光

レンズと鏡による結像の演習

著者：柚木芹香

実像と虚像を区別してください．薄いレンズと近軸光線を扱い，入射側の実物体の距離を $a > 0$ ，出射側の実像の距離を $b > 0$ ，虚物体・虚像の距離をそれぞれ負とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

焦点距離 $f = 12.0 cm$ の凸レンズの左に，高さ $h = 2.00 mm$ の小物体を置く．光は右へ進む．物体距離が $a = 18.0 cm$ の場合と $8.00 cm$ の場合について，像の位置，高さ，向きと投影の可否を求めよ．

**［図：凸レンズと2つの物体配置］**
焦点距離12.0 cmの凸レンズに対し，物体距離18.0 cmと8.00 cmの2配置を示す．小物体の高さはどちらも2.00 mmである．

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考え方 像距離と倍率の符号から，像の種類と向きを決める．

薄いレンズの式 $1 / a + 1 / b = 1 / f$ より $b = a f / (a - f)$ ，横倍率は $M = - b / a$ である． $a = 18.0 cm$ なら $b = 36.0 cm$ ， $M = - 2.00$ ．右側に高さの大きさ $4.00 mm$ の倒立実像ができ，スクリーンに映せる． $a = 8.00 cm$ なら $b = - 24.0 cm$ ， $M = 3.00$ ．左側に高さ $6.00 mm$ の正立虚像ができ，スクリーンには映せない．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

凸面鏡の前に小物体を置く．鏡の焦点距離は $f = - 12.0 cm$ ，物体距離は $a = 36.0 cm$ である．鏡では前側の像距離を正，裏側を負とし， $1 / a + 1 / b = 1 / f$ ， $M = - b / a$ が成り立つ．

像の位置，倍率，向きを求めよ．
$a > 0$ を変えても倒立実像ができないことを示し， $a \to \infty$ の像位置を求めよ．

**［図：凸面鏡の前の小物体］**
凸面鏡の前側に物体距離aが36.0 cmの小物体を置く．鏡の頂点と光軸，焦点距離fの与えられた値を示す．

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考え方 焦点距離の符号を保って像距離を求める．

$b = a f / (a - f)$ より $b = - 9.00 cm$ ， $M = 0.250$ ．鏡の裏に縮小した正立虚像ができる．
$F = | f | > 0$ とすれば $b = - a F / (a + F) < 0$ ， $M = F / (a + F)$ は0と1の間で，正立虚像である．遠方では $b \to - F = f$ ．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

ある人は裸眼で，眼から $0.200 m$ と $0.500 m$ の間の物体にピントを合わせられる．薄い眼鏡を眼の $0.0200 m$ 前に置く．度数はメートルで表した焦点距離の逆数で，単位 $D = m^{- 1}$ とする．

無限遠を見られる眼鏡の焦点距離と度数を求めよ．
同じ眼鏡で最も近くまで鮮明に見える物体は，眼から何メートルにあるか．

**［図：裸眼の近点・遠点と眼鏡の位置］**
裸眼の近点は眼から0.200 m，遠点は0.500 mである．眼鏡は眼の0.0200 m前に置かれる．

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考え方 眼鏡の虚像を裸眼の近点・遠点へ置く．距離の原点に注意する．

無限遠では $1 / a = 0$ ．遠点は眼鏡の前 $0.480 m$ にあるので $b = - 0.480 m$ ． $1 / b = 1 / f$ より $f = - 0.480 m$ ，度数は $- 2.08 D$ である．
近点に虚像を置くと $b = - (0.200 - 0.0200) m = - 0.180 m$ ．したがって

\frac{1}{a} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b} = (- \frac{1}{0.480} + \frac{1}{0.180}) m^{- 1}, a = 0.288 m

で，眼からの距離は $0.308 m$ ．矯正後の近点は裸眼より遠くなる．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

物体とスクリーンを距離 $L$ だけ離して固定し，間の凸レンズを動かす．鮮明な像ができる2つの位置の間隔 $s$ を測ると，次の値を得た．同じレンズを使う．

$L$	$s$
$0.600 m$	$0.346 m$
$0.800 m$	$0.566 m$
$1.000 m$	$0.775 m$

$s, L, f$ の関係と，2位置が存在する条件を導け．
$Y = s^{2} / L$ と $L$ で直線化し，共通の焦点距離を見積もれ．その値で3点を確かめよ．

**［図：物体とスクリーンの間を動くレンズ］**
固定された物体とスクリーンの間隔をLとする．その間にある凸レンズを光軸に沿って動かす．

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考え方 距離の和を固定し，レンズ位置の二次方程式を作る．

$b = L - a$ を $1 / a + 1 / b = 1 / f$ に代入すると $a (L - a) = f L$ ．よって $a^{2} - L a + f L = 0$ ，2根は $a = (L \pm \sqrt{L^{2} - 4 f L}) / 2$ ．根の差から $s^{2} = L^{2} - 4 f L$ ．異なる2位置には $L > 4 f$ が必要で，等号では1位置になる．
$Y = L - 4 f$ は傾き1，切片 $- 4 f$ の直線．各点の $f = (L^{2} - s^{2}) / (4 L)$ は順に $0.1001 m$ ， $0.09989 m$ ， $0.09984 m$ ．共通値は約 $0.100 m$ で，予測する $s$ は $0.3464 m$ ， $0.5657 m$ ， $0.7746 m$ ．表の桁に丸めると一致する．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

共軸の2枚の凸レンズで，左の焦点距離は $f_{1} = 12.0 cm$ ，右は $f_{2} = 18.0 cm$ ，間隔は $ℓ = 18.0 cm$ ．左のレンズのさらに左 $18.0 cm$ に小物体を置く．

最終像の位置と全倍率を求めよ．
右のレンズの半径は $r = 2.00 mm$ ．各物体点からの光が開口を一様に満たすとする．結像面より $6.00 mm$ 遠くへスクリーンをずらしたときのぼけの直径を求めよ．
結像面に戻し，右の上半分を覆う．像の形，位置，明るさはどうなるか．左のレンズによる光の遮断と吸収は無視する．

**［図：2枚の凸レンズと半開口］**
焦点距離f₁が12.0 cm，f₂が18.0 cmの凸レンズを18.0 cm離して置く．物体位置と右の開口半径r，その上半分を覆う条件を示す．

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考え方 第1レンズの光が第2レンズを越えて収束するなら，虚物体として扱う．

$1 / b_{1} = 1 / f_{1} - 1 / a_{1}$ より $b_{1} = 36.0 cm$ ．第2レンズを越えて収束するので $a_{2} = ℓ - b_{1} = - 18.0 cm$ は虚物体である． $b_{2} = a_{2} f_{2} / (a_{2} - f_{2})$ より $b_{2} = 9.00 cm$ ．右のレンズの右に実像ができる． $M_{1} = - 2.00$ ， $M_{2} = 0.500$ だから $M = M_{1} M_{2} = - 1.00$ で，等倍倒立である．
開口の縁から結像点までの光線の傾きは $r / b_{2}$ ．ずれを $ε$ とすれば，ぼけの半径は $r | ε | / b_{2}$ なので，直径は $2 \times 2.00 \times 6.00 / 90.0 = 0.267 mm$ ．
残る光も同じ像点へ集まる．像の形と位置は同じで，明るさは半分になる．近軸条件は光線の傾きや物体高と距離の比が十分小さいことで， $r / b_{2} = 0.0222$ である．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

凸の対物レンズと凸の接眼レンズで望遠鏡を作る．無限遠に調整したレンズ間隔は $0.450 m$ ，角倍率の大きさは8.00である．出射光を平行にする．

両レンズの焦点距離と，角倍率の符号を求めよ．
対物レンズを固定し，その前方 $10.0 m$ の物体を見る．出射光を平行にする接眼の移動方向と距離を求めよ．

**［図：望遠鏡の対物レンズと接眼レンズ］**
対物レンズと接眼レンズはいずれも凸レンズである．無限遠に調整した初めの間隔は0.450 m，角倍率の大きさは8.00である．

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考え方 対物の像を接眼の焦点に置く．

小角 $β$ で中間像の高さは $h \approx f_{1} β$ ，接眼の角は $β^{'} \approx - h / f_{2}$ ．よって角倍率は $- f_{1} / f_{2}$ ．また間隔は $f_{1} + f_{2}$ だから $f_{1} = 8 f_{2}$ ， $9 f_{2} = 0.450 m$ ． $f_{1} = 0.400 m$ ， $f_{2} = 0.0500 m$ ，角倍率は $- 8.00$ である．
$a = 10.0 m$ として $b_{1} = a f_{1} / (a - f_{1})$ より $b_{1} = 0.4167 m$ ．新しい間隔は $b_{1} + f_{2} = 0.4667 m$ なので，対物から遠ざける向きへ $0.0167 m$ 動かす．移動量は $f_{1}^{2} / (a - f_{1})$ で， $a \to \infty$ で0へ戻る．角倍率は $| β |$ と $| β^{'} |$ が十分小さい範囲で有効である．

ポイント教える人へ

負の像距離を誤答扱いせず，光線の延長が交わる側を確認させます．
眼と眼鏡の距離の原点を区別し，度数の符号を説明させます．
2枚のレンズでは，次のレンズにとっての物体距離を計算し直させます．
開口を覆った像と，結像面から外れたぼけを区別させます．