力学の総合演習

観測から運動を組み立てる

著者：柚木芹香

観測値から未知の質量や力を逆算し，結論が測定誤差に耐えるかを調べます．第3章の運動の記述，第5章の運動量，第6章のニュートンダイアグラム，第7章の振動，第9章の外部運動と内部運動を組み合わせてください．

総合演習 1

オリジナル ★★★★☆

ストロボ写真から衝突を復元する

水平な無摩擦面で滑らかな2円盤A，Bが一度だけ衝突しました．半径はいずれも $0.030 m$ ，質量は未知です．接触中は中心線方向だけに力積が働き，接触時間は撮影間隔より十分短いとします．接触時を $t = 0$ とする中心座標の測定値は次のとおりです．座標の単位は $m$ ，時刻の単位は $s$ です．

$t$	Aの $(x, y)$	Bの $(x, y)$
$- 0.20$	$(- 0.630, - 0.200)$	$(0.030, 0.200)$
$- 0.10$	$(- 0.330, - 0.100)$	$(0.030, 0.100)$
$0.10$	$(- 0.130, 0.100)$	$(0.230, - 0.100)$
$0.20$	$(- 0.230, 0.200)$	$(0.430, - 0.200)$

衝突前後の速度，接触時の中心位置，質量比を求めてください．
重心速度と相対速度を求め，ニュートンダイアグラムで弾性衝突か判定してください．
各座標には独立に最大 $0.001 m$ の読取誤差があります．質量比を別測定で正確に得た場合でも，相対運動エネルギーの1 %の損失をこの写真だけで識別できますか．誤差の上限から検討してください．

**［図：ストロボ写真の中心位置］**
問題図．4時刻の観測座標を表示します．衝突の速度や質量比は示しません．

解答を見る

考え方 等時間隔の変位が速度を与える．次に速度変化の比から質量比を求め，並進する重心を取り除いて衝突の内部運動を調べる．

各2点の差を $0.10 s$ で割ると，単位 $m s^{- 1}$ で

v_{A} = (3, 1), v_{B} = (0, - 1), u_{A} = (- 1, 1), u_{B} = (2, - 1)

となる．直線を $t = 0$ まで延長すると中心は $(- 0.030, 0)$ ， $(0.030, 0)$ ．中心間距離は直径に一致し，法線は $x$ 方向である．運動量保存は $- 4 m_{A} + 2 m_{B} = 0$ より $m_{B} = 2 m_{A}$ ．両者の $y$ 成分が変わらないことも法線力積の仮定と合う．

$m_{A} = m$ と置くと，重心速度は $V = (1, - 1 / 3)$ ．Aの重心系速度は衝突前 $(2, 4 / 3)$ ，後 $(- 2, 4 / 3)$ で，速さは等しい．速度空間では中心 $V$ ，半径 $\sqrt{52} / 3 m s^{- 1}$ の同じ円上にある．Bの半径はその半分で，重心速度の先端を挟んで常に反対側にある．相対速度は $(3, 2)$ から $(- 3, 2)$ となり，その大きさの2乗はともに13．換算質量 $2 m / 3$ による内部エネルギー $K_{rel} = 13 m / 3 m^{2} s^{- 2}$ は保存し，法線の反発係数も1である．
1速度成分の誤差上限は $2 (0.001) / 0.10 = 0.020 m s^{- 1}$ ．相対速度の各成分では $0.040 m s^{- 1}$ となる．前後それぞれの速さの2乗は，単位 $m^{2} s^{- 2}$ で

{2.96}^{2} + {1.96}^{2} = 12.6032 \leq w^{2} \leq {3.04}^{2} + {2.04}^{2} = 13.4032

という保守的な範囲にある．差の不確かさは最大 $0.8000$ ，公称13の約6.2 %で，1 %の散逸は識別できない．実際にも前後の法線相対速度を $3$ と $- \sqrt{8.87}$ に変え，運動量を保存するよう両円盤へ分配した1 %損失のデータも誤差内で作れる．公称値がエネルギー保存と一致することと，損失が正確に0だと証明することは異なる．

総合演習 2

APhO 2004 第1問（改題） ★★★★☆

宇宙船そのものも揺れる質量計

質量 $m_{0} = 12.0 kg$ の計量台をばねで船体に結び，1方向だけに動かします．ばねの質量と摩擦を無視し，測定時間は軌道周期より十分短いとします．船体の質量 $M$ は，台と試料を含めず，試料搭載の前後で変わりません．地上で船体を固定した空台，軌道上の自由な空台，別の容器から試料を搭載した台で，相対変位の周期 $T_{g}, T_{0}, T_{1}$ を測りました．測定結果を $q = T^{2} / (4 π^{2})$ で整理すると $q_{g} = 0.100 s^{2}$ ， $q_{0} = 0.0800 s^{2}$ ， $q_{1} = 0.133333 s^{2}$ です．

2物体の運動方程式から相対変位の周期を導き，ばね定数，船体質量，試料質量を求めてください．
船体を固定とみなして搭載後の周期だけから試料質量を出すと，どれだけ誤りますか．
$q_{g}$ を正確とし， $q_{0}$ に小さな誤差 $δ q_{0}$ がある場合の船体質量の相対誤差を求め，重い船体での測定の難しさを説明してください．

**［図：船体とばね式計量台］**
問題図．船体と台をばねで結び，相対変位を測ります．

解答を見る

考え方 台の変位だけでなく船体の反動もばねの伸びに寄与する．周期が測る質量は台の質量そのものではなく換算質量である．

自然長からの伸びを $z = x - X - ℓ$ とすれば $m \ddot{x} = - k z$ ， $M \ddot{X} = k z$ ．引いて $\ddot{z} = - k (1 / m + 1 / M) z$ だから $q = M m / [k (M + m)]$ ．固定時は $q_{g} = m_{0} / k$ より $k = 120 N m^{- 1}$ ．空台から

M = \frac{m_{0} q_{0}}{q_{g} - q_{0}} = 48.0 kg, m = \frac{k q_{1} M}{M - k q_{1}} = 24.0 kg

となり，試料は $m - m_{0} = 12.0 kg$ ．周期は順に約 $1.987, 1.777, 2.294 s$ であり，自由な空台の周期が固定時より短いという予想に合う． $k q$ の次元は質量である．

固定と誤認すると $m_{wrong} = k q_{1} = 16.0 kg$ ．試料を $4.0 kg$ と推定し，真値より $8.0 kg$ ，約67 %小さい．
$M = m_{0} q_{0} / (q_{g} - q_{0})$ を微分して

\frac{δ M}{M} ≃ \frac{q_{g}}{q_{0} (q_{g} - q_{0})} δ q_{0} = \frac{q_{g}}{q_{g} - q_{0}} \frac{δ q_{0}}{q_{0}}

を得る．今回の相対誤差の増幅率は5． $M \to \infty$ では $q_{0} \to q_{g}$ となり，ほとんど等しい2量の差を分母にするため増幅率が発散する．台の質量測定には固定近似がよくなる一方，船体の質量測定は難しくなる．

［図：船体の反動と台の振動］

解答図．初期状態は相対変位が最大です．再生すると全重心を固定した逆向きの運動が分かります．

総合演習 3

オリジナル ★★★★☆

最大空気荷重はどの高度で生じるか

観測機が地上で静止した状態から鉛直に，正味加速度 $a = 12 m s^{- 2}$ を一定に保って上昇します． $g = 9.8 m s^{- 2}$ ，密度の測定模型は $ρ (h) = ρ_{0} e^{- h / H}$ ， $ρ_{0} = 1.1 kg m^{- 3}$ ， $H = 6.0 km$ です．抗力は $D = C ρ A v^{2} / 2$ ，正面積 $A = 0.080 m^{2}$ ，係数は $0.50 \leq C \leq 0.70$ とします．排気の機体に対する速さは $u = 2.2 \times 10^{3} m s^{- 1}$ ，初期質量は $160 kg$ です．

抗力が最大になる高度と，そこでの速さ，抗力の範囲を求めてください．抗力に逆らう仕事率が最大になる高度も求めてください．
質量と推力の方程式を立て， $C = 0.60$ について最大抗力の時刻での質量，推力，燃料流量を数値積分で求めてください．
推力上限が $5.2 kN$ なら，地上から最大抗力高度まではこの飛び方が可能であることを，係数の全範囲に対して保証できますか．燃料は少なくとも $60 kg$ 積んでいるとします．

**［図：観測機に働く力］**
問題図．指定された一定加速度の上昇と，推力・重力・抗力の方向を示します．

解答を見る

考え方 まず指定された運動から抗力を求め，その運動を実現する推力を逆算する．最大抗力，最大仕事率，最大推力は同じ条件ではない．

$v^{2} = 2 a h$ より $D = C ρ_{0} A a h e^{- h / H}$ ．微分は $D^{'} = C ρ_{0} A a e^{- h / H} (1 - h / H)$ なので最大は $h = H$ ．そこで $v = \sqrt{2 a H} ≃ 3.8 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ， $D_{max} = C ρ_{0} A a H / e$ は $1.2$ 〜 $1.6 kN$ ． $D v$ は $h^{3 / 2} e^{- h / H}$ に比例し，対数微分 $3 / (2 h) - 1 / H = 0$ から最大高度は $3 H / 2 = 9.0 km$ である． $C = 0.60$ の $h = H$ での $D v$ は $0.53 MW$ ．これは抗力に対する機械的仕事率で，エンジンの全出力ではない．
燃料流量を $q = - \dot{m} > 0$ とすると $F = u q$ ， $m a = F - m g - D$ ．したがって

\dot{m} + \frac{a + g}{u} m = - \frac{D (t)}{u}, D (t) = \frac{C ρ_{0} A a^{2} t^{2}}{2} \exp (- \frac{a t^{2}}{2 H}) .

$b = (a + g) / u$ とおき，積分因子を掛けると

m (t) = e^{- b t} [m_{0} - \frac{1}{u} \int_{0}^{t} e^{b s} D (s) d s] .

$t_{H} = \sqrt{2 H / a} = 31.6 s$ まで積分すると $m = 107.5 kg$ ， $F = (a + g) m + D = 3.74 kN$ ， $q = F / u = 1.70 kg s^{- 1}$ ．質量を初期値のまま入れると推力を過大評価する．

質量は単調に減るので，全区間で $F \leq (a + g) m_{0} + D_{max} (C = 0.70) = 5.12 kN < 5.2 kN$ ．さらに質量式の積分の抗力項は $C$ に比例する． $C = 0.70$ では $m (t_{H}) ≃ 105.9 kg$ で消費量は約 $54.1 kg$ ．燃料も足りる．これは指定区間での十分条件であり，推力が実際に5.12 kNへ達するという意味ではない． $C \to 0$ なら質量式は $m = m_{0} e^{- b t}$ に戻り，抗力の有無による差の符号も正しい．

ポイントこの節のふり返り

速度の変化から質量比を求め，重心系で衝突の内部エネルギーを調べました．
周期から未知量を読むときには，測っている座標と換算質量を対応させます．
運動を指定した逆問題では，必要な推力と燃料が実現可能かも検査します．
測定値への一致と，誤差を含めた結論の確かさを区別してください．