光

光学距離と干渉縞の演習

著者：柚木芹香

光学距離と反射の位相を数えてください．特記なければ真空波長 $λ_{0} = 600 nm$ ， $d = 0.400 mm$ ， $L = 1.20 m$ ，空気の屈折率1とし，吸収と分散を無視します．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

同位相で照らす2スリットの装置全体を，距離を変えずに屈折率 $n = 1.50$ の液体に入れる．

小角近似で，空気中と液体中の縞間隔を求めよ．

**［図：液体中の2スリット］**
屈折率nが1.50の液体中に，間隔dの2スリットと距離Lのスクリーンを置く．スクリーンの中央を0とする横座標xを示す．

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考え方 明線の光路差は真空波長の整数倍である．

中央からの座標を $x$ とすると，小角で経路差は $d x / L$ なので，光路差は $Δ = n d x / L$ ．明線の条件 $Δ = m λ_{0}$ から間隔は $w = L λ_{0} / (n d)$ ．空気中は $1.80 mm$ ，液体中は $1.20 mm$ である．

近似条件は $d / L, | x | / L$ が十分小さいことである．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

同位相で照らすヤングの装置で，上下のスリットを $x = \pm d / 2$ とする．上側に屈折率 $n = 1.50$ ，厚さ $h = 1.80 μ m$ の板と減光板を垂直に置く．上側からの電場振幅は下側の半分になる．板以外の位相変化と多重反射は無視する．

板を置く前の中央明線が移る向きと距離を求めよ．
下側だけの強さを $I_{0}$ とし，合成の強さ，最大値，最小値を複素振幅から求めよ．

**［図：上側に板を置いた2スリット］**
上のスリットの直後に屈折率1.50，厚さhが1.80 μmの板と減光板を置く．上下のスリット位置はxが±d/2で，xの正方向を上向きにとる．

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考え方 板による光学距離の増加は，置き換えた空気の分を引く．

上側から下側を引いた光路差は $Δ = (n - 1) h - d x / L$ ．中央明線は $Δ = 0$ より $x = L (n - 1) h / d = 2.70 mm$ ．板のある上側へ移る．
$ϕ = 2 π Δ / λ_{0}$ とする．下側の複素振幅を $E_{0}$ とすれば，上側は $E_{0} e^{- i ϕ} / 2$ ．電場は和に $e^{i ω t}$ を掛けた実部，強さは和の絶対値の2乗に比例し

I = I_{0} {| 1 + \frac{1}{2} e^{- i ϕ} |}^{2} = I_{0} (\frac{5}{4} + \cos ϕ), I_{max} = \frac{9}{4} I_{0}, I_{min} = \frac{1}{4} I_{0}

となる．振幅の差が残るため暗線は0にならない． $d / L, | x | / L$ が小さい範囲の近似である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

ガラス板の間に，接点から距離 $ℓ = 45.0 mm$ の位置で厚さ $h$ となるくさび形空気層を作る．ガラスの屈折率は $n_{g} = 1.60$ ．ほぼ垂直に照らし，層の上下からの反射の干渉を観察する．暗線の間隔は $w = 0.750 mm$ であった．

接点が明るいか暗いかを説明し， $h$ を求めよ．

**［図：ガラス板の間のくさび形空気層］**
ガラス板の接点から距離ℓが45.0 mmの位置に厚さhの空気層がある．ほぼ垂直な入射光と，ガラスの屈折率n_gを示す．

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考え方 反転は一方の反射だけに起こる．

ガラスから空気への反射は反転せず，空気からガラスへの反射は $π$ ずれる．接点は光路差0で暗い．位置 $x$ の厚さは $t = h x / ℓ$ ．暗線は $2 t = m λ_{0}$ なので $w = ℓ λ_{0} / (2 h)$ ．よって $h = ℓ λ_{0} / (2 w) = 18.0 μ m$ ．

くさびの傾き $h / ℓ = 4.00 \times 10^{- 4}$ が小さく，同じ厚さで上下を比較する近似が有効である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

空気，薄膜，基板の屈折率を $1, n_{f} = 1.25, n_{s} = 1.5625$ とする．垂直入射の複素振幅反射係数は

r = \frac{r_{0} (1 + e^{- i ψ})}{1 + r_{0}^{2} e^{- i ψ}}, r_{0} = - \frac{1}{9}, ψ = \frac{4 π n_{f} t}{λ_{0}}

で与えられる．多重反射を含む式で， $t$ は膜厚，反射率は ${| r |}^{2}$ である．

$λ_{0} = 500 nm$ の反射を消す最小の正の膜厚を求めよ．
膜厚を2倍にしたときの反射率を求めよ．

**［図：空気・薄膜・基板の配置］**
屈折率1の空気，屈折率n_fが1.25の薄膜，屈折率n_sが1.5625の基板を示す．膜厚をtとし，光は垂直に入射する．

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考え方 反射振幅の分子を0にする．

$r_{0} = - 1 / 9$ ．分子0には $e^{- i ψ} = - 1$ ，最小位相は $ψ = π$ ．分母は $1 - 1 / 81 \neq 0$ なので $t = λ_{0} / (4 n_{f}) = 100 nm$ である．
$t = 200 nm$ では $ψ = 2 π$ なので $r = (- 2 / 9) / (1 + 1 / 81) = - 9 / 41$ ，反射率は $81 / 1681 = 0.0482$ ．膜厚と反射率は単調な関係ではない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

マイケルソン干渉計の一方に長さ $ℓ = 0.0500 m$ の気体セルを置く．光はセルを往復し，温度一定で圧力 $p$ に対し $n - 1 = κ p$ とする． $λ_{0} = 500 nm$ の光を用い，基準からの光路差を $λ_{0}$ で割った符号付きの縞の本数 $N$ を測った．基準は，セルを真空にし，窓を含む両腕の光学距離を等しく調整した状態とする．鏡には基準状態から一定のずれ $ε$ があり得る（遠ざかる向きが正）．窓の寄与は一定である．

$p$	$N$
$0 Pa$	$0.60$
$2.00 \times 10^{4} Pa$	$8.60$
$6.00 \times 10^{4} Pa$	$24.60$

$N$ と $p$ の関係から $κ, ε$ を求めよ．
ずれを無視し， $p = 2.00 \times 10^{4} Pa$ の1点だけで $κ$ を決めると，相対誤差はいくらか．

**［図：気体セルをもつマイケルソン干渉計］**
半透鏡から分かれる2本の腕を示す．一方の腕の気体セルの長さはℓで，光はセルを往復する．鏡の変位εの正方向は半透鏡から遠ざかる向きである．

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考え方 傾きから気体の変化を，切片から鏡のずれを決める．

光路差の変化は $Δ = 2 ℓ κ p + 2 ε$ ． $N = Δ / λ_{0}$ だから傾きは $2 ℓ κ / λ_{0}$ ，切片は $2 ε / λ_{0}$ ．表の傾きは $8.00 / (2.00 \times 10^{4} Pa) = 4.00 \times 10^{- 4} {Pa}^{- 1}$ で各区間で一致する． $κ = λ_{0} (4.00 \times 10^{- 4} {Pa}^{- 1}) / (2 ℓ) = 2.00 \times 10^{- 9} {Pa}^{- 1}$ ， $ε = 0.60 λ_{0} / 2 = 0.15 μ m$ ．
1点からの値は $κ^{'} = N λ_{0} / (2 ℓ p) = 2.15 \times 10^{- 9} {Pa}^{- 1}$ ．相対誤差は $(κ^{'} - κ) / κ = 0.075$ ，7.5 %の過大評価となる． $p = 0$ のずれは気体の寄与ではない．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

2スリットの横座標を $\pm d / 2$ ，スクリーンの横座標を $x$ とする．点光源はスリットの前方 $D = 0.600 m$ ，横座標 $s$ にある．各光源の2スリット経由の振幅は等しい．

小角近似で全光路差を求め，光源を $s = 0.300 mm$ へ移したときの中央明線の位置を求めよ．
点光源を，同じ強さで位相が無相関な2光源 $s = \pm s_{0}$ に置き換える．縞が消える最小の正の $s_{0}$ を求めよ．

**［図：点光源と2スリットの位置関係］**
上段は横座標sの1光源，下段は横座標±s₀の無相関な2光源の配置である．光源からスリットまでD，スリットからスクリーンまでLをとる．

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考え方 光源側の差も数え，無相関な光源の強さを足す．

$\sqrt{D^{2} + u^{2}} \approx D + u^{2} / (2 D)$ を使うと，上側から下側を引いた入射側の差は $[(s - d / 2)^{2} - (s + d / 2)^{2}] / (2 D) = - d s / D$ ．出射側も同様に $- d x / L$ だから $Δ = - d (s / D + x / L)$ ．中央明線は $Δ = 0$ より $x = - L s / D = - 0.600 mm$ で，光源と反対側へ移る．
片スリットからの強さを $I_{0}$ ， $ϕ = 2 π d x / (L λ_{0})$ ， $η = 2 π d s_{0} / (D λ_{0})$ とする．複素振幅を足すと $I_{\pm} = I_{0} {| 1 + e^{- i (ϕ \pm η)} |}^{2} = 2 I_{0} [1 + \cos (ϕ \pm η)]$ ．無相関なので交差項の平均は0で，合計は $I_{+} + I_{-} = 4 I_{0} (1 + \cos ϕ \cos η)$ ．縞が消える最小条件は $η = π / 2$ だから $s_{0} = D λ_{0} / (4 d) = 0.225 mm$ ．近似条件は $d / D, | s | / D, d / L, | x | / L$ が十分小さいことである．

ポイント教える人へ

光路差と反射の位相を数えさせます．
暗線の振幅条件を問います．
無相関な光源では強さを足す理由を問います．