光

屈折と光の停留時間の演習

著者：柚木芹香

法線から測る角と，光学距離を確かめてください．測定と連続媒質も考えます．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

屈折率 $n_{1} = 1.50$ の透明体から， $n_{2} = 1.20$ の液体へ光が進む．光速は $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．

両媒質での光の速さを求めよ．
臨界角を求め，入射角 ${50.0}^{\circ}$ と ${60.0}^{\circ}$ で全反射するか判定せよ．

**［図：透明体から液体への入射］**
屈折率1.50の透明体から屈折率1.20の液体へ入る光を，入射角50.0°と60.0°の2配置で示す．破線は法線である．

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考え方 速さは屈折率で決まる．全反射の限界では屈折角が直角になる．

$v = c / n$ より $v_{1} = 2.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ， $v_{2} = 2.50 \times 10^{8} m s^{- 1}$ である．
$n_{1} \sin θ_{c} = n_{2}$ より $θ_{c} = \arcsin 0.800 = {53.1}^{\circ}$ ．したがって前者は全反射せず，後者は全反射する．低屈折率側からは全反射できない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

空気の屈折率を1とする．厚さ $h = 12.0 mm$ ，屈折率 $n = \sqrt{2}$ の平行平板へ，光が $θ_{1} = {45.0}^{\circ}$ で入射する．多重反射は考えない．

出射光線が入射光線と平行になることを示せ．
入射光線をそのまま延長した直線と出射光線との垂直距離 $s$ を導き，数値を求めよ．

**［図：平行平板への入射］**
空気中の平行平板の厚さhは12.0 mm，屈折率nは√2である．入射角θ₁は45.0°で，破線は法線と入射光線の延長を示す．

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考え方 2面の法線は平行である．横移動と光線に垂直なずれを区別する．

第1面で $\sin θ_{1} = n \sin θ_{2}$ より $θ_{2} = {30.0}^{\circ}$ ．第2面の出射角を $θ_{3}$ とすれば $n \sin θ_{2} = \sin θ_{3}$ なので $θ_{3} = θ_{1}$ ．
出射面上で延長線と出射点の横の差は $h (\tan θ_{1} - \tan θ_{2})$ ．これを光線に垂直に射影すると

s = h (\tan θ_{1} - \tan θ_{2}) \cos θ_{1} = \frac{h \sin (θ_{1} - θ_{2})}{\cos θ_{2}} = 3.59 mm

$n \to 1$ では $θ_{2} \to θ_{1}$ となり，ずれは0へ戻る．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

断面が直角二等辺三角形のプリズムを，同じ液体中に沈める．プリズムの屈折率は $n = 1.60$ ，液体は $n_{e}$ とする．光を一方の直角を挟む面へ垂直に入射させる．

斜辺の面で全反射する $n_{e}$ の条件を求めよ．等号の場合も区別せよ．
$n_{e} = 1.10$ と $1.30$ の場合を判定し，全反射した主光線が残る面から出る方向を求めよ．

**［図：液体中の直角二等辺プリズム］**
屈折率nが1.60の直角二等辺プリズムを屈折率nₑの液体に沈める．入射光は左の面に垂直である．

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考え方 最初の面では曲がらない．内部の入射角を断面の幾何から決める．

斜辺面の法線となす角は $45^{\circ}$ ．全反射には $n \sin 45^{\circ} > n_{e}$ ，すなわち $n_{e} < 1.60 / \sqrt{2} \approx 1.13$ が必要である．等号は屈折光が境界に沿う臨界の状態である．
$1.10$ では全反射し，反射の法則により進行方向が $90^{\circ}$ 曲がる．残る面には垂直に達するため，そのまま出る． $1.30$ では斜辺面から屈折して出る光がある．同じ屈折率の媒質間で全反射しないこととも一致する．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

空気中で頂角 $A = {60.0}^{\circ}$ のプリズムを回し，同じ単色光の最小偏角 $δ_{min}$ を3回測った．頂角の誤差は無視でき，偏角の代表値には平均，不確かさには最大値と最小値の差の半分を用いる．

測定	$δ_{min}$
1	${35.0}^{\circ}$
2	${35.2}^{\circ}$
3	${35.4}^{\circ}$

最小偏角で内部の光路が左右対称であることを用い，屈折率の式を導け．
屈折率とその不確かさを1次の誤差評価で求めよ．

**［図：プリズムの頂角と偏角］**
頂角Aが60.0°のプリズムと光路を示す．外側の入射角θ₁，出射角θ₃，入射方向と出射方向の間の偏角δを示す．

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考え方 偏角をそのまま屈折角に使わず，2面での曲がりを足す．微分にはラジアンを使う．

内部の角を $r_{1}, r_{2}$ とすると $r_{1} + r_{2} = A$ ， $δ = θ_{1} + θ_{3} - A$ ．対称条件より $r_{1} = r_{2} = A / 2$ ， $θ_{1} = θ_{3} = (A + δ_{min}) / 2$ ．屈折の法則から

n = \frac{\sin [(A + δ_{min}) / 2]}{\sin (A / 2)}

平均は ${35.2}^{\circ}$ ，不確かさは $u_{δ} = {0.2}^{\circ} = 3.49 \times 10^{- 3} rad$ ．よって $n = 2 \sin {47.6}^{\circ} = 1.477$ ．また $\frac{d n}{d δ} = \cos {47.6}^{\circ}$ なので $u_{n} = 0.6743 u_{δ} = 0.00235$ ．丸めて $n = 1.477 \pm 0.002$ である．誤差の展開は $u_{δ}$ が1より十分小さいため有効であり，この幅は指定した評価法による．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

層状媒質の屈折率が $n (y) = n_{0} - α y$ である． $0 \leq y \leq H$ ， $α > 0$ ， $n (H) > 1$ とする．原点から上向きに入った光線の鉛直との角は $θ_{0}$ ， $0 < θ_{0} < π / 2$ で，水平方向には右へ進む．

薄い層どうしで屈折の法則を使い，保存される量を示せ．層の内部で水平に転じる条件と高さを求めよ．
転じた後に $y = 0$ へ戻るまでの水平距離 $X$ を積分で求めよ． $n_{0} = 1.60$ ， $α = 0.0200 m^{- 1}$ ， $H = 20.0 m$ ， $\sin θ_{0} = 0.875$ で評価せよ．

**［図：層状媒質への入射方向］**
上ほど屈折率が低くなる層状媒質を示す．原点から右上へ進む入射方向と鉛直との角θ₀，層の高さHを描く．

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考え方 隣接する層の法線は共通である．角度の保存式から光線の傾きを出し，位置を積分する．

各境界で $n \sin θ$ が共通だから，連続極限でも $p = n (y) \sin θ = n_{0} \sin θ_{0}$ は一定である．水平になると $\sin θ = 1$ なので $y_{*} = (n_{0} - p) / α$ ．内部で転じる条件は $n (H) < p < n_{0}$ である．
上昇中は $\frac{d x}{d y} = \tan θ = p / \sqrt{n (y)^{2} - p^{2}}$ ． $u = n_{0} - α y$ と置けば

x_{*} = \frac{p}{α} \int_{p}^{n_{0}} \frac{d u}{\sqrt{u^{2} - p^{2}}} = \frac{p}{α} \ln \frac{n_{0} + \sqrt{n_{0}^{2} - p^{2}}}{p}, X = 2 x_{*}

下降側は同じ屈折率の層を逆順に通るので水平距離が等しい．数値は $p = 1.40$ ， $y_{*} = 10.0 m < H$ ， $X = 74.0 m$ ．幾何光学には，真空波長 $λ_{0}$ に対して $λ_{0} α / n^{2}$ が十分小さく，波長内の屈折率変化が小さいことが必要である．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

一様な屈折率 $n$ の媒質に，断面が楕円 $x^{2} / R^{2} + y^{2} / K^{2} = 1$ の内向きの鏡を置く． $R > K > 0$ ， $q = \sqrt{R^{2} - K^{2}}$ として焦点を $F_{-} = (- q, 0)$ ， $F_{+} = (q, 0)$ とする．楕円上の点 $P$ には $| P F_{-} | + | P F_{+} | = 2 R$ が成り立つ．

$F_{-}$ から出た光が鏡で1回反射して $F_{+}$ に達することを，接線方向への微小変位と反射の法則から示せ．
所要時間を求め，直接結ぶ経路と比べて「最小時間」という呼び方を検討せよ．真空光速を $c$ とする．

**［図：楕円鏡と2焦点］**
楕円鏡の2焦点F₋とF₊，鏡上の点Pと接線を示す．入射光線はF₋からPへ向かう．

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考え方 距離の和の変化が0であることは，接線に沿う方向成分がつながることを意味する．停留は厳密な最小とは限らない．

$F_{-}$ から $P$ への単位ベクトルを $u_{1}$ ， $P$ から $F_{+}$ への単位ベクトルを $u_{2}$ ，接線の単位ベクトルを $t$ とする． $P$ を接線方向へ $d s$ 動かすと距離の和の変化は $(u_{1} - u_{2}) \cdot t d s = 0$ ．よって接線成分は等しい．両焦点が鏡の内側にあるため法線成分は反対向きであり，大きさが1であることから入射角と反射角が等しい．したがって反射光は $F_{+}$ へ進む．
時間は $t = 2 n R / c$ で，反射点によらない．直接の距離は $2 q < 2 R$ なので，許されるなら直接経路の方が短い．鏡で1回反射する経路の中では時間は一定で停留するが，孤立した厳密な最小ではない． $n R / c$ の次元は時間である．

ポイント教える人へ

入射角を面から測っていないか，法線を描いて確かめさせます．
平行平板の横移動と，光線に垂直なずれを区別させます．
プリズムの角度測定では，微分に使う角度をラジアンへ直させます．
層状媒質の保存量と，停留時間が必ずしも厳密な最小でないことを説明させます．