光

近軸近似と球面での屈折

著者：柚木芹香

本体の節では，光学距離をそろえる条件から薄いレンズの式を出しました．ここでは同じ式を，屈折の法則と小さな角の近似から，球面1面ずつ組み立てて導きます．この方法は，ガラス玉や水槽のように厚さを無視できない場合にも使えます．最後に，像を作図する手順をまとめます．

定理数学の道具：近軸近似

角 $θ$ （ラジアン）が小さいとき

\sin θ \approx θ, \tan θ \approx θ, \cos θ \approx 1 - \frac{θ^{2}}{2}

である．誤差は $\sin θ - θ \approx - θ^{3} / 6$ ， $\tan θ - θ \approx θ^{3} / 3$ で， $θ$ に対する比は $θ^{2}$ の程度である．また， $| x |$ が1よりずっと小さいとき $\sqrt{1 + x} \approx 1 + x / 2$ で，半径 $R$ の球面が中心軸から高さ $h$ の所で後退する量（サジッタ）は

R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} \approx \frac{h^{2}}{2 R}

である．光線と光軸のなす角，光線の高さと距離の比が十分小さいとして，これらの近似を使うことを近軸近似という．

導出は， $\sin θ$ と $\tan θ$ を $θ$ で展開したときの最初の項を残すだけです（テイラー展開は第7章）． $\sin θ = θ - θ^{3} / 6 + \dots$ なので， $θ = 0.1 rad$ （約 $6^{\circ}$ ）でも $\sin θ$ と $θ$ の違いは 0.17 % ほどです．

練習1　 $θ = 0.10 rad$ と $θ = 0.30 rad$ について， $\sin θ$ と $θ$ の違いは $θ$ の何パーセントか．

練習2　半径 $R = 0.200 m$ の球面で，高さ $h = 0.0100 m$ でのサジッタを近似式で求めよ．厳密な値との違いはどれほどか．

答え　練習1：比はほぼ $θ^{2} / 6$ で， $θ = 0.10$ では 0.17 %， $θ = 0.30$ では 1.5 %（厳密には $\sin 0.30 = 0.2955$ で 1.5 %）．練習2： $h^{2} / (2 R) = (1.00 \times 10^{- 4}) / 0.400 = 2.50 \times 10^{- 4} m$ ．次の項は $h^{4} / (8 R^{3}) = 1.6 \times 10^{- 7} m$ で，相対的には $h^{2} / (4 R^{2}) \approx 6 \times 10^{- 4}$ しか違わない．

球面1面での結像

屈折率 $n_{1}$ の物質と $n_{2}$ の物質が，半径 $R$ の球面で接しているとします．光は左から右へ進み，光軸上で球面の頂点から左 $a$ の点 P から出た光が，右 $b$ の点 Q に集まるとします．球面の中心 C が右側にあるとき $R > 0$ とします．

P を出て高さ $h$ で球面に当たる光線を考えます．光線が光軸となす角は $α \approx h / a$ ，その点での球面の法線（C を通る直線）が光軸となす角は $φ \approx h / R$ ，屈折した光線が光軸となす角は $γ \approx h / b$ です．図から，入射角は $θ_{1} = α + φ$ ，屈折角は $θ_{2} = φ - γ$ です．屈折の法則 $n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}$ を近軸近似で $n_{1} θ_{1} = n_{2} θ_{2}$ とすると

n_{1} (\frac{h}{a} + \frac{h}{R}) = n_{2} (\frac{h}{R} - \frac{h}{b})

で，両辺を $h$ で割ると $h$ が消えます．どの高さを通る光線も同じ点 Q に集まるということで，これが像ができる理由です．

**［図：球面の法線と入射角・屈折角］**
屈折率 n₁ の側の P から出た光は，高さ h の球面で屈折し，n₂ の側の Q に向かう．中心 C は右側にあり R＞0 で，法線は C を通る．入射光と光軸の角 α，法線と光軸の角 φ，出射光と光軸の角 γ を示す．下の角の拡大図で θ₁＝α＋φ，θ₂＝φ−γ を示す．

定理球面1面の結像の式

\frac{n_{1}}{a} + \frac{n_{2}}{b} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}, M = - \frac{n_{1} b}{n_{2} a}

符号は，物体が入射側なら $a > 0$ ，像が出射側なら $b > 0$ ，球面の中心が出射側なら $R > 0$ とする． $M$ は横倍率．

倍率は，物体の先端から球面の頂点に当たる光線で求めます．頂点では法線が光軸と一致するので，物体の高さを $h_{0}$ ，像の高さを $h^{'}$ とすると $n_{1} (h_{0} / a) = n_{2} (- h^{'} / b)$ で，上の $M$ が出ます．

平らな境界では $R \to \infty$ で $b = - (n_{2} / n_{1}) a$ です．水中（ $n_{1} = 1.33$ ）の深さ $a$ の物体を空気中（ $n_{2} = 1$ ）から真上近くで見ると，深さ $a / 1.33$ の所に虚像が見えます．前の題材の見かけの深さと同じ結果です．

2つの面から薄いレンズへ

空気中の屈折率 $n$ のレンズを考え，面の半径を順に $R_{1}, R_{2}$ （どちらも上の符号の約束で）とします．第1面では空気からガラスへ入るので，第1面だけによる像 $b_{1}$ は

\frac{1}{a} + \frac{n}{b_{1}} = \frac{n - 1}{R_{1}}

です．この像が第2面にとっての物体です．レンズが薄ければ，第2面から見た物体距離は $a_{2} = - b_{1}$ です（ $b_{1} > 0$ なら，光は第2面の向こうへ収束していくので虚物体）．第2面ではガラスから空気へ出るので

\frac{n}{- b_{1}} + \frac{1}{b} = \frac{1 - n}{R_{2}}

で，2つの式を足すと $n / b_{1}$ が消えて

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})

です．

定理レンズの焦点距離の式

空気中の薄いレンズの焦点距離は

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})

両凸レンズでは $R_{1} > 0$ ， $R_{2} < 0$ なので，本体の節の式 $(n - 1) (1 / R_{1} + 1 / | R_{2} |)$ と一致する．周囲が屈折率 $n_{0}$ の物質なら， $n - 1$ を $n / n_{0} - 1$ に置きかえる．

作図の手順

式で計算した結果は，作図で確かめると間違いが見つかります．薄いレンズは1枚の面で表し，光線はその面で1回だけ曲げます．

ポイント作図の手順

物体の先端から，レンズの中心を通る直線を引く（曲がらない）．
物体の先端から光軸に平行な光線を引き，レンズで曲げて後ろの焦点を通す．凹レンズでは，前の焦点から出てきたように広げる．
2本の光線がレンズの後ろで交われば実像．交わらなければ，レンズを出た光線を逆向きに延ばし，交わる点を虚像とする．
確かめに，前の焦点を通る光線（凹レンズでは後ろの焦点へ向かう光線）を引き，レンズを出たあと光軸に平行になることを使う．
虚物体のときは，レンズに入る光線を物体点へ向かう向きに引き，同じ規則で曲げる．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R = 5.00 mm$ ，屈折率 $n = 1.50$ のガラス玉の光軸付近に，光軸に平行な細い光束を当てる．周囲は屈折率1の空気とし，近軸近似を用いる．

光が集まる点は，ガラス玉の後ろの面から何 mm の所か．
光が後ろの面のちょうど上に集まるのは，屈折率がいくらのときか．

**［図：ガラス玉に入る平行光］**
半径 R＝5.00 mm，屈折率 n＝1.50 のガラス玉に，左から光軸に平行な細い光束を当てる．前の面と後ろの面で折れ，玉の外で光軸を横切る．横切る点までの距離は図に書かない．

解答を見る

考え方 厚さ $2 R$ を無視できないので，球面1面の式を2回使う．第1面の像を第2面の物体とし，第2面を越えた所へ向かう光は虚物体として扱う．

第1面（ $R_{1} = R > 0$ ，空気からガラス）で $a = \infty$ だから $n / b_{1} = (n - 1) / R$ ， $b_{1} = n R / (n - 1) = 3 R = 15.0 mm$ ．第2面は第1面から $2 R = 10.0 mm$ 先にあるので，第2面にとっての物体距離は $a_{2} = 2 R - b_{1} = - 5.00 mm$ （虚物体）．第2面は中心が入射側にあるので $R_{2} = - R$ ，ガラスから空気へ出るので

\frac{n}{a_{2}} + \frac{1}{b} = \frac{1 - n}{- R}, \frac{1}{b} = \frac{0.50}{5.00 mm} + \frac{1.50}{5.00 mm} = \frac{1}{2.50 mm}

で，後ろの面から $b = 2.50 mm$ の所に集まる．

文字のまま計算すると $a_{2} = R (n - 2) / (n - 1)$ ， $1 / b = 2 (n - 1) / (R (2 - n))$ ，つまり $b = R (2 - n) / (2 (n - 1))$ である． $b = 0$ となるのは $n = 2.0$ のとき．

確かめ：(2) の一般式に $n = 1.50$ を入れると $b = R \times 0.50 / 1.00 = 2.50 mm$ で一致する．水滴（ $n = 1.33$ ）なら $b \approx R$ である．光束の半径が $R$ より十分小さいことが近軸近似の条件で，太い光束では縁の光ほど手前に集まる（球面収差）．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $15.0 cm$ の球形の金魚鉢に水（屈折率 $4 / 3$ ）が満ちている．ガラスの厚さは無視する．観察者は屈折率1の空気中の光軸上にいて，近軸近似を用いる．倍率は横倍率を指す．

金魚が，観察者に近い側の鉢の面から $10.0 cm$ の所（鉢の中心と面を結ぶ光軸上）にいる．観察者には金魚が面から何 cm の所に，何倍の大きさで見えるか．
金魚が鉢の中心にいるときはどうか．平らな面の水槽の場合と比べよ．

**［図：金魚鉢の中心と金魚の位置］**
半径15.0 cmの水を満たした金魚鉢と，右側の観察者を示す．(1) の金魚は近い面から10.0 cmの光軸上にいる．金魚から出て右の面で屈折し観察者の側へ向かう光線と，その逆向きの延長が交わる像を示す．像までの距離と倍率は図に書かない．(2) では金魚を中心に置く．

解答を見る

考え方 光は水から空気へ右向きに出る．鉢の面の中心は入射側（左）にあるので $R < 0$ である．

$n_{1} = 4 / 3$ ， $n_{2} = 1$ ， $a = 10.0 cm$ ， $R = - 15.0 cm$ を球面1面の式に入れると

\frac{1}{b} = \frac{1 - 4 / 3}{- 15.0 cm} - \frac{4 / 3}{10.0 cm} = \frac{1}{45.0 cm} - \frac{6}{45.0 cm} = - \frac{1}{9.00 cm}

で $b = - 9.00 cm$ ．面の内側 $9.00 cm$ の所に虚像がある．倍率は $M = - \frac{(4 / 3) (- 9.00)}{1 \times 10.0} = 1.20$ で，正立に1.2倍で見える．

$a = 15.0 cm$ では $1 / b = 1 / 45.0 - 4 / 45.0 = - 1 / 15.0$ （単位 ${cm}^{- 1}$ ）で $b = - 15.0 cm$ ， $M = - \frac{(4 / 3) (- 15.0)}{15.0} = \frac{4}{3}$ ．中心にいる金魚は中心に見え， $4 / 3$ 倍に大きく見える．平らな面なら $b = - a / (4 / 3)$ ， $M = 1$ で，(1) では $7.50 cm$ ，(2) では $11.3 cm$ の所に等倍で見える．

確かめ：中心から出た光は面に垂直に当たるので曲がらず，像は中心に残る．これは $b = - 15.0 cm$ と合う．観察者が光軸から大きく外れた方向から見ると近軸近似が破れ，像はゆがむ．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

光軸上に，焦点距離 $f_{1} = 10.0 cm$ の凸レンズと，その右 $20.0 cm$ に焦点距離 $f_{2} = - 20.0 cm$ の凹レンズを置く．レンズは薄いとし，近軸近似を用いる．

凹レンズだけを置き，その左 $30.0 cm$ に物体を置いたときの像の位置と倍率を，式で求め作図で確かめよ．
2枚とも置き，凸レンズの左 $15.0 cm$ に物体を置いたときの最終の像の位置と全体の倍率を求めよ．

**［図：凹レンズ単独と2枚のレンズの配置］**
(1) は凹レンズの左30.0 cmの物体から，光軸に平行な光線と中心を通る光線を引き，前の焦点から出たように広がる延長と虚像を示す．虚像の位置と倍率は図に書かない．(2) は凸レンズの左15.0 cmの物体から出た光が，凹レンズの向こうの点へ向かう途中で凹レンズに入る．最終の像の位置は描かない．

解答を見る

考え方 2枚のときは，凸レンズの像を凹レンズの物体とする．凹レンズを越えた所へ収束する光なら虚物体 $a_{2} < 0$ である．

$1 / b = 1 / f_{2} - 1 / a = - 1 / 20.0 - 1 / 30.0 = - 1 / 12.0$ （単位 ${cm}^{- 1}$ ）で $b = - 12.0 cm$ ， $M = - b / a = 0.400$ ．凹レンズの左 $12.0 cm$ に，正立で0.4倍の虚像ができる．作図では，平行に入った光線は前の焦点（左 $20.0 cm$ ）から出たように広がり，その延長と中心を通る直線が左 $12.0 cm$ で交わる．
凸レンズで $1 / b_{1} = 1 / 10.0 - 1 / 15.0 = 1 / 30.0$ ， $b_{1} = 30.0 cm$ ， $M_{1} = - 2.00$ ．この点は凹レンズの右 $10.0 cm$ なので $a_{2} = 20.0 - 30.0 = - 10.0 cm$ （虚物体）．

\frac{1}{b_{2}} = \frac{1}{f_{2}} - \frac{1}{a_{2}} = - \frac{1}{20.0} + \frac{1}{10.0} = \frac{1}{20.0}

で $b_{2} = 20.0 cm$ ， $M_{2} = - b_{2} / a_{2} = 2.00$ ．凹レンズの右 $20.0 cm$ に実像ができ，全体の倍率は $M = M_{1} M_{2} = - 4.00$ （倒立で4倍）．

確かめ：本体の節の光線の規則で，物体の点（光軸上）から高さ $y$ で凸レンズに入る光線を追う．傾きは $y / 15.0$ から $y / 15.0 - y / 10.0 = - y / 30.0$ に変わり，凹レンズでの高さは $y - 20.0 \times y / 30.0 = y / 3$ ．凹レンズで傾きは $- y / 30.0 - (y / 3) / (- 20.0) = - y / 60.0$ になり，光軸を横切るのは $(y / 3) / (y / 60.0) = 20.0 cm$ 先である． $y$ によらないので，式の結果と一致する．

ポイントここまでのまとめ

近軸近似： $\sin θ \approx \tan θ \approx θ$ ，サジッタ $h^{2} / (2 R)$ ．誤差の比は $θ^{2}$ や $(h / R)^{2}$ の程度．
球面1面： $n_{1} / a + n_{2} / b = (n_{2} - n_{1}) / R$ ， $M = - n_{1} b / (n_{2} a)$ ．高さ $h$ が消えることが，像ができる理由．
2つの面を続けて使うと，薄いレンズの $1 / f = (n - 1) (1 / R_{1} - 1 / R_{2})$ が出る．厚いガラス玉や組み合わせレンズでは，前の像を次の物体とし，必要なら虚物体を使う．
作図は，中心を通る光線と平行な光線の2本で像を決め，焦点を通る光線で確かめる．