光子と電子の波

物質波と電子線回折の演習

著者：柚木芹香

運動量，波長，回折を結びつけましょう．計算では $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ，電子の質量 $m = 9.11 \times 10^{- 31} kg$ を使い，演習1では質量も求めます．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

比電荷は $e / m = 1.76 \times 10^{11} C {kg}^{- 1}$ と測定されました．中性子の質量は $m_{n} = 1.67 \times 10^{- 27} kg$ です．

質量と，速さ $2.00 \times 10^{6} m s^{- 1}$ の電子，速さ $1.00 \times 10^{3} m s^{- 1}$ の中性子の波長を求めよ．
質量 $0.14 kg$ ，速さ $40 m s^{- 1}$ のボールの波長を求め，幅 $1.0 mm$ のすき間で回折を観測しにくい理由を述べよ．

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考え方

比電荷から質量を決め，運動量 $p = m v$ と $λ = h / p$ を用いる．

$m = e / (e / m) = 9.09 \times 10^{- 31} kg$ ．従って電子では $λ = h / (m v) = 3.65 \times 10^{- 10} m$ ，中性子では $λ = h / (m_{n} v) = 3.97 \times 10^{- 10} m$ ．
$λ = h / (0.14 \times 40) = 1.2 \times 10^{- 34} m$ ．幅 $a$ での回折角は $θ \sim λ / a \sim 1.2 \times 10^{- 31}$ で，広がりは観測できない．電子も $v / c = 0.00667$ と小さく非相対論的である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

電子顕微鏡の分解能を $δ = 0.61 λ / \sin α$ で見積もります． $α$ は入射波の半角です．電子を初速0から電圧 $V = 5.0 kV$ で加速し， $α = 0.020 rad$ とします．収差と散乱は無視します．

電子と，同じ半角で波長 $500 nm$ の光の分解能を求めよ．
電圧だけを4倍，開きの半角だけを2倍にすると，分解能はどう変わるか．高電圧でも $λ = h / \sqrt{2 m e V}$ を使い続けられるか．

**［図：レンズへ入る波の半角と2点間隔］**
物体の2点間の間隔をδとし，一方の点からレンズへ入る波の半角をαで示す．α＝0.020 radである．光路と間隔は模式的に描いている．

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考え方

運動量を分解能の式へ代入する．

$e V = m v^{2} / 2 = p^{2} / (2 m)$ だから $λ = h / \sqrt{2 m e V} = 1.7 \times 10^{- 11} m$ ． $\sin α \approx α$ として $δ = 0.61 λ / α = 5.3 \times 10^{- 10} m$ ．光では $δ = 0.61 \times 500 nm / 0.020 = 1.5 \times 10^{- 5} m$ ．
$δ \propto V^{- 1 / 2} / α$ より，どちらも約半分になる． $α^{2}$ と $e V / (m c^{2})$ が小さい必要がある．後者は初め0.0098である．この比が1程度では波長の式は使えない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

電子の2経路干渉で，検出位置への振幅を $ψ_{1} = A$ ， $ψ_{2} = (A / 2) e^{i ϕ}$ とします． $A > 0$ で，計数率は振幅の絶対値の2乗に比例します．経路1だけを開いた計数率を $J_{0}$ とします．

両経路での計数率 $J (ϕ)$ と，最大・最小の計数率を求めよ．逆位相でも0にならない理由を述べよ．
到達割合を保って経路を識別すると，計数率はどうなるか．

**［図：共通の検出位置へ達する2経路］**
電子の経路1と経路2は共通の検出位置へ達する．振幅は経路1でA，経路2でA/2であり，相対位相はφである．

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考え方

経路を識別しなければ振幅を，識別すれば確率を加える．

実部と虚部を2乗して

\frac{J}{J_{0}} = \frac{{| ψ_{1} + ψ_{2} |}^{2}}{A^{2}} = {(1 + \frac{\cos ϕ}{2})}^{2} + {(\frac{\sin ϕ}{2})}^{2} = \frac{5}{4} + \cos ϕ .

従って $ϕ = 0$ で $J_{max} = 9 J_{0} / 4$ ， $ϕ = π$ で $J_{min} = J_{0} / 4$ ．逆位相でも差 $A / 2$ が残る．

経路を識別すると $J / J_{0} = ({| ψ_{1} |}^{2} + {| ψ_{2} |}^{2}) / A^{2} = 5 / 4$ で位相によらない．識別しなければ多数回の到達で縞が現れる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

粉末試料の電子線回折で，面間隔 $d$ の1次反射の環の半径 $r$ を測ります．試料からスクリーンの距離は $D = 0.200 m$ ．表示電圧 $V$ に一定のずれ $V_{0}$ があり，電子の運動エネルギーは $e (V + V_{0})$ です．半径の不確かさは各1 %，電圧の誤差は無視します．中心値で解け．

$V$ （ $V$ ）	$r$ （ $mm$ ）
1000	6.00
2500	4.00
4600	3.00

結晶面との角を $θ$ とすると $2 d \sin θ = λ$ ，散乱角は $2 θ$ です．小角近似で $Y = 1 / r^{2}$ と電圧の関係を直線で表せ．
最初の2点から $V_{0}, d$ を決め，3点目を検算せよ．
$Y$ の相対不確かさは約何 %か． $Δ Y / Y \approx - 2 Δ r / r$ としてよいとします．

**［図：粉末試料の回折環を測る配置］**
試料からスクリーンまでの距離はD＝0.200 mである．結晶面との角θと散乱角2θを示す．右の正面図では回折環の半径rを示す．角度と長さは模式的に描いている．

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考え方

半径を波長へ変換し，電圧のずれを直線の切片から求める．

$r = D \tan 2 θ \approx 2 D θ$ ， $λ = 2 d \sin θ \approx 2 d θ = d r / D$ ．また $λ^{2} = h^{2} / [2 m e (V + V_{0})]$ なので

Y = \frac{1}{r^{2}} = \frac{2 m e d^{2}}{D^{2} h^{2}} (V + V_{0}) = a V + b, b = a V_{0} .

SI単位で， $a = (6.25 \times 10^{4} - 2.7778 \times 10^{4}) / 1500 = 23.1 m^{- 2} V^{- 1}$ ． $b = 2.7778 \times 10^{4} - 1000 a = 4.63 \times 10^{3} m^{- 2}$ より $V_{0} = b / a = 200 V$ ．丸めずに $d = D h \sqrt{a / (2 m e)} = 1.18 nm$ ．3点目では $Y = a (4600 + 200) = 1.1111 \times 10^{5} m^{- 2}$ ，従って $r = 3.00 mm$ で一致する．
相対不確かさは約2 %である． $r / D = 0.0300$ と $e (V + V_{0}) / (m c^{2}) < 0.010$ が小さい．相対論補正は約0.3 %以下で，測定の不確かさより小さい．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

速さ $v = 8.0 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ，質量 $m_{n} = 1.67 \times 10^{- 27} kg$ の中性子のビームを幅 $a$ のすき間へ通します．距離 $D = 0.50 m$ のスクリーンでの横幅を次の模型で見積もります．

s (a) = a + \frac{2 D Δ p_{x}}{p}, p = m_{n} v, Δ p_{x} \sim \frac{h}{a} .

最後は等号とせよ．

$s (a)$ を最小にする幅と最小値を求めよ．
その幅での横運動エネルギー ${(Δ p_{x})}^{2} / (2 m_{n})$ を求め，狭め続けても像が細くならない理由を説明せよ．

**［図：すき間を通る中性子ビーム］**
平行な中性子ビームを幅aのすき間に通し，距離D＝0.50 mのスクリーンで横幅sを測る．広がりは模式的に示している．

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考え方

すき間の幅と回折の広がりの和を最小にする．

$λ = h / p = 5.0 \times 10^{- 10} m$ より $s = a + 2 D λ / a$ ． $\frac{d s}{d a} = 1 - 2 D λ / a^{2} = 0$ から $a_{*} = \sqrt{2 D λ} = 2.2 \times 10^{- 5} m$ ．微分の符号が負から正になり，最小値は $s_{*} = 2 a_{*} = 4.5 \times 10^{- 5} m$ ．
$Δ p_{x} = h / a_{*}$ なので $K_{x} \sim h^{2} / (2 m_{n} a_{*}^{2}) = 2.7 \times 10^{- 31} J$ ．狭めるほど回折の広がりが増す． $Δ p_{x} / p = λ / a_{*} = 2.2 \times 10^{- 5}$ が小さく，前方速度一定の近似はよい．

ポイント教える人へ

波長は運動量で比較させます．
振幅と確率の加え方を経路の識別から説明させます．
散乱角とブラッグ角，直線の切片を問います．
すき間幅と運動量の広がりを確かめます．