光

レンズと像

著者：柚木芹香

問い

晴れた日に虫めがねで日光を受け，紙との距離を調節すると，紙の上に明るく小さな点ができ，やがて紙が焦げ始めます．レンズのどこを通った光も，その点へ集まってきます．レンズの中心を通る光と縁を通る光では，曲がる角度も進む道のりも違うのに，なぜ同じ1点に来るのでしょうか．また，その「点」はどれくらいの大きさなのでしょうか．

考えてみる

素朴には，レンズの1点1点で屈折の法則 $n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}$ を使い，光線を1本ずつ追えばよさそうです．しかしレンズの表面は曲がっているので，入射角は光線ごとに違い，表と裏で2回屈折します．何本追えば「全部が1点に集まる」と言えるのか，この方法では見通しがききません．

前の題材のフェルマーの原理を使うと，見通しがよくなります．光が点 P から点 Q へ進むとき，実際の道すじは，所要時間がまわりの道と比べて停留する道です．では，P から Q へ行く道が何本もあり，そのすべての所要時間がちょうど等しかったらどうなるでしょう．どの道も，まわりの道と時間が変わらないので，どれも停留の条件を満たします．つまり，すべての道を光が実際に通り，Q に集まります．レンズとは，P から出てレンズのいろいろな高さを通り Q へ行く道の時間を，すべて等しくそろえる道具なのです．

前の題材で見たように，時間を比べることは，屈折率と長さの積 $n ℓ$ を足した光学距離を比べることと同じです．以下では光学距離で考えます．

同じ時間で着く点

光軸（レンズの中心を貫く対称軸）上で，レンズの左 $a$ の所に点光源 P，右 $b$ の所に点 Q があるとします．レンズの高さ $h$ を通る道の，空気中の部分の長さは，レンズが薄ければほぼ $\sqrt{a^{2} + h^{2}} + \sqrt{b^{2} + h^{2}}$ です． $h$ が $a, b$ よりずっと小さいとき， $\sqrt{a^{2} + h^{2}} = a \sqrt{1 + h^{2} / a^{2}} \approx a + h^{2} / (2 a)$ なので

\sqrt{a^{2} + h^{2}} + \sqrt{b^{2} + h^{2}} \approx a + b + \frac{h^{2}}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

です．縁を通る道ほど， $h^{2}$ に比例して長くなります．これを打ち消すには，縁ほど遅れを少なくすればよいのです．高さ $h$ でのレンズの厚さを $t (h)$ とすると，厚さ $t$ の空気をガラスに置きかえることで光学距離は $(n - 1) t$ だけ増えます．そこでレンズを中央で厚く，縁で薄くします．

両面が半径 $R_{1}, R_{2}$ の球面の凸レンズでは，半径 $R$ の球面は中心から高さ $h$ の所で $h^{2} / (2 R)$ だけ後退するので， $t (h) \approx t_{0} - \frac{h^{2}}{2} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})$ です（ $t_{0}$ は中央の厚さ）．全体の光学距離は

L (h) \approx a + b + (n - 1) t_{0} + \frac{h^{2}}{2} [\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - (n - 1) (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})]

となり，角括弧の中が0なら， $h$ によらずすべての道の時間がそろいます．

［図：同じ時間で着く点を探す］

初期状態では P と Q が凸レンズからそれぞれ240 mm離れ，いろいろな高さ h を通る道の光学距離が近軸近似でそろう．Q の距離 b を動かすと候補の道が破線になり，光学距離の棒の高さがずれる．棒は共通の長さ a＋b を引いた値を示す．

法則薄いレンズの式

薄いレンズの焦点距離 $f$ は，レンズの形と屈折率で決まり，両凸レンズでは

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})

である．光軸上で距離 $a$ にある物体の像は，距離 $b$ の所にでき

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

が成り立つ．レンズが屈折率 $n_{0}$ の液体の中にあるときは， $n$ を相対屈折率 $n / n_{0}$ に置きかえる．

$a \to \infty$ （平行光）では $b = f$ です．光軸に平行な光が集まる点を焦点，レンズから焦点までの距離を焦点距離といいます．焦点はレンズの両側に1つずつあります．

この式を出すときに， $h^{4}$ 以上の項を捨てました．それができるのは， $h / a$ ， $h / b$ ， $h / R$ がどれも十分小さいとき，つまり光線が光軸の近くを光軸とほぼ平行に進むときで，この条件を近軸近似といいます．レンズの縁を通る光まで使うと，捨てた項が効いて，縁を通る光は中心近くを通る光より手前で光軸を横切ります．これを球面収差といいます．また，屈折率は色（波長）によって少し違うので，焦点距離も色によって違います．これを色収差といいます．実際のカメラのレンズは，何枚ものレンズを組み合わせて収差を小さくしています．

光線の向きはどう変わるか

時間の議論を，光線の向きの言葉に直しておきます．光線の傾きを，光軸から上向きに測った小さな角とします．P を出て高さ $h$ でレンズに入る光線の傾きは $h / a$ ，レンズを出て Q へ向かう光線の傾きは $- h / b$ です．傾きの変化は $- h (1 / a + 1 / b) = - h / f$ で，P の位置によりません．

ポイント薄いレンズの光線の規則

高さ $y$ で薄いレンズに入った光線は，傾きが $- y / f$ だけ変わる（凸レンズでは光軸の側へ曲がる）．とくに

レンズの中心（ $y = 0$ ）を通る光線は，曲がらずに直進する．
光軸に平行な光線は，後ろ側の焦点を通る．
前側の焦点を通る光線は，光軸に平行に出ていく．

この規則から，光軸に対して小さな角 $θ$ で入る平行光も1点に集まることが分かります．高さ $y$ で入った光線の傾きは $θ - y / f$ になるので，レンズから $f$ 進んだ所での高さは $y + f (θ - y / f) = f θ$ で， $y$ によりません．平行光は，向きが少し傾いていても，焦点を通り光軸に垂直な面（焦点面）の高さ $f θ$ の点に集まります．

光軸から高さ $h_{0}$ にある物体の点の像は，中心を通る直進の光線の上にあります．像の高さを $h^{'}$ とすると，相似な三角形から $h^{'} / h_{0} = - b / a$ です．

**［図：凸レンズが作る倒立の実像］**
物体の先端から中心を通る光線，光軸に平行に入って後ろの焦点を通る光線，前の焦点を通って平行に出る光線を示す．3本は同じ像の先端で交わり，物体の高さ h₀ に対して像の高さ h′ は負になる．

符号の約束と実像・虚像

1つの式で凸レンズも凹レンズも，像がどちら側にできる場合も扱えるように，符号を約束します．

定義符号の約束（レンズ）

光は左から右へ進むとする．

物体がレンズの入射側（左）にあれば $a > 0$ （実物体）．レンズに入る光が右側の点へ向かって収束しているときは，その点を物体とみなし $a < 0$ （虚物体）．
像がレンズの出射側（右）にあれば $b > 0$ （実像），入射側（左）にあれば $b < 0$ （虚像）．
凸レンズは $f > 0$ ，凹レンズは $f < 0$ ．
横倍率を $M = - b / a$ とする． $M < 0$ なら倒立， $M > 0$ なら正立で，像の大きさは物体の $| M |$ 倍．

実像は光が実際に集まる点なので，スクリーンに映せます．虚像は，レンズを出た光を逆向きに延ばした線が交わる点で，光はそこに集まっていません．スクリーンには映りませんが，レンズをのぞく眼には，光がそこから来るように見えます．

凸レンズで物体を焦点より内側（ $0 < a < f$ ）に置くと， $1 / b = 1 / f - 1 / a < 0$ で $b < 0$ ， $M = - b / a > 1$ です．レンズの手前に拡大された正立の虚像ができます．これが虫めがねで小さな字を見るときの使い方です．凹レンズは中央が薄いので $f < 0$ で，実物体（ $a > 0$ ）に対していつも $b < 0$ ， $0 < M < 1$ の縮小された正立の虚像を作ります．

鏡による像

曲がった鏡も像を作ります．半径 $R$ の凹面鏡の前の光軸上に P と Q を置くと，鏡面は中心から高さ $h$ の所で $h^{2} / (2 R)$ だけ手前にせり出しているので，往きと帰りの両方で道が短くなります．光学距離は $a + b + \frac{h^{2}}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) - 2 \cdot \frac{h^{2}}{2 R}$ で，時間がそろう条件は $1 / a + 1 / b = 2 / R$ です．鏡も同じ式 $1 / a + 1 / b = 1 / f$ に従い，焦点距離は $f = R / 2$ です．

鏡では，光は反射して入射側へ戻るので，鏡の前側に像があれば $b > 0$ （実像），鏡の裏側にあれば $b < 0$ （虚像）とします．凹面鏡は $f = R / 2 > 0$ ，凸面鏡は $f = - R / 2 < 0$ で，倍率は同じく $M = - b / a$ です．平面鏡は $f \to \infty$ なので $b = - a$ ， $M = 1$ で，鏡の裏の同じ距離に同じ大きさの虚像ができます．

光軸に平行な光を厳密に1点に集める鏡の形は，球面ではなく放物面です．パラボラアンテナや大きな反射望遠鏡の鏡が放物面なのはこのためです．近軸では放物面と球面の違いは $h^{4}$ の項にしか現れません．

像を作る光の束

像の1点には，レンズの開口（光が通れる円）全体を通った光が集まります．このことから，次のような結像の性質が分かります．

レンズの半分を覆う：残りの半分を通る光も，同じ像点へ集まります．像は欠けず，形も位置も変わらず，明るさが約半分になります．
絞りを置く：開口を小さくしても像は欠けず，暗くなります．
スクリーンを結像位置からずらす：像点へ集まった光は，そこを過ぎると再び広がります．開口の直径を $D$ ，像距離を $b$ ，ずれを $δ$ とすると，スクリーン上の光は直径 $D | δ | / b$ の円に広がり，像がぼけます．開口を絞るとこの円が小さくなり，ピントの合う範囲が広がります．

［図：開口とスクリーンの位置で変わるぼけ］

初期状態は像距離 b＝200 mm，開口直径 D＝80 mm，スクリーンのずれ δ＝50 mmで，直径20 mmのぼけができる．スクリーンと開口を動かしてぼけ幅 D|δ|/b の変化を調べられる．上半分を覆うと通る光が約半分になり，像点の位置は変わらない．結像位置から外れるとぼけは半円になる．

眼と光学器械

眼：角膜と水晶体がまとまって1つの凸レンズとして働き，網膜に実像を作ります．レンズと網膜の距離はほぼ一定なので，見る距離が変わると，筋肉で水晶体の厚さを変えて焦点距離を調節します．はっきり見える最も遠い点を遠点，最も近い点を近点といいます．近視の眼は遠点が有限の距離にあり，無限遠の物体の虚像を遠点に作る凹レンズの眼鏡で補正します．遠視や老眼の眼は近点が遠く，凸レンズで補正します．眼鏡の度数は，メートルで表した焦点距離の逆数で，単位は $D = m^{- 1}$ （ディオプトリー）です．

レンズを2枚使う：1枚目のレンズの像を，2枚目のレンズの物体とみなします．レンズの間隔を $ℓ$ とすると，2枚目にとっての物体距離は $a_{2} = ℓ - b_{1}$ です．1枚目を出た光が2枚目を越えた所へ収束していく場合は $a_{2} < 0$ の虚物体です．全体の倍率は $M = M_{1} M_{2}$ です．2枚の薄いレンズを密着させると，傾きの変化 $- y / f_{1}$ と $- y / f_{2}$ が足されるので， $1 / f = 1 / f_{1} + 1 / f_{2}$ のように度数が足し算になります．

虫めがね・顕微鏡・望遠鏡：小さなものがどれだけ大きく見えるかは，像が眼に対して張る角で決まります．肉眼でよく見える距離を $D_{0} = 0.25 m$ （明視の距離）とすると，高さ $h$ の物体は角 $h / D_{0}$ に見えます．焦点距離 $f$ の虫めがねの焦点に物体を置くと，出る光は平行になり，物体は角 $h / f$ に見えるので，角倍率は $D_{0} / f$ です．顕微鏡は，焦点距離の短い対物レンズでまず拡大した実像を作り，それを接眼レンズの虫めがねで見ます．望遠鏡は，焦点距離 $f_{1}$ の対物レンズで，角 $β$ の方向から来る遠くの物体の実像を焦点面の高さ $f_{1} β$ に作り，それを焦点距離 $f_{2}$ の接眼レンズで見ます．像を接眼レンズの焦点に置くと，出る光は角 $- f_{1} β / f_{2}$ の平行光になり，角倍率は $- f_{1} / f_{2}$ （倒立）です．レンズの間隔は $f_{1} + f_{2}$ です．

**［図：ケプラー式望遠鏡と平行光］**
間隔 f₁＋f₂ の対物レンズと接眼レンズを示す．上向きの角 β で入る平行光は対物レンズの焦点面の高さ f₁β に実像を作る．接眼レンズからは下向きの角 β′＝−(f₁/f₂)β の平行光が出る．角の表示は光軸に平行な補助線を使う．

問いに戻る

太陽はとても遠いので，太陽の1点から来る光はほぼ平行光です．平行光がレンズを通るとき，レンズのどこを通る道も焦点までの時間が等しくなるようにレンズの厚さが作られているので，フェルマーの原理によって，そのすべての道が実際の光線になり，焦点に集まります．光線の言葉で言えば，高さ $y$ を通る光線ほど大きく $- y / f$ だけ曲げられ，ちょうど同じ点で光軸を横切ります．

ただし，太陽は点ではなく，見かけの直径が約 $0.0093 rad$ （ ${0.53}^{\circ}$ ）の円盤です．方向が $θ$ 違う光は焦点面の高さ $f θ$ に集まるので，紙の上の明るい点は，直径 $f \times 0.0093$ の太陽の実像です． $f = 0.10 m$ なら直径は約 $0.9 mm$ です．直径 $5 cm$ のレンズが受けた日光がこの円に集まると，明るさは面積の比 $(50 / 0.93)^{2} \approx 3 \times 10^{3}$ 倍になります．地表の日光の強さは約 $1 kW m^{- 2}$ なので，紙は $3 MW m^{- 2}$ ほどの光を受け，焦げるのです．

ポイントここまでのまとめ

レンズや曲面鏡は，1点から出る光がいろいろな道を通って別の1点へ着く時間をそろえる．フェルマーの原理により，すべての道が実際の光線になり，像ができる．
近軸近似（ $h / a, h / b, h / R$ が十分小さい）では $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ ，横倍率 $M = - b / a$ ． $b < 0$ は虚像， $a < 0$ は虚物体，凹レンズ・凸面鏡は $f < 0$ ．
薄いレンズは高さ $y$ の光線の傾きを $- y / f$ だけ変える．傾き $θ$ の平行光は焦点面の高さ $f θ$ に集まる．
像点には開口全体の光が集まるので，レンズの一部を覆っても像は欠けずに暗くなり，スクリーンをずらすと直径 $D | δ | / b$ にぼける．
虫めがねで日光を集めた点は，直径が焦点距離の約 $1 / 100$ の太陽の実像である．