対称性から組み立てる力学（発展）

拘束のある運動の演習

著者：柚木芹香

一般化座標から各部分の位置と速度を書き， $L$ から運動と保存量を求めてください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

水平な固定円環（半径 $R$ ）に質量 $m$ のビーズがはまり，なめらかに動きます．円の中心を原点とし，外から与えられた位置エネルギーは $U = k x^{2} / 2$ ， $k > 0$ です． $x = R \cos θ$ ， $y = R \sin θ$ とします．

$L$ と $θ$ の運動方程式を書いてください．
すべてのつり合いの位置を答え，安定な位置のまわりの小さな振動の角振動数を求めてください．

**［図：固定円環上のビーズ］**
水平円環を真上から描き，x，y軸，半径R，ビーズの偏角θを示す．つり合いの点は示さない．

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考え方 速さは $R$ と角速度から求め， $U$ の極小を安定なつり合いとする．

$L = m R^{2} {\dot{θ}}^{2} / 2 - k R^{2} \cos^{2} θ / 2$ から， $m R^{2} \ddot{θ} = k R^{2} \sin θ \cos θ$ ．
1周の範囲で $θ = 0, π / 2, π, 3 π / 2$ ． $x = 0$ となる $π / 2, 3 π / 2$ が安定で， $0, π$ は不安定． $θ = π / 2 + ξ$ なら $\sin θ \cos θ \approx - ξ$ なので， $\ddot{ξ} = - (k / m) ξ$ ，角振動数は $\sqrt{k / m}$ ．

確かめ：位置エネルギーの曲率も慣性も $R^{2}$ に比例し，振動数から $R$ が消える． $k = 0$ なら円環に沿う等速運動になる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

固定されたらせん形の細い管の中心線が $x = R \cos q$ ， $y = R \sin q$ ， $z = b q$ です． $z$ は鉛直上向き， $R, b > 0$ は定数です．管内を質量 $m$ の小球が摩擦なく動き， $U = m g z$ とします．

自由度， $L$ ， $q$ の運動方程式を求めてください．
$q (0) = \dot{q} (0) = 0$ ， $R = 0.30 m$ ， $b = 0.40 m$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ として，2.0秒後の高さと速さを求めてください．

**［図：固定らせん管を動く小球］**
鉛直な軸のまわりの固定らせん管と小球を描く．半径R，1巻きの高さ2πb，上向きのz軸を示す．

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考え方 水平な回転と鉛直な移動を両方，速さに数える．

自由度1． $v^{2} = (R^{2} + b^{2}) {\dot{q}}^{2}$ なので $L = m (R^{2} + b^{2}) {\dot{q}}^{2} / 2 - m g b q$ ．よって $\ddot{q} = - g b / (R^{2} + b^{2})$ ．
$R^{2} + b^{2} = 0.25 m^{2}$ より $\ddot{q} = - 15.68 s^{- 2}$ ． $q = - 7.84 t^{2}$ ， $\dot{q} = - 15.68 t$ で，2.0秒後は $z = b q = - 12.544 m$ ， $v = \sqrt{R^{2} + b^{2}} | \dot{q} | = 15.68 m s^{- 1}$ ．2桁で $- 13 m$ ， $16 m s^{- 1}$ ．

確かめ：丸める前の値で $v^{2} / 2 = 122.9312 m^{2} s^{- 2} = - g z$ ． $K + U$ は初めと同じ0である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の小球が，自然の長さ $l_{0}$ ，ばね定数 $k$ の軽いばねで固定点からつられ，鉛直面内を動きます．ばねの長さを $r > 0$ ，鉛直下向きからの角を $θ$ とし， $U = k (r - l_{0})^{2} / 2 - m g r \cos θ$ とします．

$L$ と2本の運動方程式を求めてください．
安定なつり合い $(r_{0}, 0)$ と，その近くの小さな縦振動・横振動の角振動数を求めてください．

**［図：長さも変わるばね振り子］**
固定点から斜め下へ伸びたばねと小球を描く．長さrと鉛直下向きからのθ，自然の長さl₀の別の見本を示す．

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考え方 自由度は2．小さなずれとその微分の積を捨て，方程式の1次の項を残す．

$L = m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) / 2 - k (r - l_{0})^{2} / 2 + m g r \cos θ$ ．方程式は

m \ddot{r} = m r {\dot{θ}}^{2} - k (r - l_{0}) + m g \cos θ, \frac{d}{d t} (m r^{2} \dot{θ}) = - m g r \sin θ

である．

$r_{0} = l_{0} + m g / k$ ． $r = r_{0} + ρ$ ， $θ$ を小さいとして1次まで残すと， $m \ddot{ρ} = - k ρ$ ， $\ddot{θ} = - (g / r_{0}) θ$ ．角振動数はそれぞれ $\sqrt{k / m}$ ， $\sqrt{g / r_{0}}$ ．1次では独立である．

確かめ： $k \to \infty$ では縦振動が非常に速くなり， $r_{0} \to l_{0}$ ．長さを固定した振り子の横振動に戻る．有限振幅では縦と横の運動が結びつく．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

水平レールを摩擦なく動く質量 $M$ の台車に，長さ $l$ の軽い棒と質量 $m$ の小球の振り子をつけます．台車位置を $X$ ，棒の鉛直下向きからの角を $θ$ とし，鉛直面内を動きます．台車の運動は未知です．

$L$ と $X$ に対応する保存量を求めてください．
全水平運動量が0のとき， $X$ を消去して $θ$ の方程式を求め， $θ = 0$ のまわりの角振動数を答えてください．

**［図：自由に動く台車の振り子］**
水平レール上の台車Mと棒の振り子mを描く．台車のX，棒のl，鉛直下向きからのθを示す．

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考え方 自由度は2．水平運動量の保存を使って台車の運動を消す．

小球の位置は $(X + l \sin θ, - l \cos θ)$ ．したがって

L = \frac{1}{2} (M + m) {\dot{X}}^{2} + m l \dot{X} \dot{θ} \cos θ + \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} + m g l \cos θ

$X$ は循環座標で， $p_{X} = (M + m) \dot{X} + m l \dot{θ} \cos θ$ が保存する．

$p_{X} = 0$ より $\dot{X} = - m l \dot{θ} \cos θ / (M + m)$ ．一方， $θ$ の方程式は $l \ddot{θ} + \ddot{X} \cos θ + g \sin θ = 0$ ．保存量を時間で微分して $\ddot{X}$ を消すと

l (1 - \frac{m}{M + m} \cos^{2} θ) \ddot{θ} + \frac{m l}{M + m} \sin θ \cos θ {\dot{θ}}^{2} + g \sin θ = 0

小角では $\ddot{θ} = - g (M + m) θ / (l M)$ なので， $ω = \sqrt{g (M + m) / (l M)}$ ．

確かめ： $M \to \infty$ で固定支点の $\sqrt{g / l}$ に戻る．台車の逆向きの動きで有効な慣性が減り，振動が速くなる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

鉛直な軸を持つ固定円すい面の内側を，質量 $m$ のビーズが摩擦なく動きます．頂点からの高さは $z = r \cot α$ ， $r > 0$ は軸からの距離， $0 < α < π / 2$ は面と軸のなす角です．方位角を $φ$ ， $U = m g z$ とします．

$L$ ，保存量 $p_{φ}$ ，エネルギーを書いてください．
$p_{φ} = J \neq 0$ として，一定の半径 $r_{0}$ を回る運動を求めてください．半径を少し変えた運動の角振動数も求めてください．

**［図：円すい面上のビーズ］**
円すい面とその内側のビーズを斜めから描く．軸からの距離r，高さz，母線と鉛直軸の角α，方位角φを示す．

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考え方 方位角の保存量を使い，半径を実効ポテンシャルで調べる．

$\dot{z} = \dot{r} \cot α$ より

L = \frac{m {\dot{r}}^{2}}{2 \sin^{2} α} + \frac{1}{2} m r^{2} {\dot{φ}}^{2} - m g r \cot α, p_{φ} = m r^{2} \dot{φ} = J

$E = m {\dot{r}}^{2} / (2 \sin^{2} α) + J^{2} / (2 m r^{2}) + m g r \cot α$ である．

$U_{eff} = J^{2} / (2 m r^{2}) + m g r \cot α$ の極小を求める． $U_{eff}^{'} = - J^{2} / (m r^{3}) + m g \cot α = 0$ より $r_{0}^{3} = J^{2} / (m^{2} g \cot α)$ ，方位角の角速度は ${\dot{φ}}_{0} = J / (m r_{0}^{2})$ ．さらに $U_{eff}^{″} (r_{0}) = 3 J^{2} / (m r_{0}^{4})$ ．半径方向の慣性は $m / \sin^{2} α$ なので

ω_{r}^{2} = \frac{3 J^{2} \sin^{2} α}{m^{2} r_{0}^{4}} = \frac{3 g \sin α \cos α}{r_{0}}

となり，正なので安定である．

確かめ： $ω_{r}^{2} = 3 {\dot{φ}}_{0}^{2} \sin^{2} α$ ． $J = 0$ では有限の $r_{0}$ はなく，ビーズは頂点へ向かうので，この展開の対象外である．

ポイント教える人へ

各部分の位置と自由度を確かめさせてください．ばねの伸びは拘束ではありません．演習4では支点の運動が既知か未知か，演習5では運動エネルギーの係数が振動数にどう効くかを問いかけます．