力と運動の法則

斜面での力の分解と例題

著者：柚木芹香

自由体図を描いて，斜面で力を分解する数学の道具を使う例題です．

数学の道具

定理数学の道具：斜面での力の分解

傾き $θ$ の斜面に物体があるとき，座標軸を斜面に沿った向きと斜面に垂直な向きにとると，力が扱いやすくなる．重力 $m g$ は鉛直下向きで，斜面に垂直な向きとのなす角が $θ$ になる．したがって

斜面に沿って下向き： m g \sin θ, 斜面に垂直で面に向かう向き： m g \cos θ

と分解できる．

角が $θ$ になる理由は，次のとおりです．斜面と水平面のなす角が $θ$ なら，斜面に垂直な直線と鉛直線のなす角も，同じ $θ$ になる（互いに垂直な2直線の組を，同じ角だけ回しただけだからである）． $θ \to 0$ の極端な場合を考えると，斜面が水平なので重力はすべて面に垂直で， $m g \cos 0 = m g$ となり，確かに正しい式になっている．

練習 1． 傾き $60^{\circ}$ の斜面上の質量 $m$ の物体について，重力の斜面に沿った成分と，垂直な成分を求めよ．

練習 2． 傾き $30^{\circ}$ の斜面上の質量 $2.0 kg$ の物体について，重力の斜面に沿った成分と垂直な成分を数値で求めよ（ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）．

練習 3． 傾き $θ$ の斜面上の物体に，斜面に向かって水平に大きさ $F$ の力を加える．この力の，斜面に沿って上向きの成分と，斜面に垂直で面に向かう成分を求めよ．

練習 4． 重力の斜面に沿った成分が，垂直な成分のちょうど半分になる斜面の傾き $θ$ を求めよ．

答え：(1) 斜面に沿う成分は $m g \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} m g$ ，垂直な成分は $m g \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} m g$ ．(2) 沿う成分 $2.0 \times 9.8 \times \frac{1}{2} = 9.8 N$ ，垂直な成分 $2.0 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17 N$ ．(3) 水平と斜面のなす角が $θ$ なので，斜面に沿って上向きの成分は $F \cos θ$ ，面に向かう成分は $F \sin θ$ ．(4) $m g \sin θ = \frac{1}{2} m g \cos θ$ より $\tan θ = \frac{1}{2}$ ， $θ \approx 27^{\circ}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

傾き $30^{\circ}$ の粗い斜面の上に，質量 $2.0 kg$ の箱が静止している．この箱の自由体図を描き，箱が受ける垂直抗力の大きさ $N$ と，静止摩擦力の大きさ $f$ を求めよ．

**［図：傾き30°の斜面上の箱と座標軸］**
左が高く右が低い傾き30°の斜面とその上の箱．箱の中心を原点として，斜面に沿って下り向きを正とするx軸と，斜面に垂直なy軸をとる．

解答を見る

考え方 箱に触れているのは斜面だけなので，受ける力は重力，垂直抗力，摩擦力の3つである．静止しているので，斜面に沿う向きと垂直な向きのそれぞれで，力がつり合う．

自由体図には，鉛直下向きの重力 $m g$ ，斜面に垂直で面から出る向きの垂直抗力 $N$ ，斜面に沿って上向き（滑り落ちようとするのを妨げる向き）の静止摩擦力 $f$ を描く．

**［図：斜面上の箱の自由体図］**
傾き30°の斜面上の箱を点で描いた自由体図．鉛直下向きの重力mg，斜面に垂直で面から出る向きの垂直抗力N，斜面に沿って上向きの静止摩擦力fを描く．重力は斜面に沿う成分mg sin30°と垂直な成分mg cos30°に分けて点線で示す．NはN=mg cos30°，fはf=mg sin30°の長さで描く．

斜面に垂直な向きのつり合いから

N = m g \cos 30^{\circ} = 2.0 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17 N

斜面に沿う向きのつり合いから

f = m g \sin 30^{\circ} = 2.0 \times 9.8 \times \frac{1}{2} = 9.8 N

を得る．摩擦力は $μ N$ とは限らず，静止している間は「必要なだけ」である（上限との比較は「摩擦」の節で扱う）．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $0.50 kg$ の球を軽い糸で吊るし，球を滑らかな鉛直の壁に押しつけて静止させる．糸と壁のなす角は $30^{\circ}$ で，糸は球の中心を通っているとする．球の自由体図を描き，糸の張力 $T$ と，壁が球を押す力 $N$ を求めよ．

**［図：壁に押しつけて糸で吊るした球］**
滑らかな鉛直の壁の上端に固定した糸が斜めに伸び，その先に質量0.50 kgの球が壁に触れて吊るされている．糸と壁のなす角は30°で，糸は球の中心を通る．

解答を見る

考え方 球が触れているのは糸と壁だけである．壁は滑らかなので，壁が及ぼす力は面に垂直な水平方向の1つだけである．鉛直方向と水平方向でつり合いを立てる．

球には，鉛直下向きの重力 $m g$ ，糸に沿って壁の上端の向きに引く張力 $T$ ，壁から水平に押される垂直抗力 $N$ が働く．糸が壁となす角を $α = 30^{\circ}$ とすると，張力の鉛直成分は $T \cos α$ （上向き），水平成分は $T \sin α$ （壁に向かう向き）である．垂直抗力 $N$ はこれとつり合って壁から遠ざかる向きに働く．

鉛直方向： $T \cos α = m g$

水平方向： $N = T \sin α$

これを解いて

T = \frac{m g}{\cos α} = \frac{0.50 \times 9.8}{\sqrt{3} / 2} \approx 5.7 N, N = m g \tan α = 0.50 \times 9.8 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2.8 N

となる．張力は重力 $m g = 4.9 N$ より大きい．糸が斜めになっているぶん，水平方向の成分まで負担しているからである．

ポイントここまでのまとめ

自由体図は，注目する物体が受ける力だけを，相手の名前つきで描く．まず重力，次に触れているものを数える．
斜面では，軸を斜面に沿う向きと垂直な向きにとる．重力の成分は，沿う向きが $m g \sin θ$ ，垂直な向きが $m g \cos θ$ である． $θ \to 0$ の極端な場合で検算できる．
静止摩擦力は「必要なだけ」働く力で，上限は $μ N$ である．常に $μ N$ とは限らない．
力が3つ以上でも，成分ごとにつり合いを立てれば張力や垂直抗力が求まる．