対称性から組み立てる力学（発展）

ローレンツ変換を導く

著者：柚木芹香

本体の節では，ローレンツ変換を結果だけ示しました．ここで，間隔が変わらないという条件から導きます．あわせて， $γ$ の近似と速度の合成の計算を練習します．

定理数学の道具： $γ$ の近似

$β = v / c$ が小さいとき， $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ （ $| x |$ が1よりずっと小さいとき）から

γ = {(1 - β^{2})}^{- 1 / 2} \approx 1 + \frac{1}{2} β^{2}, \sqrt{1 - β^{2}} \approx 1 - \frac{1}{2} β^{2}

である．

ローレンツ変換の導出

K' は K に対して $x$ 方向に速さ $V$ で動き， $t = t^{'} = 0$ で2つの原点が重なるとします．空間と時間が一様なので，変換は1次式とします（場所や時刻によって変換の仕方が変わらないため）． $y^{'} = y$ ， $z^{'} = z$ とし，K' の原点 $x^{'} = 0$ は K で $x = V t$ にあるので

x^{'} = γ (x - V t), t^{'} = a t + b x

と書けます． $γ, a, b$ は $V$ で決まる定数です．間隔が変わらない条件 $c^{2} t^{' 2} - x^{' 2} = c^{2} t^{2} - x^{2}$ がすべての $t, x$ で成り立つように， $t^{2}$ ， $x^{2}$ ， $t x$ の係数を比べると

c^{2} a^{2} - γ^{2} V^{2} = c^{2}, c^{2} b^{2} - γ^{2} = - 1, c^{2} a b + γ^{2} V = 0

です．1つ目と2つ目から $a^{2} = 1 + γ^{2} V^{2} / c^{2}$ ， $b^{2} = (γ^{2} - 1) / c^{2}$ ．3つ目を2乗して $a^{2} b^{2} = γ^{4} V^{2} / c^{4}$ に代入すると

(c^{2} + γ^{2} V^{2}) (γ^{2} - 1) = γ^{4} V^{2}

で，整理すると $γ^{2} (c^{2} - V^{2}) = c^{2}$ ，つまり $γ = 1 / \sqrt{1 - V^{2} / c^{2}}$ です．すると $a^{2} = γ^{2}$ で $a = γ$ （ $V \to 0$ で $t^{'} = t$ に戻るように正の側），3つ目から $b = - γ V / c^{2}$ です．これで本体の節の式が出ました．

定理数学の道具：速度の合成

K で $x = u t$ と動く物体を K' から見ると， $x^{'} = γ (u - V) t$ ， $t^{'} = γ (1 - u V / c^{2}) t$ なので

u^{'} = \frac{x^{'}}{t^{'}} = \frac{u - V}{1 - u V / c^{2}}

練習1　 $v = 0.60 c$ と $v = 0.80 c$ のときの $γ$ を求めよ．

練習2　 $v = 300 m s^{- 1}$ （ジェット機ほど）のとき， $γ - 1$ はいくらか．

答え　練習1： $\sqrt{1 - 0.36} = 0.80$ で $γ = 1.25$ ． $\sqrt{1 - 0.64} = 0.60$ で $γ \approx 1.67$ ．練習2： $γ - 1 \approx \frac{1}{2} {(\frac{300}{3.0 \times 10^{8}})}^{2} = 5.0 \times 10^{- 13}$ ．日常の速さでは，時間の遅れは測れないほど小さい．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

上空で生まれたミュー粒子は，止まっていれば平均 $2.2 μ s$ で崩壊する．速さ $0.995 c$ で地表へ向かうミュー粒子について答えよ． $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．

時間の遅れを考えないと，崩壊までに平均どれだけ進むか．
地上から見た平均の寿命と，崩壊までに進む平均の距離を求めよ．

**［図：地表へ向かうミュー粒子］**
上空の同じ生成点から，(1)と(2)で考える平均の距離だけ進んだ位置を印で示す．高さの目盛りは等間隔で，図の距離比は速さ0.995cから計算したもの．距離の数値は示していない．

解答を見る

考え方 ミュー粒子とともに動く系での寿命が固有時 $Δ τ = 2.2 μ s$ ．地上ではそれが $γ$ 倍に延びる．

$0.995 \times 3.0 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{- 6} \approx 6.6 \times 10^{2} m$ ．
$γ = 1 / \sqrt{1 - {0.995}^{2}} = 1 / \sqrt{0.009975} \approx 10.0$ ．寿命は $γ Δ τ \approx 22 μ s$ ，進む距離は $0.995 c \times 22 μ s \approx 6.6 km$ ．

確かめ：上空10 km ほどで生まれたミュー粒子の多くが地表に届くことが観測されていて，これは時間の遅れを考えないと説明できない．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

地上に対して速さ $0.60 c$ で飛ぶ宇宙船が，進む向きに，宇宙船に対して速さ $0.60 c$ で小さな探査機を打ち出した．地上から見た探査機の速さを求めよ．

解答を見る

考え方 宇宙船の系を K，地上の系を K' とすると，K' は K に対して $V = - 0.60 c$ で動く．K での探査機の速さ $u = 0.60 c$ を速度の合成の式に入れる．

u^{'} = \frac{0.60 c - (- 0.60 c)}{1 - 0.60 \times (- 0.60)} = \frac{1.20 c}{1.36} \approx 0.88 c

確かめ：ガリレイ変換なら $1.20 c$ になるが，相対論では $c$ を超えない． $u$ と $V$ が $c$ よりずっと小さければ，分母が1に近く，ふつうの足し算に戻る．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

GPS の衛星は，地上に対して約 $3.9 km s^{- 1}$ で動いている．衛星の運動による時間の遅れだけを考えると，衛星の時計は地上の時計に比べて1日でどれだけ遅れるか． $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．また，光の速さでこの時間に進む距離を求めよ．

**［図：GPS衛星と地上の受信機］**
地球のまわりを回るGPS衛星から，地表の受信機へ電波が届く．衛星の運動による時計のずれを考える配置の模式図．時計のずれや距離の解答値は描いていない．

解答を見る

考え方 地上の1日 $Δ t$ の間に衛星の時計が刻むのは $Δ τ = Δ t \sqrt{1 - β^{2}} \approx Δ t (1 - \frac{1}{2} β^{2})$ ．遅れは $\frac{1}{2} β^{2} Δ t$ ．

\frac{1}{2} β^{2} = \frac{1}{2} {(\frac{3.9 \times 10^{3}}{3.0 \times 10^{8}})}^{2} \approx 8.5 \times 10^{- 11}

1日は $8.64 \times 10^{4} s$ なので，遅れは $8.5 \times 10^{- 11} \times 8.64 \times 10^{4} \approx 7.3 \times 10^{- 6} s$ ，約 $7 μ s$ ．光がこの間に進む距離は $3.0 \times 10^{8} \times 7.3 \times 10^{- 6} \approx 2.2 \times 10^{3} m$ ，約 $2 km$ ．

確かめ：GPS は電波が届く時間から距離を測るので，時計が $1 μ s$ ずれると位置は約 $300 m$ ずれる．実際の衛星では，重力による効果（逆向きに約 $45 μ s$ 進む）もあり，両方を補正している．重力による時間の進み方の違いは，一般相対性理論の話題で，この本では扱わない．

ポイントここまでのまとめ

$β = v / c$ が小さいとき $γ \approx 1 + \frac{1}{2} β^{2}$ ．日常の速さでは $γ - 1$ は非常に小さい．
変換が1次式であることと，間隔が変わらないことから，ローレンツ変換が導ける．
速度の合成は $u^{'} = (u - V) / (1 - u V / c^{2})$ で，光の速さを超えない．
時間の遅れは，ミュー粒子の寿命や GPS の時計で実際に観測されている．