光

屈折と全反射の例題

著者：柚木芹香

屈折の問題は，法線を描いて角を法線から測り，境界ごとに屈折の法則を書けば，あとは図形の問題になります．ここでは，見かけの深さ，光ファイバーが取り込める角，虹の角度の3つを練習します．

ポイント屈折の問題の手順

境界ごとに法線を描き，入射角・屈折角・反射角を法線から測る．
各境界で屈折の法則を書く．平行な境界では法線も平行なので， $n \sin θ$ がそのまま受け渡される．
境界どうしの角の関係（三角形の内角，円の半径と法線など）を図形から決める．
屈折率の大きい側から小さい側へ進むときは，入射角を臨界角 $\sin θ_{c} = n_{2} / n_{1}$ と比べる．

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

深さ $h = 2.0 m$ のプールの底に小石がある．水の屈折率を $n = 1.33$ ，空気の屈折率を1とする．

小石を真上近くから見ると，水面から測ってどれだけの深さに見えるか．小石から出て目に入る光は，鉛直とのなす角が十分小さいとする．
小石を含む鉛直面の中で，目に入る光が水面の上で鉛直と $θ_{2}$ の角をなすように，斜めから見る．小石から出て水中で鉛直と $θ_{1}$ の角をなす光線と，それにごく近い角の光線を水面の上から逆向きに延ばし，2本が交わる点の深さを見かけの深さ $h^{'}$ とする． $h^{'}$ を $h, n, θ_{1}, θ_{2}$ で表し， $θ_{2} = 60^{\circ}$ のときの値を求めよ．

**［図：小石から出る光と見かけの位置］**
深さh = 2.0 mの底にある小石から出た近い角の2本の光線が，水面で法線から離れる向きに屈折して目へ進む．θ₁は水中の角，θ₂は空気中の角である．空気中の光線を逆に延ばす破線の交点を見かけの位置とし，求める深さをh′と示す．

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考え方 目は，届いた光をまっすぐ逆にたどって物の位置を判断する．1本の光線だけでは位置が決まらないので，小石から出る近い角の2本の光線を逆に延ばし，その交点を像とする．

光線が水面に達する点の，小石の真上からの水平距離は $x = h \tan θ_{1}$ である．空気中の光線を逆に延ばした線が，深さ $h^{'}$ で小石の真上の鉛直線と交わるとすると $x = h^{'} \tan θ_{2}$ である．角が十分小さければ $\tan θ \approx \sin θ$ で，屈折の法則 $n \sin θ_{1} = \sin θ_{2}$ から

h^{'} = h \frac{\tan θ_{1}}{\tan θ_{2}} \approx h \frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} = \frac{h}{n} = \frac{2.0}{1.33} m = 1.5 m

となる．これは $θ$ が十分小さく， $\tan θ$ と $\sin θ$ の違い（ $θ^{2}$ の程度）を無視できるときの値である．

水面上の点を，小石の真上から測った水平の位置で表す．角 $θ_{1}$ の光線は水面の $X = h \tan θ_{1}$ に達し，そこから空気中を角 $θ_{2}$ で進む．この光線を水中へ逆に延ばした直線上で，深さ $y$ の点の水平の位置は

X (y) = h \tan θ_{1} - y \tan θ_{2}

である． $θ_{1}$ をわずかに変えた光線の延長と交わる点では， $X (y)$ が $θ_{1}$ によらず等しいので， $y$ を固定して $θ_{1}$ で微分したものが0になる．

\frac{h}{\cos^{2} θ_{1}} - \frac{y}{\cos^{2} θ_{2}} \frac{d θ_{2}}{d θ_{1}} = 0

屈折の法則 $n \sin θ_{1} = \sin θ_{2}$ を微分すると $n \cos θ_{1} d θ_{1} = \cos θ_{2} d θ_{2}$ なので， $d θ_{2} / d θ_{1} = n \cos θ_{1} / \cos θ_{2}$ である．これを入れて

h^{'} = y = \frac{h \cos^{3} θ_{2}}{n \cos^{3} θ_{1}}

を得る． $θ_{2} = 60^{\circ}$ では $\sin θ_{1} = \sin 60^{\circ} / 1.33 = 0.651$ ， $\cos θ_{1} = 0.759$ なので

h^{'} = \frac{2.0 \times (0.500)^{3}}{1.33 \times (0.759)^{3}} m = 0.43 m

である．

確かめ： $θ_{1}, θ_{2} \to 0$ では $h^{'} \to h / n$ となり (1) と一致する．斜めから見るほど $\cos θ_{2}$ が小さくなり，プールは急に浅く見える．なお，左右の目のように水平に並んだ2本の光線では交わる深さが少し違い，斜めから見た像はぼやけやすい．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

光ファイバーの芯（コア）の屈折率を $n_{1} = 1.48$ ，それを包む層（クラッド）の屈折率を $n_{2} = 1.46$ とする．ファイバーはまっすぐで，端面は軸に垂直に切ってあり，外は空気（屈折率1）である．真空中の光の速さを $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．

空気中から端面の中心に角 $θ_{0}$ （軸とのなす角）で入った光が，芯とクラッドの境界で全反射をくり返して進むための条件を， $\sin θ_{0}$ の範囲として求めよ．
1. の $θ_{0}$ の最大値を求めよ．
長さ $L = 1.0 km$ のファイバーの一端から，軸に沿う光と (2) の最大の角で入った光を同時に入れる．他端に着く時刻の差を求めよ．

**［図：光ファイバーの端面と芯を進む光］**
芯の屈折率は n₁＝1.48，クラッドは n₂＝1.46，外は空気である．端面の中心へ角 θ₀ で入り，芯の中を屈折角 θ′ で進み，側面へ入射角 90°−θ′ で当たって全反射する．長さ L＝1.0 km は与条件である．

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考え方 端面での屈折で芯の中の角が決まり，その角で側面の全反射の条件が決まる．端面と側面は垂直なので，端面の屈折角と側面への入射角の和は $90^{\circ}$ である．

端面での屈折角を $θ^{'}$ とすると $\sin θ_{0} = n_{1} \sin θ^{'}$ である．側面への入射角は $90^{\circ} - θ^{'}$ で，全反射の条件は

\sin (90^{\circ} - θ^{'}) = \cos θ^{'} \geq \frac{n_{2}}{n_{1}}

である（等号は臨界の場合）． $\sin θ^{'} = \sqrt{1 - \cos^{2} θ^{'}} \leq \sqrt{1 - n_{2}^{2} / n_{1}^{2}}$ なので

\sin θ_{0} = n_{1} \sin θ^{'} \leq \sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2}}

となる．

$\sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2}} = \sqrt{{1.48}^{2} - {1.46}^{2}} = \sqrt{2.94 \times 0.02} = 0.242$ ．よって $θ_{0}$ の最大値は ${14.0}^{\circ}$ である．この $\sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2}}$ を開口数といい，ファイバーが取り込める光の広がりを表す．
軸に沿う光が進む道のりは $L$ で，時間は $t_{1} = n_{1} L / c$ である．最大の角の光は，芯の中で軸と $θ^{'}$ をなす向きにジグザグに進み，道のりは $L / \cos θ^{'} = L n_{1} / n_{2}$ になる（臨界の場合 $\cos θ^{'} = n_{2} / n_{1}$ ）．時間は $t_{2} = n_{1}^{2} L / (n_{2} c)$ で，差は

t_{2} - t_{1} = \frac{n_{1} L}{c} (\frac{n_{1}}{n_{2}} - 1) = \frac{n_{1} (n_{1} - n_{2}) L}{n_{2} c} = \frac{1.48 \times 0.02 \times 1.0 \times 10^{3}}{1.46 \times 3.00 \times 10^{8}} s = 6.8 \times 10^{- 8} s

である．

確かめ： $n_{2} \to n_{1}$ では取り込める角も時刻の差も0になる．1 km で約 70 ns の差があると，それより短い間隔の光の点滅は他端で重なって区別できない．長距離の通信では芯を波長の数倍まで細くするが，そうなると光線の考えは使えず，波としての扱いが要る．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

太陽の光が球形の雨粒に入り，中で1回反射して出てくる．雨粒の大きさは光の波長より十分大きく，光線の考えが使えるとする．雨粒への入射角を $θ$ ，屈折角を $r$ ，水の屈折率を $n$ とする．

出てくる光の向きが，入ってくる光の向きから回った角（偏角） $D$ を $θ, r$ で表せ．
$θ$ を変えたとき $D$ が最小になる条件が $\cos^{2} θ = \frac{n^{2} - 1}{3}$ であることを示せ．
赤い光（ $n = 1.331$ ）と紫の光（ $n = 1.343$ ）について， $D$ が最小になる向きが，太陽と反対の方向（観測者の影の頭の方向）となす角 $180^{\circ} - D$ を求めよ．虹の外側に見えるのはどちらの色か．

**［図：雨粒で1回反射する光線］**
球形の雨粒に太陽の光が入射角θで入り，屈折角rで進み，奥の面で1回反射してから屈折して出る．破線の半径は各面の法線である．左下では入射方向を平行移動して，出射方向とのなす偏角Dの定義を示す．

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考え方 光は3回向きを変える（入るときの屈折，中での反射，出るときの屈折）．それぞれで回る角を足せば偏角になる．偏角が最小の所では，入射角が少しずれても出ていく向きが変わらないので光が集まる．

入るときの屈折で向きが $θ - r$ だけ回る．雨粒の中で光線と半径（法線）のなす角は，二等辺三角形の性質からどこでも $r$ なので，中での反射では $180^{\circ} - 2 r$ 回る．出るときの屈折は入るときの逆で，向きが $θ - r$ 回る．3回とも同じ向きに回るので

D = (θ - r) + (180^{\circ} - 2 r) + (θ - r) = 180^{\circ} + 2 θ - 4 r

である．

$d D / d θ = 2 - 4 d r / d θ = 0$ から $d r / d θ = 1 / 2$ である．屈折の法則 $\sin θ = n \sin r$ を $θ$ で微分すると $\cos θ = n \cos r d r / d θ$ なので， $2 \cos θ = n \cos r$ となる．2乗して $n^{2} \cos^{2} r = n^{2} - n^{2} \sin^{2} r = n^{2} - \sin^{2} θ = n^{2} - 1 + \cos^{2} θ$ を使うと

4 \cos^{2} θ = n^{2} - 1 + \cos^{2} θ, \cos^{2} θ = \frac{n^{2} - 1}{3}

となる． $θ$ が0のとき $D = 180^{\circ}$ ， $θ$ が $90^{\circ}$ に近づくと $D$ は再び大きくなるので，この点は最小である．

赤い光では $\cos^{2} θ = ({1.331}^{2} - 1) / 3 = 0.2572$ ， $\cos θ = 0.5071$ ， $θ = {59.53}^{\circ}$ ． $\sin r = \sin θ / 1.331 = 0.6475$ ， $r = {40.36}^{\circ}$ なので

D = 180^{\circ} + 2 \times {59.53}^{\circ} - 4 \times {40.36}^{\circ} = {137.6}^{\circ}, 180^{\circ} - D = {42.4}^{\circ}

である．紫の光では $\cos^{2} θ = ({1.343}^{2} - 1) / 3 = 0.2679$ ， $\cos θ = 0.5176$ ， $θ = {58.83}^{\circ}$ ， $\sin r = 0.6371$ ， $r = {39.58}^{\circ}$ なので $D = {139.4}^{\circ}$ ， $180^{\circ} - D = {40.6}^{\circ}$ である．

観測者の影の頭の方向から見て，赤は約 $42^{\circ}$ ，紫は約 $41^{\circ}$ の円の上で明るくなる．したがって虹の外側が赤，内側が紫である．

確かめ：屈折率が大きいほど $D$ が大きく，虹の半径は小さいので，紫が内側に来る． $n = 1$ （曲がらない）なら $\cos^{2} θ = 0$ で $θ = 90^{\circ}$ ， $r = 90^{\circ}$ ， $D = 0$ となり，かすめて素通りする光に戻る．雨粒の中で2回反射する光にも偏角の最小があり，太陽と反対の方向から約 $51^{\circ}$ に色の並びが逆の副虹ができる．

ポイントここまでのまとめ

見かけの深さは，物から出る近い角の2本の光線を逆に延ばした交点で決まる．真上近くからは $h / n$ ，斜めから見るほど浅く見える．
光ファイバーが取り込める光は $\sin θ_{0} \leq \sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2}}$ ．端面の屈折角と側面への入射角の和が $90^{\circ}$ であることを使う．
雨粒の中で1回反射する光の偏角は $D = 180^{\circ} + 2 θ - 4 r$ で，最小の向きに光が集まる．虹の半径は約 $42^{\circ}$ （赤）と約 $41^{\circ}$ （紫）で，外側が赤になる．
偏角が最小（停留）の向きは，入射の条件が少しずれても変わらないので，測定にも像にも強く現れる．