光子と電子の波

物質波の例題

著者：柚木芹香

前の節で，運動量 $p$ の粒子に波長 $λ = h / p$ の波がともなうこと，その波が結晶でブラッグ条件 $2 d \sin θ = n λ$ を満たす向きに回折することを見ました．この節では，加速電圧から波長を求める計算，結晶による電子線の回折，中性子の波長と結晶の3つを例題で確かめます．数値は $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ，電子の質量 $m = 9.11 \times 10^{- 31} kg$ ，陽子と中性子の質量 $1.67 \times 10^{- 27} kg$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ，ボルツマン定数 $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J K^{- 1}$ を使います．

どの例題でも，はじめに「運動エネルギー $\to$ 運動量 $\to$ 波長」の順に変換します．非相対論的な運動では $K = \frac{p^{2}}{2 m}$ なので $p = \sqrt{2 m K}$ ， $λ = \frac{h}{\sqrt{2 m K}}$ です．この式が使えるのは $1 ≫ K / (m c^{2})$ のときなので，答えを出したら必ずこの比を確かめます．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

静止していた電子を電圧 $V$ で加速する．

$V = 150 V$ のときのド・ブロイ波長を求めよ．
波長を $0.0500 nm$ にするには，加速電圧をいくらにすればよいか．このとき，非相対論的な式を使ってよいことを確かめよ．
静止していた陽子を同じ $150 V$ で加速したときの波長は，(1) の何倍か．

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考え方

電場がする仕事 $e V$ が運動エネルギーになる．運動量は $p = \sqrt{2 m e V}$ で，波長は $λ = h / p$ である．同じ電圧なら運動エネルギーは同じで，運動量は $\sqrt{m}$ に比例する．

解答

$e V = 1.60 \times 10^{- 19} \times 150 = 2.40 \times 10^{- 17} J$ である．

p = \sqrt{2 m e V} = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{- 31} \times 2.40 \times 10^{- 17}} kg m s^{- 1} = 6.61 \times 10^{- 24} kg m s^{- 1}

従って $λ = h / p = 1.00 \times 10^{- 10} m = 0.100 nm$ である．

$λ \propto V^{- 1 / 2}$ だから，波長を $0.100$ から $0.0500 nm$ へ半分にするには電圧を4倍にすればよい．丸めずに計算すると

V = \frac{h^{2}}{2 m e λ^{2}} = 6.03 \times 10^{2} V

である． $m c^{2} = 9.11 \times 10^{- 31} \times {(3.00 \times 10^{8})}^{2} J = 8.20 \times 10^{- 14} J$ で， $1 eV = 1.60 \times 10^{- 19} J$ から $m c^{2} = 5.1 \times 10^{5} eV$ ．従って $e V / (m c^{2}) = 600 / (5.1 \times 10^{5}) = 1.2 \times 10^{- 3}$ で十分小さく，非相対論的な式を使ってよい．

電荷の大きさが同じなので運動エネルギーは同じで，波長は $λ \propto 1 / \sqrt{m}$ である．

\frac{λ_{p}}{λ} = \sqrt{\frac{9.11 \times 10^{- 31}}{1.67 \times 10^{- 27}}} = 0.0234

で，陽子の波長は $2.34 \times 10^{- 12} m$ である．

確かめ (1) を $λ \approx 1.23 / \sqrt{V} nm$ で見積もると $1.23 / 12.2 = 0.100 nm$ で一致する．重い粒子ほど同じエネルギーでも運動量が大きく，波長は短い．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

静止していた電子を電圧 $600 V$ で加速し，向きのばらばらな小さな結晶が集まった薄い膜に垂直に当てる．膜から距離 $L = 0.300 m$ の所に，電子線に垂直なスクリーンを置く．結晶の格子面の間隔は $d = 0.234 nm$ とする．

電子のド・ブロイ波長を求めよ．
この格子面による1次の反射で，スクリーンに現れる環の半径を求めよ．
この格子面で反射が起こる次数 $n$ は最大でいくつか．
加速電圧を4倍にすると，(2) の環の半径はおよそ何倍になるか．

**［図：薄膜による電子線回折の装置］**
電圧600 Vで加速した電子を薄い多結晶膜に垂直に当て，L = 0.300 m先のスクリーンで回折環を観測する配置の断面図．折れ角を 2θ，環の半径を r と記す．挿入図には間隔 d の格子面と，面とのなす角 θ を描く．θ，2θ，r の値は描かない．

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考え方

ブラッグ条件の $θ$ は格子面とのなす角で，電子線の曲がる角はその2倍の $2 θ$ である．膜の中には条件を満たす向きの結晶が必ずあるので，曲げられた電子は軸とのなす角が $2 θ$ の円錐に沿って進み，スクリーンに環を作る．

解答

例題1と同じく $λ = h / \sqrt{2 m e V}$ で， $V = 600 V$ を入れると $λ = 5.01 \times 10^{- 11} m = 0.0501 nm$ である． $e V / (m c^{2}) = 1.2 \times 10^{- 3}$ なので相対論の補正は要らない．
1次の反射では $2 d \sin θ = λ$ だから

\sin θ = \frac{λ}{2 d} = \frac{0.0501}{2 \times 0.234} = 0.107, θ = {6.15}^{\circ}

である．曲がる角は $2 θ = {12.3}^{\circ}$ で，環の半径は

r = L \tan 2 θ \approx 6.54 \times 10^{- 2} m

である．

$\sin θ \leq 1$ から $n \leq 2 d / λ = 2 \times 0.234 / 0.0501 = 9.3$ である．従って最大の次数は $n = 9$ である．ただし $n$ が大きいと $2 θ$ が $90^{\circ}$ を超え，電子は膜の手前側へ戻るので，前方のスクリーンには写らない．
電圧を4倍にすると波長は半分になる．角が小さいので $\sin θ \approx θ$ ， $\tan 2 θ \approx 2 θ$ とすると $r \approx 2 L θ \approx L λ / d$ で，半径は波長に比例する．従って環の半径はおよそ $1 / 2$ 倍になる．実際に計算すると $θ = {3.07}^{\circ}$ ， $r = 3.23 \times 10^{- 2} m$ で， $0.493$ 倍である．

確かめ 小角近似 $r \approx L λ / d = 0.300 \times 0.0501 / 0.234 m = 6.4 \times 10^{- 2} m$ は (2) とほぼ一致する．ずれは $2 θ = 0.21$ が1に比べて小さいとした近似の誤差で，角の2乗の程度（約2 %）である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

原子炉から出た中性子を，温度 $T = 300 K$ の重水の中で何度も衝突させて減速すると，中性子の平均の運動エネルギーは $\frac{3}{2} k_{B} T$ になる．このエネルギーをもつ中性子（質量 $m_{n}$ ）を，格子面の間隔 $d = 0.335 nm$ の黒鉛の結晶に当て，ブラッグ反射させて一定の波長の中性子だけを取り出す．

この中性子の運動エネルギー（ $eV$ 単位），運動量，ド・ブロイ波長，速さを求めよ．
1次の反射でこの波長の中性子を取り出すには，格子面と中性子線のなす角 $θ$ をいくらにすればよいか．
同じ角では，波長が半分の中性子も2次の反射で取り出されてしまう．その運動エネルギーを求めよ．この2つの中性子を，結晶から $10.0 m$ 先の検出器に届くまでの時間で分けられることを示せ．中性子は結晶の位置で十分短いパルスにし，検出器の時間分解能も十分高いものとする．
1. と同じ波長の X 線の光子のエネルギーを求め，中性子の運動エネルギーと比べよ．

**［図：減速した中性子のブラッグ反射と検出器］**
T = 300 Kの重水から出た中性子線が，格子面の間隔d = 0.335 nmの黒鉛結晶で反射し，反射した向きの10.0 m先にある検出器へ進む．θは格子面と入射する中性子線のなす角である．配置と角度は模式的に描いた．

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考え方

温度から運動エネルギーを決め，運動量と波長に直す．ブラッグ条件 $2 d \sin θ = n λ$ は $n λ$ だけで決まるので，同じ角で $λ$ と $λ / 2$ の両方が反射される．波長が半分なら運動量は2倍，速さも2倍で，到着時間が違う．

解答

運動エネルギーは

K = \frac{3}{2} k_{B} T = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{- 23} \times 300 J = 6.21 \times 10^{- 21} J = 0.0388 eV

である．運動量は $p = \sqrt{2 m_{n} K} = \sqrt{3 m_{n} k_{B} T} = 4.55 \times 10^{- 24} kg m s^{- 1}$ で，波長は

λ = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{- 34}}{4.55 \times 10^{- 24}} m = 1.46 \times 10^{- 10} m

である．速さは $v = p / m_{n} = 2.73 \times 10^{3} m s^{- 1}$ である．波長は結晶の原子の間隔と同じ程度なので，中性子は結晶で回折する．

丸める前の波長を使うと $\sin θ = λ / (2 d) \approx 0.217$ から $θ = {12.5}^{\circ}$ である．
波長が半分なら運動量は2倍で，運動エネルギーは4倍の $K^{'} = 0.155 eV$ である． $2 d \sin θ = 2 \times (λ / 2)$ なので，確かに同じ角で2次の反射が起こる． $10.0 m$ を進む時間は，波長 $λ$ の中性子では

t = \frac{10.0 m}{v} \approx 3.67 \times 10^{- 3} s

で，波長 $λ / 2$ の中性子では速さが2倍なので半分の $1.83 \times 10^{- 3} s$ である．中性子を短い時間だけ通すシャッターで出発の時刻をそろえれば，到着時刻の差 $1.8 ms$ で2つを分けられる．

光子のエネルギーは

\frac{h c}{λ} \approx 1.37 \times 10^{- 15} J = 8.54 \times 10^{3} eV

である．同じ波長でも，中性子の運動エネルギー $0.0388 eV$ は X 線の光子のエネルギーの約 $2 \times 10^{5}$ 分の1しかない．光子は $E = p c$ ，遅い中性子は $K = p^{2} / (2 m_{n})$ で，同じ運動量でもエネルギーが大きく違うからである．

確かめ $K / (m_{n} c^{2}) = 0.0388 / (9.4 \times 10^{8})$ は極めて小さく，非相対論的な式でよい．中性子の運動エネルギーは原子の熱運動のエネルギーと同じ程度なので，中性子の散乱では結晶の原子の振動とのエネルギーのやりとりも測れる．これが X 線にない中性子線の長所である．

ポイントここまでのまとめ

運動エネルギー $\to$ 運動量 $\to$ 波長の順に変換する．非相対論的なら $λ = h / \sqrt{2 m K}$ ．使えるのは $1 ≫ K / (m c^{2})$ のとき．
同じ電圧で加速すると，波長は $1 / \sqrt{m}$ に比例する．
ブラッグ条件の $θ$ は格子面とのなす角で，粒子の曲がる角は $2 θ$ ．多結晶では頂角 $2 θ$ の円錐に沿って散乱し，環ができる．
同じ角で $λ$ と $λ / 2$ の両方が反射されるので，飛行時間などで分ける．
同じ波長でも，遅い中性子のエネルギーは光子よりはるかに小さい．