光

光の干渉と光学距離

著者：柚木芹香

問い

シャボン玉の膜は，無色の石けん水なのに，赤や緑や紫の縞模様に光って見えます．模様はゆっくり流れ，割れる直前には上のほうが黒く抜けたように見えます．色素の無い膜に，なぜ色が付くのでしょうか．そして割れる直前の膜は，なぜ光を返さなくなるのでしょうか．

考えてみる

光が膜に当たると，表の面で一部が反射し，残りは膜に入って裏の面でまた一部が反射します．目に届くのは，この2つの反射光の重ね合わせです．光は電磁波（第26章）なので，2つの波の電場を足せば合成の波になります．2つの山がそろえば強め合い，山と谷が重なれば弱め合います．弱め合う波長の光が抜ければ，白い光は残りの色に見えるはずです．

ところが，懐中電灯を2つ並べて壁を照らしても，明暗の縞は見えません．波が重なれば必ず縞ができるわけではないのです．干渉を考えるには，2つの光の位相の差を正しく数える方法と，どんなときに位相の差が保たれるかを知る必要があります．

2つの光を重ねる

第7章と同じように，振動数 $ν$ ，角振動数 $ω = 2 π ν$ の光の電場を，複素数 $\hat{E}$ を使って $E = Re (\hat{E} e^{i ω t})$ と書きます． $\hat{E}$ を複素振幅といいます．真空中を距離 $ℓ$ 進んだ光は，波の標準形 $\sin (ω t - k x)$ のとおり位相が $k ℓ = 2 π ℓ / λ$ だけ遅れるので，複素振幅に $e^{- i k ℓ}$ が掛かります．光の強さは電場の2乗の時間平均に比例し， $\cos^{2}$ の平均は $1 / 2$ なので，強さは ${| \hat{E} |}^{2}$ に比例します．

定理 2つの光の干渉

同じ振動数の2つの光の複素振幅を ${\hat{E}}_{1}, {\hat{E}}_{2}$ ，それぞれだけのときの強さを $I_{1}, I_{2}$ ，2つの位相の差を $ϕ$ とすると，重ねた光の強さは

I \propto {| {\hat{E}}_{1} + {\hat{E}}_{2} |}^{2}, I = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos ϕ

である． $I_{1} = I_{2} = I_{0}$ なら $I = 4 I_{0} \cos^{2} (ϕ / 2)$ で， $ϕ$ が $2 π$ の整数倍で $4 I_{0}$ ， $π$ の奇数倍で0になる．

強さが違う2つの光でも縞はできますが，暗い所が0になりません．最大と最小は ${(\sqrt{I_{1}} \pm \sqrt{I_{2}})}^{2}$ です． $2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos ϕ$ を干渉項といいます．場所について平均すると干渉項は消え，エネルギーは配り直されるだけです．

ヤングの実験

1つの光源から出た光を，間隔 $d$ の2つの細いスリットに当て，距離 $L$ 離れたスクリーンに映します．2つのスリットは同じ波面の上にあるので，同位相の2つの光源とみなせます．スクリーンの中央から $x$ の点に届く2つの光の経路差は， $L$ が $d$ より十分大きいとき，2本の光線がほぼ平行で

d \sin θ \approx \frac{d x}{L}

です（ $θ$ は中央から見た角度）．経路差が波長の整数倍の所が明るくなります．

法則ヤングの実験の明線

明線は $d \sin θ = m λ$ （ $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ ），暗線は $d \sin θ = (m + \frac{1}{2}) λ$ の所にできる．小角では明線の位置は $x = m L λ / d$ ，明線の間隔は

w = \frac{L λ}{d}

である．この近似は $d / L$ と $| x | / L$ が十分小さいときに使える．

［図：ヤングの実験と経路差］

初期状態はd=0.50 mm，L=1 m，λ=500 nmで，縞の間隔は1.00 mmである．dとλを変えると縞の間隔が変わり，点Pのxを選ぶと2本の光線と経路差が変わる．下の拡大図では2本を平行とみなして波面への射影を示す．

$d = 0.5 mm$ ， $L = 1 m$ ， $λ = 500 nm$ なら $w = 1 mm$ です．目に見えない $500 nm$ という長さが， $L / d$ 倍に拡大されて見えるのです．スリットの後ろに凸レンズを置き，その焦点面で見る場合は，同じ角度 $θ$ の光が焦点面の1点に集まるので， $L$ を焦点距離 $f$ に置き換えます．レンズはすべての光線の時間をそろえる（前の題材）ので，光路差を新たに作りません．

光学距離

屈折率 $n$ の物質の中では光の速さが $c / n$ なので，振動数は同じでも波長は $λ_{0} / n$ に縮みます（ $λ_{0}$ は真空中の波長）．物質の中を距離 $ℓ$ 進むと位相は $2 π ℓ / (λ_{0} / n) = 2 π n ℓ / λ_{0}$ だけ遅れます．つまり，位相を数えるときは，物質中の距離を $n$ 倍して真空中の距離に換算すればよいのです．この $n ℓ$ は，この章の最初の題材でフェルマーの原理に使った光学距離（かかる時間に $c$ を掛けたもの）そのものです．

定義光路差

2つの光の光学距離の差 $Δ$ を光路差といい，位相の差は

ϕ = \frac{2 π Δ}{λ_{0}}

である．

たとえばヤングの装置の一方のスリットを，屈折率 $n$ ，厚さ $h$ の透明な薄板で覆うと，その経路の光学距離は空気の分を差し引いて $(n - 1) h$ だけ増えます．光路差0の中央明線は，覆ったスリットの側へずれます．装置全体を屈折率 $n$ の液体に入れれば，波長が $λ_{0} / n$ になるので縞の間隔は $L λ_{0} / (n d)$ に縮みます．

反射による位相のずれ

第26章で見たように，垂直入射の電場の反射の振幅比は $\frac{n_{1} - n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ です．

ポイント反射で位相が変わるかどうか

屈折率の小さい側から大きい側の面で反射すると（ $n_{1} < n_{2}$ ），位相が $π$ ずれる（弦の固定端と同じ）．光路差に換算すると $λ_{0} / 2$ である．
屈折率の大きい側から小さい側の面で反射すると，位相は変わらない（自由端と同じ）．
透過した光の位相は変わらない．

干渉の問題では，まず経路の光路差を出し，次に反射での反転が「片方だけにあるか」を確かめます．片方だけなら強め合いと弱め合いの条件が入れ替わります．

薄膜の干渉

屈折率 $n$ ，厚さ $h$ の膜に，空気中から入射角 $θ_{1}$ で光が当たる場合を考えます．膜の中の屈折角を $θ_{2}$ とします．

**［図：薄膜の2つの反射光と共通の波面］**
空気から膜へ斜めに入った光は，表で反射する光と，膜の裏で反射して出る光に分かれる．膜の厚さはh，屈折率はn，入射角はθ₁，屈折角はθ₂である．平行に出る2本に垂直な波面を橙の破線で示す．

膜の中を往復する光は，光学距離 $2 n h / \cos θ_{2}$ を進みます．その間に，表で反射する光は空気中を $2 h \tan θ_{2} \sin θ_{1}$ だけ余分に進んで同じ波面にそろいます．屈折の法則 $\sin θ_{1} = n \sin θ_{2}$ を使うと，光路差は

Δ = \frac{2 n h}{\cos θ_{2}} - \frac{2 n h \sin^{2} θ_{2}}{\cos θ_{2}} = 2 n h \cos θ_{2}

です．

定理薄膜の干渉の条件

膜の上下の反射のうち片方だけで位相が反転するとき，反射光が強め合うのは

2 n h \cos θ_{2} = (m + \frac{1}{2}) λ_{0}

弱め合うのは $2 n h \cos θ_{2} = m λ_{0}$ （ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）である．両方で反転するときや，どちらでも反転しないときは，2つの条件が入れ替わる．

ここでは表と裏で1回ずつ反射した2つの光だけを足しました．ガラスや水の面の反射率は数 % なので，膜の中で何度も反射した光は弱く，無視できます．反射率が大きい面では多重反射を足し合わせる必要があります．

くさび，ニュートンリング，反射防止膜

2枚のガラス板の一端を接し，他端に薄い紙をはさむと，くさび形の空気層ができます．上から見ると，厚さ $t$ が $2 t = m λ_{0}$ を満たす所に暗線が並びます（上のガラスから空気への反射は反転せず，空気から下のガラスへの反射は反転する）．厚さは接点からの距離に比例するので，暗線は等間隔です．接点では $t = 0$ で暗くなります．

平らなガラスの上に曲率半径 $R$ の平凸レンズを置くと，中心から $r$ の所の空気層の厚さは $t \approx r^{2} / (2 R)$ です（ $r / R$ が十分小さいとき）．暗い所は同心円になり，これをニュートンリングといいます．厚さが等しい所を結んだ線が縞になるので，ニュートンリングはレンズの面の検査に使われます．

**［図：くさびの暗線とニュートンリング］**
左はガラス板にはさんだ紙でできるくさび形空気層と，等間隔の暗線である．接点は暗い．右は凸面を下にした平凸レンズとガラス板で，中心からrの所の空気層の厚さをtで示す．暗輪は同心円で，外側ほど間隔が狭い．断面の厚さを拡大して示す．

カメラのレンズには，ガラス（屈折率 $n_{s}$ ）の表面に屈折率 $n_{f}$ の薄い膜が付いています． $1 < n_{f} < n_{s}$ なら膜の上下の反射はどちらも反転するので，反転の影響は打ち消し合い， $2 n_{f} t = λ_{0} / 2$ ，つまり厚さ $t = λ_{0} / (4 n_{f})$ で反射光が弱め合います．上下の反射の振幅がそろう $n_{f} = \sqrt{n_{s}}$ のとき，その波長の反射は0になります．これが反射防止膜です．

マイケルソン干渉計

光を半透鏡で2つに分け，それぞれ鏡で反射させて半透鏡に戻し，重ねて見る装置をマイケルソン干渉計といいます．一方の鏡を $δ$ 動かすと，光は往復するので光路差は $2 δ$ 変わり，縞は $N = 2 δ / λ_{0}$ 本流れます．縞の本数を数えれば，波長を物差しにして長さが測れます．一方の腕に長さ $ℓ$ の気体のセルを置けば，気体を入れたときの縞の移動から $2 (n - 1) ℓ$ が分かり，屈折率が測れます．

**［図：マイケルソン干渉計の往復光路］**
光源からの光を半透鏡で直交する2本の腕に分け，鏡M₁とM₂で反射させて検出器で重ねる．M₁を右へδ動かすと，往路と復路がそれぞれδ長くなり，光路差は2δ変わる．

干渉が見えるための条件

ふつうの光源では，たくさんの原子がばらばらに光を出すので，光の位相はごく短い時間で不規則に変わります．別々の光源どうしでは位相の差 $ϕ$ が目まぐるしく変わるので，干渉項 $2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos ϕ$ は時間平均で0になり，強さは単に足し算になります．懐中電灯2つで縞が見えないのはこのためです．

同じ光源から分けた2つの光なら，位相の乱れは同じように起こり，差は保たれます．ただし，光路差が大きすぎると，前後に出た別の光どうしを重ねることになり，位相の関係が失われます．位相がそろっている長さを可干渉距離といい，白色光では数 $μ m$ です．シャボン玉のような薄い膜は色付き，厚い窓ガラスでは色が見えないのはこのためです．レーザーの可干渉距離は，ものによっては数 $m$ 以上あります．

ポイント干渉の条件

同じ光源から分けた光は，光路差が可干渉距離より短ければ干渉する．複素振幅を足してから2乗する．
互いに無関係な光源の光は干渉しない．強さを足す．
偏光の向きが直交する2つの光は，電場が直交するので干渉項が無い．

光源の大きさも問題になります．ヤングの装置で点光源をスリットの前方 $D$ の所で横に $s$ ずらすと，入射側にも光路差 $d s / D$ ができ，縞全体が $L s / D$ だけ反対側にずれます．大きな光源の各点は互いに無関係なので，ずれた縞の強さが足されます．縞のずれが縞の間隔と同じくらいになると，明暗が埋まって縞が消えます．ヤングがスリットの前に小さな穴を置いたのはこのためです．

［図：光源位置と縞の移動，2光源の強さの和］

初期状態では光源1がs=0.25 mmだけ上へずれ，縞は下へ0.25 mm移動する．sの正の向きは配置図では上，強さのグラフではxの正の向きを右にとる．光源2を加えると強さが足される．半周期ずらして2光源のボタンで，縞が消える状態を確認できる．

問いに戻る

シャボン玉の膜の色は，膜の表と裏で反射した2つの光の干渉です．膜は数百 $nm$ と薄く，白色光の可干渉距離より光路差が短いので干渉が起こります．光路差 $2 n h \cos θ_{2}$ で弱め合う波長が白い光から抜け，残りの色が見えます．膜は重力で下へ流れて上ほど薄くなり，厚さが場所と時間で変わるので，色の縞が流れます．

石けん水の膜は両側が空気なので，表の反射（空気から膜）は反転し，裏の反射（膜から空気）は反転しません．膜が波長よりずっと薄くなると光路差はほぼ0になり，反転の分だけ2つの反射光が打ち消し合います．割れる直前の膜が黒く見えるのは，どの色の光も反射しなくなるからです．

ポイントここまでのまとめ

同じ光源から分けた光は，複素振幅を足して2乗すると強さが出る． $I = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos ϕ$ ．
位相の差は光学距離の差（光路差） $Δ$ から $ϕ = 2 π Δ / λ_{0}$ で出す．屈折率 $n$ の中の距離は $n$ 倍する．
ヤングの実験の明線は $d \sin θ = m λ$ ，間隔は $L λ / d$ （ $d / L$ ， $| x | / L$ が小さいとき）．
屈折率の小さい側から大きい側の面での反射は位相が $π$ ずれる．薄膜では $2 n h \cos θ_{2}$ と反転の有無で条件が決まる．
無関係な光源どうしや可干渉距離を超えた光は干渉せず，強さを足す．シャボン玉の色は薄膜の干渉で，割れる直前に黒くなるのは片方だけの反転のためである．