マクスウェル方程式

変位電流とマクスウェル方程式の演習

著者：柚木芹香

面と閉じた道の向きをそろえ，伝導電流と変位電流を符号つきで足してください．準静的として扱える条件も確かめましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

真空中の固定した面を貫く電束が， $Φ_{E} = Φ_{0} + A t^{2}$ と変化します．面の法線は $+ z$ 向き， $A = 2.0 \times 10^{5} V m s^{- 2}$ ， $ε_{0} = 8.9 \times 10^{- 12} F m^{- 1}$ とします．

$t = 3.0 \times 10^{- 3} s$ での変位電流を求めよ．
同じ面を $- z$ 向きに $6.0 \times 10^{- 9} A$ の伝導電流が貫くとき，縁を一周する磁場の線積分の符号を求めよ．正方向は $+ z$ 側から見て反時計回りとする．

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考え方
電束の時間変化率を使い，法線に逆らう電流を負とする．

$I_{d} = ε_{0} \frac{d Φ_{E}}{d t} = 2 ε_{0} A t$ だから， $I_{d} = 1.1 \times 10^{- 8} A$ ．
閉じた縁に沿って一周する積分は $\int B \cdot d l = μ_{0} (I + I_{d})$ である．和は正なので積分は正．磁場の向きには対称性も要る． $ε_{0} Φ_{E}$ は電荷の次元をもち，その微分は電流の次元になる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

内半径 $a$ ，外半径 $b$ の同じ環状極板2枚を，間隔 $d$ で向かい合わせた真空コンデンサーがあります．面電荷は一様で，電場は環状部分だけで $+ z$ 向きと近似します．軸対称な外部回路を通して正極板の電荷が $\frac{d Q}{d t} = - I_{0}$ （ $I_{0} > 0$ ）で減少しています．外部回路の帰線は考えるすべての円より外側にあり，円内の積分面を貫く伝導電流はありません． $d / a$ ， $d / (b - a)$ ， $max (b, r) / (c τ)$ は十分小さいとし， $τ$ は変化の時間尺度， $c = 1 / \sqrt{ε_{0} μ_{0}}$ とします．

極板間の平面で，軸を中心とする半径 $r$ の円内の変位電流を， $r < a$ ， $a < r < b$ ， $r > b$ に分けて求めよ．
同じ円周上の磁場の大きさと向きを求めよ．

**［図：環状極板と半径 r の円］**
環状極板の軸を含む断面と極板間の平面．内半径 a，外半径 b，間隔 d，半径 r の円を示す．電場は環状部分で +z 向き，正極板から外部回路へ電流 I₀ が流れる．

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考え方
電束の変化は，円内に含まれる環状面積に比例する．

$E = Q / [ε_{0} π (b^{2} - a^{2})]$ より $ε_{0} \frac{d E}{d t} = - I_{0} / [π (b^{2} - a^{2})]$ ．含まれる面積を掛けると

I_{d} = {\begin{array}{ll} 0 & r < a, \\ - I_{0} \frac{r^{2} - a^{2}}{b^{2} - a^{2}} & a < r < b, \\ - I_{0} & r > b . \end{array}

反時計回りを正とする接線成分を $B_{ϕ}$ とすると，対称性とアンペール・マクスウェルの法則から $2 π r B_{ϕ} = μ_{0} I_{d}$ ．したがって大きさは $μ_{0} | I_{d} | / (2 π r)$ ，向きは磁場が0でない所で $+ z$ 側から見て時計回りである． $r = a, b$ で連続になる．指定した3つの比が十分小さいことが条件であり，縁では近似が破れうる． $r > b$ の式も帰線より内側に限り，帰線を囲む円ではその伝導電流を加える必要がある．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

端子間の漏れ抵抗をもつコンデンサーに，電圧を一定の速さ $α = \frac{d V}{d t}$ で変える電源をつなぎます．容量 $C$ と漏れのコンダクタンス $G$ は一定，漏れ電流は $G V$ とします． $V = 12 V$ での電源からの電流を測りました．各電流の不確かさは $0.05 mA$ ，電圧と変化率の不確かさは無視します．

$α$	$- 2.0 \times 10^{4} V s^{- 1}$	$0$	$2.0 \times 10^{4} V s^{- 1}$
$I$	$0.80 mA$	$1.60 mA$	$2.40 mA$

電荷保存から $I$ と $α$ の関係を導き， $C$ と漏れ抵抗 $1 / G$ を求めよ．
$C$ の不確かさの最大幅を両端の測定から見積もれ．また，漏れを無視できるか述べよ．

**［図：容量と並列の漏れコンダクタンス］**
電源に容量 C と漏れコンダクタンス G を並列につなぐ．端子電圧 V，電源からの流入電流 I，電圧変化率 α を示す．漏れは長方形の抵抗記号で示す．

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考え方
蓄積と漏れを直線の傾きと切片から読む．

$Q = C V$ ， $\frac{d Q}{d t} = I - G V$ だから $I = C α + G V$ ．両端の差より $C = (2.40 - 0.80) \times 10^{- 3} / (4.0 \times 10^{4}) = 4.0 \times 10^{- 8} F$ ．中央の値から $G = 1.60 \times 10^{- 3} / 12$ ，したがって $1 / G = 7.5 \times 10^{3} Ω$ ．
電流差の最大幅は $0.10 mA$ なので $δ C = 0.10 \times 10^{- 3} / (4.0 \times 10^{4}) = 2.5 \times 10^{- 9} F$ ．増加時だけで $C = I / α$ とすると $1.2 \times 10^{- 7} F$ になってしまう．漏れを無視するには $G V / | C α |$ が十分小さいことであり，ここではその比が2なので満たさない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $a$ ，単位長さ当たりの巻数 $n$ の十分長い真空ソレノイドに， $| t | < τ$ で $I = I_{0} [1 + {(t / τ)}^{2}]$ を流します．まず内部の場を一様な $B_{z} = μ_{0} n I$ と近似します． $c = 1 / \sqrt{ε_{0} μ_{0}}$ とします．

内部の半径 $r < a$ での誘導電場の接線成分 $E_{ϕ}$ と変位電流密度 $j_{d ϕ}$ を求めよ．
軸方向の長方形の周回路から，この変位電流が要求する $B_{z} (r) - B_{z} (0)$ を見積もれ． $t = 0$ での一様場に対する相対的な補正と，近似の条件を求めよ．

**［図：ソレノイド内の二つの周回路］**
ソレノイドの半径 a と軸 z，内部の半径 r の円周，軸方向の長方形の周回路を示す．周回路の向きや誘導電場，変位電流，磁場の補正は加えない．

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考え方
まず磁束の変化から電場を出し，それを変位電流として磁場へ戻す．

$2 π r E_{ϕ} = - π r^{2} \frac{d B_{z}}{d t}$ より $E_{ϕ} = - μ_{0} n I_{0} r t / τ^{2}$ ．したがって $j_{d ϕ} = ε_{0} \frac{\partial E_{ϕ}}{\partial t} = - ε_{0} μ_{0} n I_{0} r / τ^{2}$ ．
長方形の軸方向の長さを $ℓ$ とすると $ℓ [B_{z} (0) - B_{z} (r)] = μ_{0} ℓ \int_{0}^{r} j_{d ϕ} (s) d s$ ．積分して $B_{z} (r) - B_{z} (0) = μ_{0} n I_{0} r^{2} / (2 c^{2} τ^{2})$ ． $t = 0$ の一様場 $μ_{0} n I_{0}$ に対する最大の相対補正は $a^{2} / (2 c^{2} τ^{2})$ である．これは補正の先頭項である． $a / (c τ)$ が十分小さいときだけ，変位電流による補正を無視できる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

真空領域の場の候補を $E = α t x e_{y}$ ， $B = - α t^{2} e_{z} / 2$ とします． $e_{x}, e_{y}, e_{z}$ は右手系の単位ベクトル， $α$ は定数（単位 $V m^{- 2} s^{- 1}$ ）です．

ガウスの2法則とファラデーの法則を微分形で確かめ，必要な電荷密度 $ρ$ を求めよ．
アンペール・マクスウェルの法則から伝導電流密度を求め，電荷保存を確かめよ．電荷も電流もない領域の場として採用できるか．

**［図：場を指定した領域と右手系の座標軸］**
真空領域と右手系の座標軸 x，y，z．+x は右，+y は上，+z は紙面の手前を向く．本文で与えた場の式を添える．

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考え方
各法則に必要な電荷と電流を確かめる．

$\nabla \cdot E = \frac{\partial}{\partial y} (α t x) = 0$ より $ρ = 0$ ．一様な磁場なので $\nabla \cdot B = 0$ ．また $\nabla \times E = α t e_{z} = - \frac{\partial B}{\partial t}$ で，ファラデーの法則を満たす．
$\nabla \times B = 0 = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ より $j = - ε_{0} α x e_{y}$ ． $\nabla \cdot j = 0 = - \frac{\partial ρ}{\partial t}$ で電荷保存も満たすが， $α \neq 0$ なら一般の $x$ で電流が必要である．したがって電流のない領域の場としては採用できない． $ε_{0} α x$ の単位は $A m^{- 2}$ となる．

ポイント教える人へ

変位電流の正負を，電場の向きではなく電束の増減から説明させる．
漏れと蓄積を分け，測定直線の切片と傾きの意味を問う．
電荷保存と変位電流の関係を確認する．
準静的近似の条件を，場を一度戻して得る補正の比で説明させる．