光子と電子の波

光子と光電効果の演習

著者：柚木芹香

エネルギーと個数を区別しましょう．数値計算では $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ，電子質量 $m = 9.11 \times 10^{- 31} kg$ ， $1 eV = 1.60 \times 10^{- 19} J$ を使います．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

仕事関数 $W = 2.40 eV$ の金属に，波長 $600 nm$ と $400 nm$ の単色光を別々に当てます．1個の電子が1個の光子を吸収する光電効果だけを考えます．

限界波長と，電子が放出される光を求めよ．
放出電子の最大運動エネルギーと阻止電圧の大きさを求めよ． $600 nm$ の光の強さだけを増しても電子が出ない理由を説明せよ．

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考え方

光子のエネルギーで放出を判定し，電子の最大運動エネルギーから阻止電圧を決める．

限界では $h c / λ_{0} = W$ だから， $λ_{0} = h c / W = 518 nm$ ．光子のエネルギーは $h c / λ$ より順に $2.07 eV$ ， $3.11 eV$ なので，後者だけが電子を放出する．
丸めずに $K_{max} = h c / λ - W = 0.708 eV$ ．阻止電圧を $V_{s} > 0$ とすると $e V_{s} = K_{max}$ より $V_{s} = 0.708 V$ ．長波長の光を強くしても光子の数が増すだけで，1個のエネルギーは仕事関数に届かない．限界へ短波長側から近づくと $K_{max} \to 0$ となる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

電子を電圧 $V = 25 kV$ で加速して標的に当てるX線管があります．電子の電流は $I = 0.80 mA$ です．初速は無視します．光子のエネルギーは電子の入射エネルギー以下です．

連続X線の最短波長を求めよ．電圧だけを2倍にする場合と，電流だけを2倍にする場合を比較せよ．
電源の供給電力の1.5 %が，波長 $0.080 nm$ の近くの狭い帯で取り出されます．帯内の波長を等しいとし，毎秒の光子数を求めよ．

**［図：X線管の電子線と取り出す帯］**
電子源から出た電子を電圧V＝25 kVで加速して標的に当てる．電子線の電流はI＝0.80 mAで，取り出すX線の狭い帯の波長は0.080 nmである．

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考え方

最短波長と光子数を，電子のエネルギーと電力から別々に決める．

電子の入射エネルギーは $e V$ ．全てを光子1個へ渡す場合が上限なので $h c / λ_{min} = e V$ ，従って $λ_{min} = h c / (e V) = 0.050 nm$ ．電圧2倍なら $0.025 nm$ ，電流2倍なら $0.050 nm$ のままである．
電源の電力は $V I = 20 W$ ，帯内の放射電力は $P = 0.015 V I = 0.30 W$ ．光子の個数率は $\dot{N} = P λ / (h c) = 1.2 \times 10^{14} s^{- 1}$ ．近似には帯幅 $Δ λ / λ$ が十分小さいことが必要である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

波長 $300 nm$ の光を真空光電管の陰極に当て，電子を全て集める電圧で次の電流を測りました． $P$ は入射電力で，丸め以外の誤差を無視します．電流は一定の暗電流 $I_{d}$ と光電子による電流の和です．光子1個あたりの平均放出電子数は入射電力によらず一定とします．

$P$ （ $μ W$ ）	$I$ （ $μ A$ ）
0.00	0.020
0.50	0.056
1.00	0.092

光子1個あたりの放出電子数を $η$ として， $I$ と $P$ の式を作り，表から $I_{d}, η$ を求めよ．
$P = 2.00 μ W$ での電流を予測せよ．仕事関数が $2.10 eV$ なら，暗電流を差し引いた光電流を止める電圧はいくらか．光を強くしたとき，電流と阻止電圧はどう変わるか．

**［図：真空光電管の測定回路］**
波長λ＝300 nm，入射電力Pの光を陰極へ当てる．可変電源と電流計を接続し，陰極を基準とする集電子極の電位をVとする．

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考え方

直線の切片を暗電流，傾きを光子から電子への変換割合と結びつける．

光子の個数率は $P / (h c / λ)$ ，電子の個数率はその $η$ 倍だから

I = I_{d} + \frac{e η λ}{h c} P .

切片は $I_{d} = 0.020 μ A$ ，傾きは $s = (0.092 - 0.020) / 1.00 = 0.072 A W^{- 1}$ ．従って $η = s h c / (e λ) = 0.30$ ．他の点もこの直線に合う．

$I = I_{d} + s P = 0.164 μ A$ ．阻止電圧は $e V_{s} = h c / λ - W$ より $V_{s} = 2.04 V$ ．集電子極を陰極よりこの大きさだけ低い電位にする．強さで光電流は増すが，波長一定なら $V_{s}$ は変わらない．外挿には収量一定の仮定が必要である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

静止した自由電子へ，波長 $λ = 2 λ_{c}$ ， $λ_{c} = h / (m c)$ の光子を $+ x$ 方向へ進むように入射させます．散乱光子は $+ y$ 方向へ進みます．散乱角を $ϕ$ とし， $λ^{'} - λ = λ_{c} (1 - \cos ϕ)$ です．

反跳電子の運動エネルギー $K$ と運動量の成分 $p_{x}, p_{y}$ を求めよ．
電子の進む向きと運動量の大きさを求め， $K$ を電子ボルトで評価せよ．相対論の式 $E_{e}^{2} = m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}$ ， $E_{e} = m c^{2} + K$ に合うことも確かめよ．

**［図：直角方向へ散乱する光子］**
原点で静止していた電子へ，波長λ＝2λcの光子が＋x方向に入射する．散乱光子は＋y方向へ進む．図のφは散乱角を表す．

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考え方

エネルギーと運動量をそれぞれ保存させる．

$ϕ = π / 2$ より $λ^{'} = 3 λ_{c}$ ． $E_{γ} = h c / λ$ より光子のエネルギーは $m c^{2} / 2, m c^{2} / 3$ だから $K = m c^{2} / 6$ ． $p_{γ} = h / λ$ より運動量保存は $m c / 2 = p_{x}$ ， $0 = m c / 3 + p_{y}$ なので $p_{x} = m c / 2, p_{y} = - m c / 3$ である．
電子は $+ x$ 軸より下側へ，角度 $θ = \arctan (2 / 3) = {33.7}^{\circ}$ で進む． $p = \sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2}} = \sqrt{13} m c / 6$ ， $K = 8.54 \times 10^{4} eV$ ． $E_{e} = m c^{2} \sqrt{1 + 13 / 36} = 7 m c^{2} / 6$ で確かに $E_{e} - m c^{2} = K$ ． $K / (m c^{2}) = 1 / 6$ は十分小さくなく，非相対論的な $p^{2} / (2 m)$ を使う誤差は無視できない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

静止原子が光子1個を吸収して内部エネルギーを $ϵ_{0}$ だけ増します．原子の質量を一定の $M$ とし，並進運動は $K = p^{2} / (2 M)$ とする非相対論的模型です． $ϵ_{0} / (M c^{2})$ は十分小さいとします．

光子エネルギー $E_{γ}$ を保存則から求め，補正の最初の項まで近似せよ．
$M = 6.64 \times 10^{- 26} kg$ ， $ϵ_{0} = 2.00 eV$ で補正と反跳速度を評価せよ．逆向きの同じ光子2個を同時に吸収できるなら，各光子のエネルギーはどうなるか．

**［図：1光子と対向する2光子の吸収］**
左は静止原子へ光子1個が入射する配置である．右は等しいエネルギーの光子が左右から同時に入射する配置である．どちらも内部エネルギー増加はε0である．

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考え方

入射エネルギーを内部と並進へ分ける．

運動量保存は $p = E_{γ} / c$ ，エネルギー保存は $E_{γ} = ϵ_{0} + E_{γ}^{2} / (2 M c^{2})$ ． $A = M c^{2}$ とおくと，低い方の根は

E_{γ} = A (1 - \sqrt{1 - 2 ϵ_{0} / A}) \approx ϵ_{0} + \frac{ϵ_{0}^{2}}{2 M c^{2}}

となる．最後は $\sqrt{1 - 2 u} \approx 1 - u - u^{2} / 2$ の展開である．高い根は近似範囲外である．

補正は $ϵ_{0}^{2} / (2 M c^{2}) = 5.35 \times 10^{- 11} eV$ ，速度は $v = p / M \approx ϵ_{0} / (M c) = 1.61 \times 10^{- 2} m s^{- 1}$ ．逆向きの同じ光子2個なら全運動量が0で反跳もなく，光子のエネルギーは $ϵ_{0} / 2$ である． $ϵ_{0} / (M c^{2}) \approx 5.35 \times 10^{- 11}$ と小さく，質量一定と非相対論的並進の近似は整合する．

ポイント教える人へ

強さと振動数を変えたときの電流と阻止電圧を問います．
暗電流を差し引き，光子と電子を別々に数えさせます．
散乱の運動量保存と吸収のエネルギー配分を問います．
反跳の近似を光子と静止エネルギーの比で確かめさせます．