対称性から組み立てる力学（発展）

拘束のある運動の例題

著者：柚木芹香

本体の節の手順（座標を選ぶ → $K$ と $U$ を書く → オイラー＝ラグランジュ方程式）を，前の章で力から解いた問題に当てはめます．拘束を保つ力を考えずに済むことと，答えが前の章と一致することを確かめてください．

ポイント数学の道具：小さな振動の展開

つり合いの位置 $q_{0}$ のまわりの小さなずれ $ξ = q - q_{0}$ を考えるときは， $L$ の運動エネルギーの部分を $ξ$ の2次（ ${\dot{ξ}}^{2}$ の項）まで，位置エネルギーの部分を $ξ$ の2次まで残す． $\cos θ \approx 1 - \frac{θ^{2}}{2}$ ， $\sin θ \approx θ$ などを使う．こうして得た $L$ から出る方程式は1次式になり，単振動の重ね合わせで解ける．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R$ ，慣性モーメント $I$ の滑車に軽い糸をかけ，両端に質量 $m_{1} = 0.30 kg$ と $m_{2} = 0.20 kg$ のおもりをつるす．糸は滑車に対して滑らない．滑車は質量 $0.20 kg$ の一様な円板で， $I = \frac{1}{2} \times 0.20 \times R^{2}$ とする． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

$m_{1}$ が下がった距離 $x$ を一般化座標として，ラグランジアンを書け．
おもりの加速度の大きさを求め，滑車の慣性モーメントを無視した場合と比べよ．

**［図：慣性をもつ滑車と2つのおもり］**
固定軸に半径R，慣性モーメントIの滑車を置き，両側の糸におもりm₁，m₂をつるす．m₁側に下向きを正とする座標xを描く．加速度や張力の値は示していない．

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考え方 糸が伸びず滑らないので， $m_{1}$ が $x$ 下がると $m_{2}$ は $x$ 上がり，滑車は角 $x / R$ 回る．自由度は1．

$m_{1}$ と $m_{2}$ の速さは $\dot{x}$ ，滑車の角速度は $\dot{x} / R$ ．位置エネルギーは $- m_{1} g x + m_{2} g x$ （定数を除く）なので

L = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} + \frac{I}{R^{2}}) {\dot{x}}^{2} + (m_{1} - m_{2}) g x

オイラー＝ラグランジュ方程式から

\ddot{x} = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2} + I / R^{2}} = \frac{0.10 \times 9.8}{0.30 + 0.20 + 0.10} \approx 1.6 m s^{- 2}

慣性モーメントを無視すると $\frac{0.10 \times 9.8}{0.50} \approx 2.0 m s^{- 2}$ ．滑車も回して運動エネルギーを持たせる分だけ，加速度が小さくなる．

確かめ： $m_{1} = m_{2}$ なら加速度は0．2本の糸の張力と滑車のトルクを考えて力から解いても，同じ結果になる．張力を考えずに済むのがこの方法の利点である．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

長さ $l$ の軽い糸に質量 $m$ のおもりをつけた振り子の支点が，水平方向に一定の加速度 $A$ で動いている（支点の位置 $x_{s} (t)$ ， ${\ddot{x}}_{s} = A$ ）．糸が鉛直となす角を $θ$ とする（支点の進む向きと反対側に振れたときを負）．

ラグランジアンを書き， $θ$ の運動方程式を求めよ．
つり合いの角 $θ_{0}$ と，そのまわりの小さな振動の角振動数を求めよ． $A = 2.0 m s^{- 2}$ ， $l = 0.50 m$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ として数値も答えよ．

**［図：水平に動く支点の振り子］**
レール上の支点の位置は床に固定した原点から測るxₛ．長さlの糸と鉛直下向きの角がθで，支点の進む右向きに振れる向きを正とする．つり合いの角や見かけの重力は示していない．

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考え方 支点の動きは与えられた時刻の関数で，一般化座標は $θ$ の1つ．おもりの位置を支点の位置と $θ$ で書く．

おもりの位置は $(x_{s} + l \sin θ, - l \cos θ)$ ．速度は $({\dot{x}}_{s} + l \dot{θ} \cos θ, l \dot{θ} \sin θ)$ なので

L = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}_{s}^{2} + 2 {\dot{x}}_{s} l \dot{θ} \cos θ + l^{2} {\dot{θ}}^{2}) + m g l \cos θ

$\partial L / \partial \dot{θ} = m ({\dot{x}}_{s} l \cos θ + l^{2} \dot{θ})$ の時間微分は $m ({\ddot{x}}_{s} l \cos θ - {\dot{x}}_{s} l \dot{θ} \sin θ + l^{2} \ddot{θ})$ ， $\partial L / \partial θ = - m {\dot{x}}_{s} l \dot{θ} \sin θ - m g l \sin θ$ なので

l \ddot{θ} = - g \sin θ - A \cos θ

つり合いは $g \sin θ_{0} + A \cos θ_{0} = 0$ で $\tan θ_{0} = - A / g$ ．右辺は $- \sqrt{g^{2} + A^{2}} \sin (θ - θ_{0})$ と書けるので，小さなずれ $ξ = θ - θ_{0}$ では $l \ddot{ξ} \approx - \sqrt{g^{2} + A^{2}} ξ$ ，角振動数は $ω = \sqrt{\sqrt{g^{2} + A^{2}} / l}$ ．

数値： $\tan θ_{0} = - 0.204$ で $θ_{0} \approx - {11.5}^{\circ}$ （進む向きと反対側に傾く）． $\sqrt{{9.8}^{2} + {2.0}^{2}} \approx 10.0 m s^{- 2}$ なので $ω \approx \sqrt{10.0 / 0.50} \approx 4.5 s^{- 1}$ ．

確かめ： $A = 0$ なら $θ_{0} = 0$ ， $ω = \sqrt{g / l}$ ．第11章で，加速する電車の中の振り子を見かけの重力 $\sqrt{g^{2} + A^{2}}$ で解いた結果と一致する．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

長さ $l$ の軽い糸2本と質量 $m$ の2つのおもりで作った二重振り子を，鉛直な平面内で小さく振らせる．上の糸と下の糸が鉛直となす角を $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ とする．

角が小さいとして，ラグランジアンを $θ$ と $\dot{θ}$ の2次まで書け．
2つのおもりがそろって同じ角振動数 $ω$ で振れる運動（基準振動）を探し， $ω$ を求めよ． $l = 0.50 m$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ として数値も答え，それぞれの振れ方を述べよ．

**［図：小さく振れた二重振り子］**
2本の糸はともに長さl，2つの小球はともに質量m．それぞれの糸と鉛直下向きの間に小さな角θ₁，θ₂を描く．基準振動や振幅の比は示していない．

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考え方 下のおもりの速度は，上のおもりの速度 $l {\dot{θ}}_{1}$ と，上のおもりに対する速度 $l {\dot{θ}}_{2}$ の和．角が小さければ2つはほぼ平行で，速さは $l ({\dot{θ}}_{1} + {\dot{θ}}_{2})$ ．位置エネルギーは $\cos θ \approx 1 - θ^{2} / 2$ で展開する．

上のおもりの高さは $- l \cos θ_{1}$ ，下は $- l \cos θ_{1} - l \cos θ_{2}$ ．定数を除いて

L = \frac{1}{2} m l^{2} [{\dot{θ}}_{1}^{2} + ({\dot{θ}}_{1} + {\dot{θ}}_{2})^{2}] - \frac{1}{2} m g l (2 θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2})

オイラー＝ラグランジュ方程式は

2 {\ddot{θ}}_{1} + {\ddot{θ}}_{2} = - \frac{2 g}{l} θ_{1}, {\ddot{θ}}_{1} + {\ddot{θ}}_{2} = - \frac{g}{l} θ_{2}

$θ_{1} = A_{1} \cos ω t$ ， $θ_{2} = A_{2} \cos ω t$ を代入し， $ω_{0}^{2} = g / l$ とおくと

2 (ω_{0}^{2} - ω^{2}) A_{1} = ω^{2} A_{2}, ω^{2} A_{1} = (ω_{0}^{2} - ω^{2}) A_{2}

2つ目から $A_{2} = \frac{ω^{2}}{ω_{0}^{2} - ω^{2}} A_{1}$ を1つ目に入れて $A_{1} \neq 0$ で割ると $2 (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} = ω^{4}$ ，つまり $\sqrt{2} (ω_{0}^{2} - ω^{2}) = \pm ω^{2}$ ．よって

ω^{2} = (2 \mp \sqrt{2}) \frac{g}{l}

$g / l = 19.6 s^{- 2}$ では， $ω \approx \sqrt{0.586 \times 19.6} \approx 3.4 s^{- 1}$ と $ω \approx \sqrt{3.41 \times 19.6} \approx 8.2 s^{- 1}$ ．
振れ方は，小さいほう（ $A_{2} / A_{1} = \sqrt{2}$ ）が2つのおもりが同じ向きに振れる遅い振動，大きいほう（ $A_{2} / A_{1} = - \sqrt{2}$ ）が逆向きに振れる速い振動．

確かめ：第7章の連成振動と同じく，振動数の違う2つの基準振動がある．下のおもりの振幅は，どちらの振動でも上の $\sqrt{2}$ 倍．

ポイントここまでのまとめ

慣性モーメントのある滑車も，回転の運動エネルギーを $L$ に入れるだけで扱える．
支点が与えられた動きをする場合も，支点の位置を時刻の関数として $L$ に入れれば解ける．加速する支点の振り子は，見かけの重力 $\sqrt{g^{2} + A^{2}}$ で傾いて振れる．
小さな振動は， $L$ を2次まで展開すると1次の連立方程式になり，基準振動で解ける．
どの例でも，拘束を保つ力（張力）は一度も現れない．