光子と電子の波

物質波と確率の振幅

著者：柚木芹香

問い

電子を1個ずつ，細い2つのすき間のあるついたてに向けて撃ちます．後ろのスクリーンには，電子が1個届くたびに小さな点が1つ光ります．はじめは点がでたらめに散らばるだけですが，何万個も届くと，点の多い所と少ない所が交互に並んだ縞が現れます．光の2重スリットの縞（第27章）とそっくりです．電子は点として届くのに，届く場所の分布は波の干渉の形をしています．粒が縞を作るとは，どういうことでしょうか．

考えてみる

前の題材の最後で見たように，光の2重スリットの縞も，光を十分弱くすると，エネルギー $h ν$ と運動量 $h / λ$ をもつ光子が1個ずつ点として届き，点が積み重なってできます．電子の実験はこれと同じ形をしています．

素朴に考えると，電子は小さな粒なので，上のすき間か下のすき間のどちらか一方を通るはずです．そうなら，スクリーンでの分布は「上だけ開けたときの分布」と「下だけ開けたときの分布」の和になるはずで，縞はできません．実際には，両方を開けると，片方だけのときには電子がたくさん届いていた所に，ほとんど届かなくなる場所が現れます．すき間を1つ増やしたのに，届く数が減る場所があるのです．これは波の打ち消し合いでしか説明できません．そこで，電子にも波長を割り当てることから始めます．

電子の質量

電子の波長を計算するには，電子の質量が要ります．電子の質量を直接はかりで量ることはできませんが，2つの測定を組み合わせると決まります．1つは，電場と磁場の中で電子線の曲がり方を調べて比電荷 $e / m$ を求める測定（トムソン，第22章）です．比電荷は $e / m = 1.76 \times 10^{11} C {kg}^{- 1}$ です．もう1つは，油滴の電荷が飛び飛びの値をとることから電気素量 $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ を求める測定（ミリカン，第20章）です．割り算をすると

m = \frac{e}{e / m} = \frac{1.60 \times 10^{- 19}}{1.76 \times 10^{11}} kg = 9.1 \times 10^{- 31} kg

で，水素原子の約 $1 / 1840$ です．電荷 $- e$ で質量 $m$ の粒子として，電子の運動はこれまで力学と電磁気で十分に説明できてきました．

ド・ブロイ波長

光子では，運動量と波長が $p = h / λ$ で結ばれていました．ド・ブロイは，逆に，運動量 $p$ をもつどんな粒子にも，同じ式で決まる波長の波がともなうと考えました．

法則ド・ブロイの関係

運動量の大きさ $p$ の粒子には，波長

λ = \frac{h}{p}

の波がともなう．この波を物質波， $λ$ をド・ブロイ波長という．

静止していた電子を電圧 $V$ で加速すると，運動エネルギーは $e V = \frac{p^{2}}{2 m}$ なので $p = \sqrt{2 m e V}$ で

λ = \frac{h}{\sqrt{2 m e V}}

です．数値を入れると， $V$ をボルトで表して $λ \approx \frac{1.23}{\sqrt{V}} nm$ となり， $V = 100 V$ で $λ = 0.123 nm$ です．これは結晶の中の原子の間隔（ $0.1$ 〜 $0.3 nm$ ）と同じ程度です．

この式は運動エネルギーを $p^{2} / (2 m)$ としたので，運動エネルギーが静止エネルギー $m c^{2} = 511 keV$ に比べて十分小さいとき，つまり $1 ≫ e V / (m c^{2})$ のときだけ使えます． $V = 100 V$ なら $e V / (m c^{2}) = 2 \times 10^{- 4}$ で問題ありません．電子顕微鏡のように $100 kV$ を超えると，前の題材で示した相対論の関係 $E^{2} = {(m c^{2})}^{2} + {(p c)}^{2}$ （ $E = m c^{2} + e V$ ）から $p$ を出す必要があり， $λ = h / \sqrt{2 m e V (1 + e V / (2 m c^{2}))}$ になります．

一方，質量 $0.14 kg$ のボールが $40 m s^{- 1}$ で飛ぶと， $λ \approx 1 \times 10^{- 34} m$ です．原子核の $10^{- 19}$ 倍も短く，これを回折させるすき間はありません．身の回りの物体の波の性質が見えないのは， $h$ が小さいからです．

電子線回折

電子が波なら，結晶に当てると X 線と同じように回折するはずです．1927年，デビッソンとジャーマーは，ニッケルの結晶の表面に $54 eV$ の電子を当て，散乱される電子の数が特定の向き（入射の向きから $50^{\circ}$ ）で鋭く大きくなることを見つけました．表面に並ぶ原子の列（間隔 $0.215 nm$ ）を回折格子とみると，強め合いの条件は $0.215 nm \times \sin 50^{\circ} = 0.165 nm$ の波長を与えます．ド・ブロイの式は $1.23 / \sqrt{54} nm = 0.167 nm$ で，よく一致します．同じころ G. P. トムソンは，薄い金属の膜に電子線を通して，X 線の粉末回折と同じ形の同心円の環を撮りました．

結晶の中では，原子が等間隔 $d$ の平行な面（格子面）に並んでいます．第27章で見たように，面とのなす角 $θ$ で入った波が隣り合う面で反射すると，道のりの差は $2 d \sin θ$ なので，強め合う条件は

2 d \sin θ = n λ (n = 1, 2, \dots)

です（ブラッグ条件）． $θ$ は面とのなす角で，入射の向きから測った散乱の角はその2倍の $2 θ$ であることに注意します．向きのばらばらな小さな結晶の集まり（粉末や多結晶の膜）では，条件を満たす結晶がどの向きにもあるので，散乱された電子は頂角 $2 θ$ の円錐の上に並び，スクリーンに環を描きます．

**［図：電子線の回折環とブラッグ反射］**
左の電子銃で電圧Vにより加速した電子が，多結晶の薄膜で散乱して右のスクリーンに同心円の環を作る．2θは入射方向から測った散乱角で，円錐の軸と母線のなす角である．下の挿入図では格子面の間隔d，面とのなす角θと，橙色の2区間の和である道のりの差2d sinθを示す．配置と角度は模式的に描いた．

電子線の波長は加速電圧で自由に変えられ，可視光よりずっと短くできます．顕微鏡で見分けられる2点の間隔は波長程度が限界（第27章）なので，電子線を使う電子顕微鏡は，光の顕微鏡では見えない原子の並びまで見分けられます．中性子も，原子の間隔ほどの波長をもつように遅くすれば，結晶で回折します．

振幅を足してから2乗する

2つのすき間の実験に戻ります．光の干渉では，2つのすき間からの波の振幅（電場）を足し，その2乗が明るさ（光子が届く割合）でした．電子でも同じ規則が成り立ちます．

定義確率振幅と波動関数

電子がある場所に届く過程ごとに，複素数の確率振幅 $ψ$ が決まる．電子がそこで見つかる確率（1個あたり，単位の長さや面積あたり）は ${| ψ |}^{2}$ に比例する．場所ごとの確率振幅を場所の関数とみたものを波動関数という．

すき間1を通る経路の振幅を $ψ_{1}$ ，すき間2を通る経路の振幅を $ψ_{2}$ とします．どちらを通ったか区別する手段がないとき，振幅を足してから2乗します． $ψ_{1} = a_{1} e^{i ϕ_{1}}$ ， $ψ_{2} = a_{2} e^{i ϕ_{2}}$ （ $a_{1}, a_{2} > 0$ ）と書き，第7章のオイラーの式を使うと

{| ψ_{1} + ψ_{2} |}^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} \cos (ϕ_{2} - ϕ_{1})

です．最後の項が干渉の項で，位相の差 $ϕ_{2} - ϕ_{1}$ によって正にも負にもなります．すき間の間隔を $d$ ，スクリーンの向き $θ$ への道のりの差を $d \sin θ$ とすると，位相の差は $2 π d \sin θ / λ$ で，光と同じ位置に縞ができます． $a_{1} = a_{2}$ なら，暗い所では確率が完全に0になります．片方を開けたときには届いていた場所に，両方を開けると届かなくなるのは，この打ち消し合いのためです．

1個の電子は，スクリーンのどこか1か所に点として届きます．どこに届くかは予言できず，予言できるのは ${| ψ |}^{2}$ に比例する確率だけです．縞は，1個ずつの電子が他の電子と干渉して作るのではなく，1個の電子の2つの経路の振幅が干渉して決まる確率の分布が，たくさんの点の積み重ねで見えたものです．

［図：電子の点が積み重なって縞になる］

初期状態は，経路を調べずに届いた1000個の電子の点と，確率分布の縞を示す．スライダーで10個から10000個まで増やすと，点の集まりが縞の形に近づく．どちらを通ったか調べると，分布が|ψ₁|² + |ψ₂|²の縞のない形に変わる．下の曲線は各分布の形で，縦の尺度は相対的に示す．

では，すき間のそばに光を当て，電子がどちらを通ったか見たらどうなるでしょうか．実際にそうすると，縞は消え，分布は片方ずつの分布の和 ${| ψ_{1} |}^{2} + {| ψ_{2} |}^{2}$ になります．どちらを通ったか区別できる（原理的に区別できる記録が残る）ときは，振幅ではなく確率を足すのです．

ポイント振幅と確率の足し方

区別できない経路を通って同じ結果に至るとき：振幅を足してから2乗する． $P = {| ψ_{1} + ψ_{2} |}^{2}$ ．
経路を区別できるとき：経路ごとに2乗してから確率を足す． $P = {| ψ_{1} |}^{2} + {| ψ_{2} |}^{2}$ ．

この規則は光子でも電子でも同じです．なぜ見ると縞が消えるのか，この規則だけから量子力学をどう組み立てるのかは，すぐ次の第30章（発展）で，この2つのすき間の実験から始めてくわしく扱います．

不確定性関係の見積もり

なぜ経路を見ると縞が消えるのかは，次の見積もりからも分かります．幅 $a$ の1つのすき間に，運動量 $p$ の電子を正面から通すとします．すき間を通った電子の横の位置は，幅 $a$ の範囲に決まります．ところが，回折のために，通った後の電子は角 $λ / a$ 程度の範囲に広がります（第27章の単スリットの回折，最初の暗線は $\sin θ = λ / a$ ）．つまり横の運動量は

Δ p_{x} \sim p \frac{λ}{a} = \frac{h}{a}

程度の範囲でばらつきます．横の位置の幅を $Δ x = a$ とすると $Δ x Δ p_{x} \sim h$ です．すき間を狭めて位置をはっきりさせるほど，横の運動量はばらつきます．

**［図：すき間の幅と横の運動量のばらつき］**
電子線は左から右へ進み，横の座標xは図の上向きである．幅aのすき間を通ると横の位置の幅はΔx = aになり，回折によってλ/a程度の角に広がる．下図では同じ大きさpの運動量を共通の始点から描き，緑の横成分が正負にばらつく幅Δp_xを示す．幅と角度は桁の見積もりを表す．

法則不確定性関係（見積もり）

粒子の位置と運動量を同時に決めようとすると，それぞれの不確かさ $Δ x$ ， $Δ p_{x}$ は

Δ x Δ p_{x} \sim h

程度より小さくできない．

右辺の係数（ $h$ か $ℏ$ か $ℏ / 2$ か）は「不確かさ」の定め方によるので，ここでは桁の見積もりにだけ使います．電子がどちらのすき間を通ったか光で見分けるには，すき間の間隔 $d$ より短い波長の光が要ります．その光子が電子に当たると，電子は $h / d$ 程度の横の運動量を受け取り，進む向きが $λ / d$ 程度ばらつきます．これは縞の間隔の角度と同じ程度なので，縞はぼやけて消えます．位置を調べると，干渉を起こすのに必要な運動量の確かさが失われるのです．

問いに戻る

電子は，届くときにはいつも1個の点です．届く場所の確率は，電子が通りうる経路ごとの複素数の振幅を足して2乗した ${| ψ_{1} + ψ_{2} |}^{2}$ で決まり，振幅の波長はド・ブロイの関係 $λ = h / p$ で決まります．1個ずつの点はでたらめに見えますが，たくさん集めると確率の分布である縞が見えてきます．どちらを通ったかを調べると，確率を足す規則に変わり，縞は消えます．

ポイントここまでのまとめ

比電荷と電気素量から電子の質量 $m = 9.1 \times 10^{- 31} kg$ が決まる．
運動量 $p$ の粒子には波長 $λ = h / p$ の物質波がともなう．電圧 $V$ で加速した電子では $λ = h / \sqrt{2 m e V}$ （ $1 ≫ e V / (m c^{2})$ のとき）．
電子線は結晶でブラッグ条件 $2 d \sin θ = n λ$ を満たす向きに回折する．散乱の角は $2 θ$ ．
見つかる確率は確率振幅の絶対値の2乗．区別できない経路は振幅を足し，区別できる経路は確率を足す．
位置と運動量の不確かさは $Δ x Δ p_{x} \sim h$ 程度より小さくできない．