変位電流とマクスウェル方程式

問い

電池と抵抗をつないで，平行板コンデンサーを充電します．導線には電流が流れ，そのまわりには第22章で調べたとおり円を描く磁場ができます．ところが，2枚の極板の間はすき間で，電流は流れていません．では，充電している間，極板のすき間のまわりにも磁場はできるのでしょうか．それとも，導線の所にだけ磁場があって，すき間の所では途切れるのでしょうか．

この章は電磁気の分野（第20章から第24章）のまとめです．第20章の初めに，電荷は場を作り，場は電荷に力を及ぼす，そして電場と磁場の法則は全部で4つにまとまる，という見取り図を示しました．第20章から第23章で，その4つを静電気，電流と磁場，電磁誘導の順に1つずつ確かめてきました．この題材では，その中で1つだけ足りなかった項（変位電流）を足し，4つの法則を積分形と微分形で並べます．次の題材「場のエネルギーとその流れ」では，場がエネルギーを持ち，そのエネルギーが空間を流れることを見ます．ここで完成した法則から，第25章で波の性質を調べたあと，第26章で電磁波を導きます．第20章から第23章で（発展）の微分形を飛ばした人は，この章でも表の微分形の列と，それを使う式変形（電荷の保存，真空の渦の式，ポインティングの定理の導き方）は結果だけを認め，積分形で先へ進んでかまいません．「（発展）」と付けた同軸ケーブルと場の運動量の節も飛ばせます．

考えてみる

第22章のアンペールの法則は，閉じた道に沿って一周した磁場の線積分が，その道を縁とする面を貫く電流の ${\mu }_0$ 倍になる，というものでした．

充電中の導線を囲む円を道に選び，面としてその円を張る平らな円板をとれば，導線が貫くので右辺は ${\mu }_{0}I$ です．ところが，同じ円を縁にしたまま，面を袋のようにふくらませて極板のすき間を通すと，面を貫く電流はありません．右辺は0です．左辺は道だけで決まる量なので，面の選び方で答えが変わるのは矛盾です．

電流が一定で，どこにも電荷がたまらない場合は，この矛盾は起きません．2つの面を合わせた閉じた面に入る電流と出る電流が等しいので，どちらの面を貫く電流も同じだからです．困るのは，極板に電荷がたまっていく所です．アンペールの法則は，定常電流についてしか確かめられていなかったのです．

変位電流

すき間には電流はありませんが，電場があり，それが増えていきます．極板の面積を $A$，正極板の電荷を $Q$ とすると，ガウスの法則から極板の間の電束は ${\mathrm{\Phi }}_E=Q/{\epsilon }_0$ です．充電電流は $I=\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$ なので

です．導線を貫く平らな面では電流が $I$ で電束は変わらず，すき間を通る袋の面では電流が0で ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ が $I$ です．電流と ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ の和は，どちらの面でも同じです．

これはこのコンデンサーに限りません．同じ道を縁とする2つの面で閉じた面を作ると，電荷の保存から，閉じた面から出ていく電流は中の電荷の減る速さに等しく，ガウスの法則から，閉じた面から出る電束は中の電荷の $1/{\epsilon }_0$ 倍です．2つを合わせると，閉じた面から出ていく電流と ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ の和はいつも0です．つまり，電流と ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ の和は，面の選び方によらず，縁の道だけで決まります．

変位電流は電荷の流れではありません．名前は歴史的なもので，磁場を作る点だけが電流と同じです．マクスウェルは，アンペールの法則の右辺に変位電流を足しました．

円板の極板（半径 $a$）の間で，軸を中心とする半径 $r$ の円を道にとると，極板の間の電場は一様なので，円を貫く電束は全体の $r^2/a^2$ です．軸対称性から磁場は円に沿う向きで大きさが一定なので，$r$ が $a$ より小さい所では $B={\mu }_{0}Ir/(2\pi a^2)$，$a$ より大きい所では $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$ となります（数学の節の例題1）．極板の外側の円では，導線のまわりと同じ磁場です．

4つの法則

これで電場と磁場の法則がそろいました．積分形の $\mathrm{\Phi }$，${\mathrm{\Phi }}_E$，$I$ は，閉じた道を縁とする止まった面についての量です．微分形は，ガウスの定理とストークスの定理で積分形を各点の式に直したもので，両者は同じことを言っています（数学の節）．

表は，第20章の見取り図で言葉で書いた4つの法則を，同じ順に式で書いたものです．1行目と2行目は場の湧き出し（電場には電荷という湧き出しがあり，磁場にはない），3行目と4行目は場の渦（電場の渦は磁場の変化が，磁場の渦は電流と電場の変化が作る）を述べています．回路が動く場合は，起電力を電荷に働く力（ローレンツ力）の一周の積分ととれば，運動起電力（第23章）も含めて磁束の法則 $\mathcal{E}=-\mathrm{d}\mathrm{\Phi }/\mathrm{d}t$ が成り立ちます．

電荷の保存は，この4つから導けます．アンペール・マクスウェルの法則の微分形の発散をとると，左辺は $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}=0$（どんな場でも0，第22章と数学の節）なので，$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{j}+{\epsilon }_0\partial /\partial t(\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{E})=0$ です．ガウスの法則を入れると

で，第21章の連続の式になります．変位電流の項が無いと $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{j}=0$ がいつも要求され，電荷がたまることが許されません．第22章の数学の節で，元のアンペールの法則は定常電流に限られると注意したのはこのためです．変位電流は，電荷の保存と両立させるために必要な項なのです．

場は自分で伝わる

電荷も電流も無い真空では，渦の2つの式は

となり，ほとんど対称な形になります．変化する磁場がまわりに電場を作り，変化する電場がまわりに磁場を作ります．すると，いったん場の変化が起これば，電荷から離れたところでも，場が互いを作り合いながら進んでいけるはずです．${\epsilon }_0=8.85\times {10}^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$，${\mu }_0=1.26\times {10}^{-6}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$ から $1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}=3.00\times {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ で，光の速さと一致します．電荷の間の力と電流の間の力という静的な測定だけから，光の速さが出てくるのです．これが第26章の電磁波です．

準静的近似

第21章から第23章の回路では，各瞬間の電荷と電流から静的な場の式で場を求めました．これを準静的近似といいます．大きさ $L$ の装置で，場が時間 $\tau$ 程度で変わるとします．磁場 $B$ の変化がファラデーの法則で作る電場は $E\sim LB/\tau$ 程度で，その電場の変化の変位電流が作る磁場は ${\mu }_0{\epsilon }_{0}LE/\tau \sim L^{2}B/(c\tau {)}^2$ 程度です．磁場の補正の割合は ${(L/(c\tau ))}^2$ で，$L/(c\tau )$ が十分小さい，つまり光が装置を横切る時間が変化の時間よりずっと短ければ，補正を無視できます．$50\mathrm{Hz}$ の交流では $c\tau =c/\omega \approx 950\mathrm{km}$ で，部屋の中の回路はまったく問題ありません．$1\mathrm{GHz}$ では $c\tau \approx 5\mathrm{cm}$ で，手のひらほどの回路でも近似が破れ，回路は電磁波を出します．

準静的近似は，変位電流をすべて捨てることではありません．コンデンサーの極板の間の変位電流は導線の電流の続きで，小さくありません．捨てるのは，場の変化が作った場がさらに場を作る，という連鎖の2段目です．金属の中では，角振動数 $\omega$ の変化に対して変位電流と伝導電流の比は $\omega {\epsilon }_0/\gamma$ で，銅（$\gamma =6\times {10}^7\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$）なら $1\mathrm{GHz}$ でも ${10}^{-9}$ 程度です．導体の中の変位電流はふつう無視できます．

問いに戻る

充電している間，極板のすき間のまわりにも磁場はできます．すき間では電流は流れていませんが，電場が増えていて，その変位電流 ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ は導線の電流 $I$ にちょうど等しいからです．極板より外側の円では，磁場は導線のまわりと同じ ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$ で，すき間の所で途切れることはありません．