対称性から組み立てる力学（発展）

光の速さと時空

著者：柚木芹香

問い

19世紀の終わりから，光の速さを，向きを変えたり，地球の公転の向きに沿ったり逆らったりして，精密に測る実験が繰り返されました．結果はいつも同じで，光の速さは，観測する人がどう動いていても，光源がどう動いていても， $c = 2.998 \times 10^{8} m s^{- 1}$ でした．ガリレイ変換では，速度は足し算になるはずです．光を追いかけて走れば，光は遅く見えるはずなのに．時間と空間について，何を考え直さなければならないのでしょうか．

考えてみる

ガリレイ変換 $x^{'} = x - V t$ ， $t^{'} = t$ からは，速度の足し算 $u^{'} = u - V$ が出ます．光の速さがどの慣性系でも $c$ なら，この式のどこかが間違っていることになります．空間の座標を変えるだけでは直りません．疑わしいのは，前の題材から何度か「仮定」と断ってきた $t^{'} = t$ ，つまり時間はどの慣性系でも同じように進む，という考えです．

法則アインシュタインの2つの原理

相対性原理：すべての慣性系で，物理法則は同じ形をしている（力学だけでなく，光の現象も含めて）．
光速不変の原理：真空中の光の速さは，どの慣性系で測っても，光源の動きによらず，同じ値 $c$ である．

2つとも経験の事実です．ガリレイの相対性原理との違いは，光を含めてすべての法則に相対性原理を求めることと，ガリレイ変換を前提にしないことです．

光時計と時間の遅れ

2枚の平行な鏡を距離 $d$ だけ離して向かい合わせ，その間を光が往復する時計を考えます．光が1往復するたびに1回「刻む」とします．時計が止まって見える慣性系では，1往復の時間は

Δ τ = \frac{2 d}{c}

です．

この時計が，鏡に平行な向きに速さ $v$ で動いて見える慣性系 K から見ます．K では，光は鏡の間を斜めに進みます．1往復の時間を $Δ t$ とすると，その間に時計は $v Δ t$ 進むので，光が片道に進む道のりは $\sqrt{d^{2} + (v Δ t / 2)^{2}}$ です．光速不変の原理から K でも光の速さは $c$ なので

{(\frac{c Δ t}{2})}^{2} = d^{2} + {(\frac{v Δ t}{2})}^{2}

で， $d = c Δ τ / 2$ を使って解くと

Δ t = \frac{Δ τ}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = γ Δ τ, γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

です． $γ \geq 1$ なので，動いている時計の刻みは，止まっている時計の刻みより長く見えます．

［図：光時計の1往復と時間の遅れ］

鏡の間隔d = 1.0 m，初期速度v = 0.60c．同じ慣性系Kの同じ時刻で，止まった時計と右へ動く時計を並べる．右の光路は斜めで，1往復にかかるKの時間はγ倍になる．薄い鏡は動く時計の1往復の始点と終点の位置．速度と時刻を操作でき，動きを減らす設定では自動再生しない．

相対性原理から，これは光時計に限りません．もしほかの時計（振り子，原子の振動，生き物の老化）が別の遅れ方をしたら，2つの時計を比べて「自分が動いているか」が分かってしまうからです．動いているもの全体で，時間がゆっくり進むのです．

定理時間の遅れ

慣性系 K に対して速さ $v$ で動く時計が刻む時間 $Δ τ$ と，その間に K で経過する時間 $Δ t$ の間には $Δ t = γ Δ τ$ の関係がある．時計とともに動く系で測った時間 $τ$ を固有時という．

不変な間隔

光時計の式を書き直すと，時計が K で進んだ距離 $Δ x = v Δ t$ を使って

c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} = c^{2} Δ τ^{2}

です．右辺は時計自身の固有時だけで決まるので，どの慣性系から見ても同じ値です．一般に，2つの出来事（ある場所，ある時刻に起こること）の間の

Δ s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}

を間隔といい，これはすべての慣性系で同じ値をとります．時間の差と空間の差は，それぞれは慣性系によって変わりますが，この組み合わせは変わりません．これが，時間と空間をまとめて時空と考える理由です．運動する粒子の固有時は，ごく短い時間 $d t$ について

d τ = \frac{d s}{c} = d t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}

です．

ローレンツ変換

慣性系 K に対して $x$ 方向に速さ $V$ で動く慣性系 K' の座標は，間隔を変えないように選ぶと，次のようになります（導き方は数学の節）．

定理ローレンツ変換

x^{'} = γ (x - V t), t^{'} = γ (t - \frac{V}{c^{2}} x), y^{'} = y, z^{'} = z, γ = \frac{1}{\sqrt{1 - V^{2} / c^{2}}}

$V$ が $c$ よりずっと小さければ $γ \approx 1$ ， $V x / c^{2} \approx 0$ で，ガリレイ変換に戻ります．私たちの日常で $t^{'} = t$ が正しく見えるのは，身のまわりの速さが光の速さよりはるかに小さいからでした．

［図：ローレンツ変換した時空の軸］

初期速度V = 0.60c．Kの直交軸に対し，青いx′軸と緑のct′軸が光の45度の線へ傾く．目盛りはx′またはct′が1，2，3となる出来事を逆ローレンツ変換して打ち，画面内に収まる分を表示する．スライダー操作だけで変化し，自動アニメーションは行わない．

ローレンツ変換からは，いくつか驚くことが出てきます．

同時の相対性：K で同じ時刻（ $Δ t = 0$ ）に違う場所（ $Δ x \neq 0$ ）で起こる2つの出来事は，K' では $Δ t^{'} = - γ V Δ x / c^{2}$ だけずれた時刻に起こる．
長さの縮み：K' で止まっている長さ $L_{0}$ の棒は，K では $L = L_{0} / γ$ に縮んで見える．
速度の合成：K で速さ $u$ で $x$ 方向に動く物体の，K' での速さは

u^{'} = \frac{u - V}{1 - u V / c^{2}}

$u = c$ なら $u^{'} = c$ で，光の速さはどの系でも $c$ になる．

問いに戻る

光の速さがどの慣性系でも同じであることと，相対性原理を両方認めると，時間はどの慣性系でも同じように進む，という考えを捨てなければなりません．動いている時計はゆっくり進み，時間の差と空間の差は混ざり合います．変わらないのは間隔 $c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$ です．慣性系の間の座標の関係は，ガリレイ変換ではなくローレンツ変換で，速さが $c$ よりずっと小さいときだけガリレイ変換で近似できます．

ポイントここまでのまとめ

相対性原理と光速不変の原理（どちらも経験の事実）から出発する．
光時計から時間の遅れ $Δ t = γ Δ τ$ ， $γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ ．時計とともに動く系の時間が固有時．
間隔 $Δ s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$ はすべての慣性系で同じ．固有時は $d τ = d t \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ ．
慣性系の間はローレンツ変換でつながる． $V$ が $c$ よりずっと小さいとき，ガリレイ変換に戻る．
同時の相対性，長さの縮み，速度の合成で光速を超えないこと．