光子と電子の波

光子の例題

著者：柚木芹香

光子の問題では，光子1個について成り立つ式（エネルギー $h ν$ ，運動量 $h / λ$ ，光電効果の式，保存則）と，光子の数を数える式（強さや電力を1個のエネルギーで割る）を分けて考えるのが基本です．ここでは，測定からプランク定数を決める問題，コンプトン散乱の数値，太陽光の光子を数える問題の3つを練習します．

ポイント光子の計算の手順

光子1個のエネルギーは $E = h c / λ$ ． $h c = 1240 eV nm$ を使うと電子ボルトですぐ出る． $1 eV = 1.60 \times 10^{- 19} J$ ．
光子の数の流れ（毎秒の個数）は，電力やエネルギーの流れを光子1個のエネルギーで割って求める．
衝突や吸収では，エネルギーと運動量をともに保存させる．光子の運動量は $h / λ$ ，電子のエネルギーは $E_{e}^{2} = {(m c^{2})}^{2} + {(p_{e} c)}^{2}$ で，運動エネルギーが $m c^{2} = 511 keV$ より十分小さければ $p_{e}^{2} / (2 m)$ でよい．

数値計算では $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ， $m = 9.11 \times 10^{- 31} kg$ を使います．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

ある金属を陰極にした光電管に，水銀灯から取り出した4本の単色光を順に当て，それぞれの阻止電圧の大きさ $V_{s}$ を測ったところ，次の表のようになった．接触電位差は補正済みとする．

波長（ $nm$ ）	546.1	435.8	404.7	365.0
$V_{s}$ （ $V$ ）	0.27	0.85	1.06	1.40

それぞれの光の振動数を求め， $V_{s}$ と振動数 $ν$ の関係をグラフに表すとどうなるか述べよ．
グラフからプランク定数 $h$ と，この金属の仕事関数 $W$ （ $eV$ 単位）を求めよ．
光の強さを2倍にしたとき，および仕事関数が $0.50 eV$ 大きい金属に替えたとき，グラフはそれぞれどう変わるか．

**［図：阻止電圧の測定値と作図用の座標軸］**
上段は問題文で与えられた4つの波長と阻止電圧の表．下段は横軸が振動数ν（10¹⁴ Hz），縦軸が阻止電圧Vₛ（V）の作図用座標軸．振動数への換算，測定点の配置，直線と切片は読者が求める．

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考え方 光電効果の式 $e V_{s} = h ν - W$ から， $V_{s}$ は $ν$ の1次関数で，傾きが $h / e$ ，横軸との交点が限界振動数 $ν_{0} = W / h$ である．測った点に直線を合わせ，傾きと切片を読む．

$ν = c / λ$ より，順に

5.49 \times 10^{14}, 6.88 \times 10^{14}, 7.41 \times 10^{14}, 8.22 \times 10^{14} Hz

である． $V_{s} = (h / e) ν - W / e$ なので，点はほぼ1本の直線に乗る．

振動数を丸めずに，両端の2点から傾きを求めると

\frac{h}{e} \approx \frac{1.40 - 0.27}{(8.21918 - 5.49350) \times 10^{14}} V s \approx 4.15 \times 10^{- 15} V s

である．よって，丸める前の傾きに $e$ を掛けると $h \approx 6.63 \times 10^{- 34} J s$ である．中の2点も，この直線からのずれは $0.006 V$ 以下で，4点すべてに最小2乗法で直線を合わせても傾きは測定の精度内で一致する．

横軸との交点は， $ν = 5.49 \times 10^{14} Hz$ の点から $V_{s}$ を $0.27 V$ 下げる所なので

ν_{0} \approx 5.49 \times 10^{14} - \frac{0.27}{4.15 \times 10^{- 15}} \approx 4.84 \times 10^{14} Hz

である．仕事関数は $W = h ν_{0}$ で， $W / e = (h / e) ν_{0} \approx 2.01 V$ ，すなわち $W \approx 2.01 eV$ である．

強さを2倍にしても光子1個のエネルギーは変わらないので， $V_{s}$ は変わらず，グラフは同じ直線のままである（飽和電流が2倍になるだけである）．仕事関数が $0.50 eV$ 大きい金属では，傾き $h / e$ は同じで，光電子が出る範囲では直線が下へ $0.50 V$ 平行に移る．限界振動数は $Δ ν_{0} = 0.50 / (4.15 \times 10^{- 15}) = 1.2 \times 10^{14} Hz$ だけ大きくなり $6.0 \times 10^{14} Hz$ になるので， $546.1 nm$ （ $5.49 \times 10^{14} Hz$ ）の光では光電子が出なくなる．

確かめ：求めた $h$ は既知の値 $6.63 \times 10^{- 34} J s$ と有効数字の範囲で一致する．なお実際の光電管では，陰極と集電極の金属が違うと両者の間に接触電位差が生じ，測った $V_{s}$ 全体が一定量ずれる．このずれは直線を平行に動かすだけなので，傾きから求める $h$ には影響しないが，切片から求める $W$ には影響する．測定から $h$ を決めるのに傾きを使うのはこのためである．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

波長 $λ = 71.0 pm$ （ $1 pm = 10^{- 12} m$ ）のX線を炭素の塊に当て，散乱されたX線を調べる．炭素の外側の電子は，静止した自由な電子とみなす．

入射方向から $90^{\circ}$ の向きと，真後ろ（ $180^{\circ}$ ）の向きに散乱されたX線の波長を求めよ．
真後ろに散乱された場合について，反跳した電子の運動エネルギーを $keV$ 単位で求めよ．また，この電子を相対論を使わずに扱ってよいか，電子の運動量から確かめよ．

**［図：炭素による90°・180°のX線散乱の配置］**
波長λ = 71.0 pmのX線を左から炭素に当てる．上段は入射方向に対して90°の検出器，下段は180°の検出器を示す別々の配置．入射は青，散乱は緑の矢印で，180°では同じ直線上を逆向きに進む．

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考え方 コンプトン散乱の式 $λ^{'} - λ = \frac{h}{m c} (1 - \cos ϕ)$ で波長を求め，電子のエネルギーはエネルギー保存で光子のエネルギーの差として求める．相対論が要るかは，電子の運動エネルギーと静止エネルギー $m c^{2}$ を比べて判断する．

コンプトン波長は

\frac{h}{m c} = \frac{6.63 \times 10^{- 34}}{9.11 \times 10^{- 31} \times 3.00 \times 10^{8}} m = 2.43 pm

である． $ϕ = 90^{\circ}$ では $1 - \cos ϕ = 1$ なので $λ^{'} = 71.0 + 2.43 = 73.4 pm$ ， $ϕ = 180^{\circ}$ では $1 - \cos ϕ = 2$ なので $λ^{'} = 71.0 + 4.85 = 75.9 pm$ である．

光子のエネルギーは，与えられた $h, c, e$ を使い，途中の値を丸めずに求めると

E = \frac{h c}{λ} \approx 17.5 keV, E^{'} = \frac{h c}{λ^{'}} \approx 16.4 keV

である．電子の運動エネルギーは，エネルギー保存より

K = E - E^{'} = 1.12 keV

である（差をとるので，途中の値は丸めずに計算した）．

真後ろの散乱では，入射光子の運動量 $h / λ$ が，逆向きの光子の運動量 $h / λ^{'}$ と前向きの電子の運動量 $p_{e}$ に分かれるので， $p_{e} = h / λ + h / λ^{'}$ である． $c$ を掛けると $p_{e} c = E + E^{'} = 33.9 keV$ で，これは $m c^{2} = 511 keV$ より十分小さい．非相対論の式で運動エネルギーを計算すると

K = \frac{p_{e}^{2}}{2 m} = \frac{{(p_{e} c)}^{2}}{2 m c^{2}} = \frac{{(33.9 keV)}^{2}}{2 \times 511 keV} = 1.12 keV

となり，上の値と一致する． $K / (m c^{2}) = 2 \times 10^{- 3}$ なので，相対論を使わずに扱ってよい．

確かめ：(1) のずれは $ϕ$ だけで決まり，入射波長によらない．(2) で光子の失ったエネルギー $1.12 keV$ は入射エネルギーの 6.4 % で，波長が 6.8 % 伸びたことと合う（ $E \propto 1 / λ$ ）．炭素の外側の電子をつなぎとめるエネルギーは $10 eV$ 程度で，電子が受け取る $1 keV$ よりずっと小さいので，電子を自由とみなす近似も成り立つ．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

地球の公転軌道の位置で太陽光に垂直な面が受ける光の強さは $S = 1.36 \times 10^{3} W m^{- 2}$ である．太陽光の波長には幅があるが，ここではすべて波長 $550 nm$ の光子とみなす．

光子1個のエネルギーと運動量を求め，太陽光に垂直な $1 m^{2}$ の面を毎秒通過する光子の数を求めよ．
太陽光を完全に反射する薄い膜（ソーラーセイル）を，太陽光に垂直に広げる．面積 $1 m^{2}$ あたりに働く力を，光子の数と1個の運動量の変化から求めよ．また，その結果が光子の波長を何と仮定したかによらないことを示せ．
面積 $1.0 \times 10^{4} m^{2}$ ，質量（膜と積み荷の合計） $50 kg$ のソーラーセイルが，地球の公転軌道の位置にある．光の圧力による加速度を求め，太陽の重力による加速度 $5.93 \times 10^{- 3} m s^{- 2}$ と比べよ．この比は太陽からの距離によるか．また，光の圧力が重力とつり合うには，面積 $1 m^{2}$ あたりの質量をいくらにすればよいか．

**［図：太陽光を完全反射するソーラーセイル］**
太陽から右へ進む光が，光に垂直な鏡の膜で真後ろへ反射する．矢印は光の進む向きで，実際には同じ経路を往復する光を上下に分けて描く．波長550 nm，光の強さS = 1.36 × 10³ W m⁻²と，設問(3)で与えられた面積・質量を示す．入射光子の運動量は +h/λ，反射後は −h/λ．光の圧力は太陽から遠ざかり，重力は太陽へ向かう．力と加速度の大きさは描かない．

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考え方 光の強さ $S$ は「光子1個のエネルギー」×「単位面積を毎秒通る光子の数」である．力は，膜が単位時間に光子から受け取る運動量として数える．反射では光子の運動量の向きが逆になるので，1個あたり $2 h / λ$ を受け取る．

光子1個のエネルギーと運動量は

E = \frac{h c}{λ} = \frac{6.63 \times 10^{- 34} \times 3.00 \times 10^{8}}{550 \times 10^{- 9}} J = 3.62 \times 10^{- 19} J (2.26 eV)

p = \frac{h}{λ} = \frac{6.63 \times 10^{- 34}}{550 \times 10^{- 9}} kg m s^{- 1} = 1.21 \times 10^{- 27} kg m s^{- 1}

である． $1 m^{2}$ を毎秒通る光子の数は

J = \frac{S}{E} = \frac{1.36 \times 10^{3}}{3.62 \times 10^{- 19}} m^{- 2} s^{- 1} = 3.76 \times 10^{21} m^{- 2} s^{- 1}

である．

膜に垂直に当たって真後ろへ反射する光子1個の運動量の変化の大きさは $2 h / λ$ で，膜はその反作用として同じ大きさの力積を光の進む向きに受ける．面積 $1 m^{2}$ あたりの力（圧力）は

P = J \cdot \frac{2 h}{λ} \approx 9.07 \times 10^{- 6} N m^{- 2}

である．文字のまま計算すると

P = \frac{S}{h c / λ} \cdot \frac{2 h}{λ} = \frac{2 S}{c}

となり， $λ$ は消える．波長が短い光子は1個の運動量が大きいが，同じ強さなら数がちょうどその分だけ少ないからである．これは第26章で電磁波から求めた，完全に反射する面の光の圧力 $2 S / c$ と一致する．

膜に働く力は $F = P A = 9.07 \times 10^{- 6} \times 1.0 \times 10^{4} N = 9.1 \times 10^{- 2} N$ で，加速度は

a = \frac{F}{50} = 1.8 \times 10^{- 3} m s^{- 2}

である．太陽の重力による加速度との比は，丸める前の加速度を使うと $a / (5.93 \times 10^{- 3} m s^{- 2}) \approx 0.31$ である．光の強さ $S$ も重力も太陽からの距離の2乗に反比例するので，この比は距離によらない．

光の圧力と重力がつり合うのは，面積 $1 m^{2}$ あたりの質量を $σ$ として $2 S / c = σ g_{s}$ （ $g_{s} = 5.93 \times 10^{- 3} m s^{- 2}$ ）のときなので

σ = \frac{2 S}{c g_{s}} = \frac{2 \times 1.36 \times 10^{3}}{3.00 \times 10^{8} \times 5.93 \times 10^{- 3}} kg m^{- 2} = 1.53 \times 10^{- 3} kg m^{- 2}

である．つまり $1 m^{2}$ あたり $1.53 g$ まで軽くする必要がある．

確かめ：(3) のセイルは $1 m^{2}$ あたり $5 g$ で，つり合いの値の約3倍重いので，比が $1.53 / 5 \approx 0.31$ になることと合う．ここでは膜がつねに太陽光に垂直で，光を完全に反射するとした．光を吸収する黒い膜なら1個あたりの運動量の変化は $h / λ$ で，力は半分になる．また太陽光を1つの波長で代表させたが，(2) で見たとおり力は $S$ だけで決まるので，この近似は (2)(3) の結果に影響しない．影響するのは (1) の光子1個のエネルギー・運動量と光子の数である．

ポイントここまでのまとめ

光電効果の $V_{s}$ と $ν$ のグラフは傾き $h / e$ の直線で，傾きからプランク定数，横軸との交点から限界振動数と仕事関数が決まる．光の強さはグラフを変えない．
コンプトン散乱の波長のずれは $\frac{h}{m c} (1 - \cos ϕ)$ で，コンプトン波長 $2.43 pm$ が目安になる．
反跳電子のエネルギーは光子のエネルギーの差で求め， $m c^{2} = 511 keV$ と比べて相対論が要るかを判断する．
光の強さを光子1個のエネルギーで割ると光子の数の流れになり，それに1個の運動量の変化を掛けると光の圧力になる．結果は波長によらず，第26章の $S / c$ （吸収）， $2 S / c$ （反射）と一致する．