$ の方程式を満たす． $r$ の方程式は， $r^{2} = u^{2} t^{2} + b^{2}$ から $r \dot{r} = u^{2} t$ ，さらに微分して ${\dot{r}}^{2} + r \ddot{r} = u^{2}$ ． ${\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2} = v^{2} = u^{2}$ と比べると $r \ddot{r} = r^{2} {\dot{θ}}^{2}$ ，つまり $\ddot{r} = r {\dot{θ}}^{2}$ で，これも満たす．

確かめ：極座標では $\ddot{r} \neq 0$ でも，それは向きが回ることの効果で，運動は直線のままである． $r$ の方程式の $r {\dot{θ}}^{2}$ の項は，第10章の極座標の加速度に出てきた項と同じものである．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $2.0 kg$ の自由な粒子が，慣性系 K' で $x^{'}$ 軸に沿って $2.0 s$ の間に $4.0 m$ 進む．K' は，別の慣性系 K に対して $x$ 軸の正の向きに $3.0 m s^{- 1}$ で動いている．

この運動の作用を K' と K で求め，差を答えよ．
K' で同じ両端を結ぶ別の経路を考えると，K での作用との差はどうなるか．それが「両方の系で同じ経路が選ばれる」ことを意味する理由を述べよ．

解答を見る

考え方 作用は $\frac{1}{2} m v^{2}$ の時間積分．等速なら $\frac{1}{2} m v^{2} \times$ （時間）．経路を変えたときは，練習1の全微分の形を使う．

K' での速さは $2.0 m s^{- 1}$ なので， $S^{'} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times {2.0}^{2} \times 2.0 = 8.0 J s$ ．K での速さは $5.0 m s^{- 1}$ なので， $S = \frac{1}{2} \times 2.0 \times {5.0}^{2} \times 2.0 = 50 J s$ ．差は $42 J s$ ．
練習1から，K の作用は K' の作用に

{[m x^{'} V + \frac{1}{2} m V^{2} t]}_{t_{1}}^{t_{2}} = m V Δ x^{'} + \frac{1}{2} m V^{2} Δ t = 2.0 \times 3.0 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times {3.0}^{2} \times 2.0 = 42 J s

を足したものである．これは両端の値だけで決まるので，両端を同じにした経路なら，どの経路でも差は同じ $42 J s$ ．K' で作用が停留する経路では，K でも停留するので，両方で同じ経路が実際の運動として選ばれる．

確かめ：(1) の差は (2) の式の値と一致する．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

慣性系 K の $x y$ 平面で，自由な粒子のラグランジアンは $L = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2})$ である．K に対して原点のまわりに一定の角速度 $ω$ で反時計回りに回る座標系 K' の座標 $(x^{'}, y^{'})$ を

x = x^{'} \cos ω t - y^{'} \sin ω t, y = x^{'} \sin ω t + y^{'} \cos ω t

で定める．

$L$ を $x^{'}, y^{'}, {\dot{x}}^{'}, {\dot{y}}^{'}$ で書け．
$x^{'}$ と $y^{'}$ についてのオイラー＝ラグランジュ方程式を求めよ．
K' が慣性系でないことを，ラグランジアンの形と運動の両方から説明せよ．

［図：同じ運動を回る座標系から見る］

左ではx = 0.50 + 0.40t，y = 0.60の等速直線運動．右は原点が共通で反時計回りにω = 0.80 rad s⁻¹で回る軸から見た同じ粒子．薄い線は表示する全経路，青い線と点は経過した部分と現在の状態．時刻を操作でき，動きを減らす設定では自動再生しない．

解答を見る

考え方 座標の関係を時間で微分して速度を書き直し， $L$ に代入する．あとは機械的にオイラー＝ラグランジュ方程式を立てる．

微分してまとめると， ${\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} = ({\dot{x}}^{'} - ω y^{'})^{2} + ({\dot{y}}^{'} + ω x^{'})^{2}$ となる（ $\cos ω t$ ， $\sin ω t$ を含む項は2乗の和で消える）．したがって

L = \frac{1}{2} m [({\dot{x}}^{'} - ω y^{'})^{2} + ({\dot{y}}^{'} + ω x^{'})^{2}]

$x^{'}$ について： $\partial L / \partial {\dot{x}}^{'} = m ({\dot{x}}^{'} - ω y^{'})$ の時間微分は $m ({\ddot{x}}^{'} - ω {\dot{y}}^{'})$ ， $\partial L / \partial x^{'} = m ω ({\dot{y}}^{'} + ω x^{'})$ ．よって

{\ddot{x}}^{'} = 2 ω {\dot{y}}^{'} + ω^{2} x^{'}

$y^{'}$ について： $\partial L / \partial {\dot{y}}^{'} = m ({\dot{y}}^{'} + ω x^{'})$ の時間微分は $m ({\ddot{y}}^{'} + ω {\dot{x}}^{'})$ ， $\partial L / \partial y^{'} = - m ω ({\dot{x}}^{'} - ω y^{'})$ ．よって

{\ddot{y}}^{'} = - 2 ω {\dot{x}}^{'} + ω^{2} y^{'}

ラグランジアンが $\frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{' 2} + {\dot{y}}^{' 2})$ の形ではなく，位置 $x^{'}, y^{'}$ を含む．空間が一様に見えていない（原点からの距離で $L$ が変わる）ので，K' は慣性系ではない．運動でも，自由な粒子なのに加速度が0でない． $ω^{2} x^{'}$ ， $ω^{2} y^{'}$ の項は原点から外向き， $2 ω {\dot{y}}^{'}$ ， $- 2 ω {\dot{x}}^{'}$ の項は速度に垂直な向きの加速度で，第11章の遠心力とコリオリ力にあたる．

確かめ： $ω = 0$ なら K' は K と同じで， ${\ddot{x}}^{'} = {\ddot{y}}^{'} = 0$ に戻る．

ポイントここまでのまとめ

$v^{2}$ の関数の微分は $\partial L / \partial v = 2 L^{'} (v^{2}) v$ ．これが一定なら速度ベクトルが一定．
位置と時刻の関数の全微分は，速度について1次式．だから $v^{4}$ のような項は全微分では書けない．
ラグランジアンは，好きな一般化座標で書き直してから方程式を立ててよい．極座標では $L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2})$ ．
慣性系でない座標系では，自由な粒子でも $L$ が位置を含み，遠心力やコリオリ力にあたる項が方程式に出る．