対称性から組み立てる力学（発展）

拘束のある運動を解く

著者：柚木芹香

問い

振り子のおもりは，糸に引かれて円の上を動きます．糸がおもりを引く力（張力）は，おもりの速さや位置によって刻々と変わり，前もっては分かりません．張力を知らないまま，振り子の運動を求めることはできるでしょうか．輪にはめたビーズを，輪ごと鉛直な軸のまわりに回したら，ビーズはどこで落ち着くでしょうか．

考えてみる

糸の長さが変わらない，ビーズが輪から外れない，のように，動き方に課された条件を拘束といいます．拘束があると，粒子の位置を表す数のうち，自由に動けるものが減ります．長さ $l$ の糸の振り子のおもりは，平面内で2つの数 $(x, y)$ を持ちますが， $x^{2} + y^{2} = l^{2}$ という条件があるので，自由度は1です．

拘束を保つ力（張力や面からの力）は，拘束から外れようとする動きを押し戻すだけで，拘束に沿った動きの向きには働きません．このような拘束をなめらかな拘束といいます．なめらかな拘束は，ごくわずかに外れるだけで大きな位置エネルギーが生まれる，非常に硬いばねのようなものと考えられます．その極限では，拘束を自動的に満たす一般化座標でラグランジアンを書けば，拘束を保つ力を考えずに運動が求まります．

ポイント拘束のある系の解き方

拘束を自動的に満たす一般化座標 $q_{1}, \dots, q_{s}$ を選ぶ（ $s$ は自由度）．
運動エネルギー $K$ と位置エネルギー $U$ を，一般化座標と一般化速度で書き， $L = K - U$ を作る．
オイラー＝ラグランジュ方程式を立てる．拘束を保つ力は，式に現れない．

振り子

長さ $l$ の軽い糸に質量 $m$ のおもりをつけ，鉛直な平面内で振らせます．一般化座標には，糸が鉛直となす角 $θ$ を選びます．支点を原点，鉛直上向きを $y$ とすると，おもりの位置は $(l \sin θ, - l \cos θ)$ で，速さは $l \dot{θ}$ です．

**［図：振り子の座標と接線方向の速度］**
支点Oから長さlの糸で質量mのおもりをつるす．θは鉛直下向きから右へ測る角．青い速度は円の接線方向で，θが増える向きを例として示す．張力は描かない．

L = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} + m g l \cos θ

です． $\partial L / \partial \dot{θ} = m l^{2} \dot{θ}$ ， $\partial L / \partial θ = - m g l \sin θ$ なので

m l^{2} \ddot{θ} = - m g l \sin θ, \ddot{θ} = - \frac{g}{l} \sin θ

です．張力は一度も出てきませんでした．角が小さければ $\sin θ \approx θ$ で，角振動数 $\sqrt{g / l}$ の単振動になります．第7章で張力を消去して得た式と同じです．

回る輪の上のビーズ

半径 $R$ の輪を鉛直に立て，鉛直な直径を軸として一定の角速度 $ω$ で回します．輪には質量 $m$ のビーズがはまっていて，輪に沿って滑らかに動けます．ビーズの位置は，輪の最下点から測った角 $θ$ の1つで決まります．

**［図：鉛直な輪と回転軸］**
鉛直な直径を軸に回る輪と，ある瞬間のビーズを描く．θは最下点から測る角で，青い矢印は輪の回転ωの向き．描いたビーズの位置はつり合いの答えを表さない．

ビーズの速度は，輪に沿った成分 $R \dot{θ}$ と，軸のまわりに回る成分 $ω R \sin θ$ （軸からの距離 $R \sin θ$ に $ω$ を掛けたもの）からなり，2つは垂直です．高さは中心から $- R \cos θ$ なので

L = \frac{1}{2} m R^{2} ({\dot{θ}}^{2} + ω^{2} \sin^{2} θ) + m g R \cos θ

です．オイラー＝ラグランジュ方程式は

\ddot{θ} = \sin θ (ω^{2} \cos θ - \frac{g}{R})

となります．右辺が0になる所がつり合いの位置です． $θ = 0$ （最下点）はいつもつり合いの位置で， $θ$ が小さいと $\ddot{θ} \approx (ω^{2} - g / R) θ$ なので， $ω^{2}$ が $g / R$ より小さければ安定です． $ω^{2} > g / R$ になると最下点は不安定になり，代わりに

\cos θ_{0} = \frac{g}{R ω^{2}}

の2か所に，安定なつり合いの位置が現れます．輪を速く回すと，ビーズは最下点から押し上げられて，横に落ち着くのです．

［図：回転の速さとビーズのつり合い］

初期状態は半径1.0 mの輪をω=4.5 rad s⁻¹で回し，軸の左右の安定なつり合いを示す．角速度を変えると，ω=√(g/R)を境に安定な位置が分かれる．安定を実線と塗りつぶし，不安定を破線と白抜きで示す．最上点も描く．スライダーだけで変化し，自動再生はしない．

拘束が時間とともに動くとき

前の題材で，ラグランジアンが時刻を直接含まなければ $E = \sum p_{i} {\dot{q}}_{i} - L$ が保存することを見ました．回る輪のラグランジアンは時刻を含まないので，

E = \frac{1}{2} m R^{2} {\dot{θ}}^{2} - \frac{1}{2} m R^{2} ω^{2} \sin^{2} θ - m g R \cos θ

が保存します．ところが，これはビーズの運動エネルギーと位置エネルギーの和 $\frac{1}{2} m R^{2} ({\dot{θ}}^{2} + ω^{2} \sin^{2} θ) - m g R \cos θ$ ではありません．輪を一定の角速度で回し続けるには，輪を回す側が仕事をしなければならず，ビーズの $K + U$ は保存しないのです． $E = K + U$ となるのは，拘束が時間とともに動かず， $K$ が一般化速度の2次式になっているときです．

拘束を保つ力が知りたいとき

この方法では，張力のような拘束を保つ力は求まりません．それが知りたいときは，糸の長さ $r$ も一般化座標に加え，拘束を破る向きに力を考える方法（ラグランジュの未定乗数法）があります．大学の力学で学びます．この章では，運動を求めることに集中します．

問いに戻る

張力を知らなくても，振り子の運動は求まります．おもりが円の上にあることを角 $θ$ で表し， $L$ を $θ$ と $\dot{θ}$ で書けば，張力は式に現れません．回る輪のビーズは，輪の回転がゆっくりなら最下点で， $ω^{2} > g / R$ になると $\cos θ_{0} = g / (R ω^{2})$ の位置で落ち着きます．

ポイントここまでのまとめ

動き方の条件を拘束という．なめらかな拘束を保つ力は，拘束に沿った向きに働かない．
拘束を満たす一般化座標で $L = K - U$ を書けば，拘束を保つ力を考えずに運動が求まる．
振り子： $\ddot{θ} = - (g / l) \sin θ$ ．回る輪のビーズ： $\ddot{θ} = \sin θ (ω^{2} \cos θ - g / R)$ で， $ω^{2} > g / R$ で最下点が不安定になり， $\cos θ_{0} = g / (R ω^{2})$ に安定な位置が現れる．
拘束が時間とともに動くと，保存する $E = \sum p_{i} {\dot{q}}_{i} - L$ は $K + U$ と一致しない．