力学の総合演習

鎖と成長する物体の力学

著者：柚木芹香

運動する部分の質量が変わるときには，その部分へ流れ込む運動量も数えます．第3章の運動の記述，第4章の接触力，第5章の質点系，第6章のエネルギー，第7章のばね，第9章の重心と内部運動を組み合わせます．同じ物体でも，選ぶ系の境界によって式の書き方が変わることを確かめてください．

総合演習 7

オリジナル ★★★★☆

積もったロープを拾い上げながら走る台車

水平な滑らかな床に，線密度 $λ$ ，全長 $L$ の柔らかいロープを小さく積み，その一端を質量 $M$ の台車に結びます．台車に初速 $v_{0}$ を与え，その後は外から引きません．進んだ距離 $x$ と同じ長さのロープが水平に伸び，速さ $v$ で台車とともに動きます．拾い上げ境界は固定位置にあり，積まれた部分は直前まで静止し，境界通過は完全非弾性的とします．ロープの伸び，空気抵抗，境界の高さを無視します．

$0 < x < L$ での速さと加速度を求めてください．
台車側の張力 $T_{c}$ と，拾い上げ境界直後の張力 $T_{b}$ を求めてください．なぜ両者は同じでないのですか．
散逸率と距離 $x$ までの散逸量を求めてください． $M = 1.5 kg$ ， $λ = 0.30 kg m^{- 1}$ ， $L = 5.0 m$ ， $v_{0} = 4.0 m s^{- 1}$ の終端直前の値を計算してください．

**［図：台車とロープの拾い上げ境界］**
問題図．静止部分と運動部分を色分けし，二つの張力を区別します．

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考え方 台車だけは一定質量だが，台車と動くロープを合わせた系には静止ロープが入る．張力を求めるには，この二つの系を使い分ける．

外力の水平成分がない全系の運動量は $(M + λ x) v = M v_{0}$ ．従って

v = \frac{M v_{0}}{M + λ x}, a = v \frac{d v}{d x} = - \frac{λ v^{2}}{M + λ x} .

動く系への質量流入 $\dot{m} = λ v$ を用いれば， $(M + λ x) a = - v \dot{m} = - λ v^{2}$ と同じ式になる．

台車単独の式 $M a = - T_{c}$ から $T_{c} = M λ v^{2} / (M + λ x)$ ．境界では毎秒 $λ v$ の質量に速度 $v$ を与えるので $T_{b} = λ v^{2}$ ．運動中のロープの各部分について積分すると $T_{c} - T_{b} = λ x a$ であり，減速するため $T_{c} < T_{b}$ となる．台車に $- T_{b}$ を直接代入すると，ロープ自身の運動量変化を落としてしまう．
$K = (M + λ x) v^{2} / 2 = M^{2} v_{0}^{2} / [2 (M + λ x)]$ より

- \dot{K} = \frac{1}{2} λ v^{3}, Q (x) = \frac{1}{2} M v_{0}^{2} \frac{λ x}{M + λ x} .

境界で張力が供給する仕事率 $T_{b} v = λ v^{3}$ の半分は新しい部分の運動エネルギー，半分は散逸となる．数値では $x \to L$ で $v = 2.0 m s^{- 1}$ ， $a = - 0.40 m s^{- 2}$ ， $T_{b} = 1.2 N$ ， $T_{c} = 0.60 N$ ， $Q = 6.0 J$ ，散逸率 $1.2 W$ ． $λ \to 0$ では速度一定，張力と散逸は0になる．最後の端が入った後は流入が止まり，全体が等速運動する．

総合演習 8

オリジナル ★★★★☆

鎖は案内輪からいつ浮くか

線密度 $λ$ の鎖を半径 $R$ の滑らかな半円形案内面に掛けます．案内面は固定され，鎖との接線方向の摩擦はありません．左右の鉛直部分の長さは $L - x$ ， $L + x$ ，円弧部分は長さ $π R$ です．初め $x = x_{0} > 0$ で静止させ，右側が下がるように放します．鎖は伸びず，曲げの剛性は無視します． $g = 9.8 m s^{- 2}$ ， $L = 2.0 m$ ， $R = 0.030 m$ ， $x_{0} = 0.10 m$ とします．

接触が保たれる間の加速度 $a = \ddot{x}$ ，速さ $v = \dot{x}$ ，時刻と $x$ の関係を求めてください．
頂上の張力と単位長さ当たりの抗力を求め，初めて浮く位置と時刻を計算してください．頂上以外が先に浮かないかも検査してください．
左端が案内面に届く前に浮くことを確認し，円弧の質量を無視する近似の誤差を見積もってください．

**［図：有限半径の案内面に掛けた鎖］**
問題図．円弧部分の長さと質量も残す模型です．鎖が離れる場所は示していません．

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考え方 鎖全体の仕事から速さを出し，局所的な向心加速度から接触力を出す．円弧の質量を残すと，頂上が最初に離れるかを直接確かめられる．

円弧部分の位置エネルギーは配置が同じなら変わらない．鉛直部分のエネルギーは，案内面の左右の端を高さ0として $U = - λ g [(L - x)^{2} + (L + x)^{2}] / 2$ ．全質量は $λ (2 L + π R)$ ． $B = L + π R / 2$ と置くと，エネルギー保存から

v^{2} = \frac{g}{B} (x^{2} - x_{0}^{2}), a = \frac{g x}{B}, x = \frac{x_{0}}{2} (e^{\sqrt{g / B} t} + e^{- \sqrt{g / B} t}) .

最後の式は $\ddot{x} = (g / B) x$ ， $\dot{x} (0) = 0$ の解である．

右の鉛直部では $λ (L + x) a = λ (L + x) g - T_{R}$ より $T_{R} = λ (L + x) (g - a)$ ．頂上から右側へ測る角を $ϕ$ とすると，円弧の接線方向の式は $\frac{d T}{d ϕ} = λ R (a - g \sin ϕ)$ ．従って

T (ϕ) = T_{0} + λ R [a ϕ + g (\cos ϕ - 1)] .

$ϕ = π / 2$ で $T = T_{R}$ を使うと $T_{0} = λ [g (L + R) - a x]$ ．外向きの単位長さ当たり抗力を $n (ϕ)$ とすれば $λ v^{2} / R = T / R + λ g \cos ϕ - n$ だから，

\frac{n (ϕ)}{λ} = \frac{g L - a x - v^{2}}{R} + a ϕ + 2 g \cos ϕ .

この式は $- π / 2 \leq ϕ \leq π / 2$ で2階微分が $- 2 g \cos ϕ \leq 0$ ．したがって最小値は端点にあり， $a > 0$ なので左端 $ϕ = - π / 2$ が先に0になる．頂上だけを調べると誤る．左端の条件は

v^{2} = (L - x) (g + a), 2 x^{2} + \frac{π R}{2} x - B L - x_{0}^{2} = 0 .

正の根は $x_{*} ≃ 1.421 m$ ， $v_{*} ≃ 3.10 m s^{- 1}$ ， $t_{*} ≃ 1.529 s$ ．この瞬間にも頂上の抗力は $n (0) / λ = 2 g + π a / 2 > 0$ である．頂上の式だけを形式的に0とした値 $x ≃ 1.454 m$ は，既に失われた接触を仮定して延長した値であり，実際の最初の離脱ではない．

$x_{*} < L$ なので，左側にはまだ約 $0.579 m$ 残っている．円弧を無視する $R / L \to 0$ の主要項では $x_{*} \to \sqrt{(L^{2} + x_{0}^{2}) / 2} = 1.416 m$ ，相対差は約0.3 %．円弧質量は鉛直部質量の $π R / (2 L) ≃ 2.4$ %で，加速度などの係数の補正もこの程度である．小さい案内輪を点として扱う近似は離脱位置の主要項にはよいが，有限の輪のどこが最初に浮くかまでは決めない．この違いが深めるべき点である．

総合演習 9

オリジナル ★★★★☆

下端が止まったまま縮むばね

質量 $M$ ，全体のばね定数 $k$ の一様な柔らかいばねを鉛直につり下げます．自然長と縮み切った長さを無視します．上端から数えた質量の割合を $s (0 \leq s \leq 1)$ とし，微小区間 $d s$ のばね定数を $k / d s$ とします．静止時の全長を $ℓ$ とします．上端を解放すると，下端がその場に止まったまま上から収縮し，時刻 $t_{c}$ に全体が初めの下端へ集まることを観察事実として与えます．収縮中の波の伝わり方は問わず，外力は重力だけとします．

初めの位置分布， $ℓ$ ，重心位置，弾性エネルギーを求めてください．
$t_{c}$ と収縮直後の重心速度を求めてください．
収縮直後を内部の運動が止まった小さな塊とする模型で，失われた機械的エネルギーを求めてください． $M = 0.30 kg$ ， $k = 1.5 N m^{- 1}$ の数値を示し，全エネルギーを並進運動へ移す計算と比較してください．

**［図：重さで不均一に伸びたばね］**
問題図．静止時のばねは上ほど大きく伸びています．下端が止まることは問題の観察条件です．

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考え方 収縮中の形を知らなくても，全重心は自由落下する．観察された集合位置と重心の運動を合わせれば，時刻と並進エネルギーが決まる．

上端を原点に下向きを $y$ とする．区間 $s$ の張力は下につるされた質量の重さ $T = M g (1 - s)$ ．区間の伸びは $d y = T d s / k$ だから

y (s) = \frac{M g}{k} (s - \frac{s^{2}}{2}), ℓ = \frac{M g}{2 k}, y_{G} = \int_{0}^{1} y (s) d s = \frac{2 ℓ}{3} .

弾性エネルギーは各区間の $T^{2} / (2 k / d s)$ を足して $U_{s} = M^{2} g^{2} / (6 k) = M g ℓ / 3$ ．全長に一律の張力を掛ける計算ではない．

$y_{G} (t) = 2 ℓ / 3 + g t^{2} / 2$ ．全体が $y = ℓ$ に集まるとき重心もそこにあるため

t_{c} = \sqrt{\frac{2 ℓ}{3 g}} = \sqrt{\frac{M}{3 k}}, V_{c} = g t_{c} = \sqrt{\frac{2 g ℓ}{3}} .

重心の運動方程式には内部のばね力が現れない．

重力によって解放されるエネルギーは $M g (ℓ - 2 ℓ / 3) = M g ℓ / 3$ ．初めの弾性エネルギーを足すと $2 M g ℓ / 3$ だが，重心の並進エネルギーは $M V_{c}^{2} / 2 = M g ℓ / 3$ にすぎない．差の

Q = \frac{M g ℓ}{3}

は，塊模型では散逸し，実物で内部振動が残ればその分も含む．数値は $ℓ = 0.98 m$ ， $t_{c} = 0.258 s$ ， $V_{c} = 2.53 m s^{- 1}$ ， $Q = 0.960 J$ ．全エネルギーを並進に入れると速さが $\sqrt{2} V_{c}$ となり，外力だけで決まる重心の運動と矛盾する． $k \to \infty$ では長さと収縮時刻，放出エネルギーはいずれも0へ向かい，次元も $M / k$ が時間の2乗となる．

［図：収縮中の重心の自由落下］

解答図．初めの重心は全長の3分の2の位置です．再生では重心だけを動かし，未知の収縮前線は描きません．

ポイントこの節のふり返り

運動量流入のある系では，質量一定の運動方程式をそのまま使えません．
張力は位置によって異なり，局所的な向心加速度が接触喪失を決めます．
小さな円弧を無視する近似と，有限の円弧上の離脱位置の判定を区別しました．
重心の運動と全エネルギーの収支を併用すると，内部運動や散逸に残る量が分かります．