力学の総合演習

回転・摩擦・振動をつなぐ

著者：柚木芹香

摩擦があるから必ず減衰するとは限らず，駆動装置からエネルギーを受け取る場合もあります．第4章の力と摩擦，第6章の仕事，第7章の振動，第8章の剛体，第9章の内部運動，第11章の回転する座標系を使い，接点の速度と仕事の供給源を確かめます．

総合演習 13

オリジナル ★★★★★

二つの回転ローラーと梁の滑り・固着

水平な一様の梁を，中心の水平座標が $- d, + d$ の2個の駆動ローラーで支えます．両ローラーの半径は等しく，上面の速度は左が右向き $U_{1}$ ，右が左向き $U_{2}$ です．梁の重心座標を $x$ ，質量を $m$ とし，梁は水平を保ちます．梁の半長は $1.0 m$ ， $d = 0.50 m$ ， $U_{1} = 0.20 m s^{- 1}$ ， $U_{2} = 0.80 m s^{- 1}$ ，動摩擦係数 $μ^{'} = 0.20$ ，静止摩擦係数 $μ = 0.40$ です． $x (0) = - 0.30 m$ ， $\dot{x} (0) = 0$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ とします．ローラーの回転速度は駆動装置が一定に保ちます．

両抗力と， $- U_{2} < \dot{x} < U_{1}$ の運動を求め，最初にどちらの接点で相対速度が0になるかを計算してください．
そこで固着が可能か判定し，可能なら固着の終了位置と継続時間を求めてください．その直後の運動と，右接点でも固着するかを調べてください．
両側が滑る間と左側が固着する間について，駆動装置の仕事率，散逸率，梁の運動エネルギー変化率を照合してください．

**［図：駆動ローラーに載る梁］**
問題図．接触面の速度を示します．梁は水平を保ち，重心は支持点の間にあります．

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考え方 まず鉛直力とモーメントのつり合いから抗力を出す．摩擦方向は梁の速度そのものではなく，ローラーに対する相対速度で決まる．

$N_{1} + N_{2} = m g$ ， $N_{1} (d + x) = N_{2} (d - x)$ より $N_{1} = m g (d - x) / (2 d)$ ， $N_{2} = m g (d + x) / (2 d)$ ．両側が指定方向に滑る間は $m \ddot{x} = μ^{'} (N_{1} - N_{2}) = - μ^{'} m g x / d$ ． $ω = \sqrt{μ^{'} g / d} = 1.980 s^{- 1}$ ， $A = 0.30 m$ として $x = - A \cos ω t$ ， $\dot{x} = A ω \sin ω t$ ．最大速度の候補 $A ω = 0.594 m s^{- 1}$ が $U_{1}$ より大きいので，先に左で相対速度が0になる．その位置と時刻は

x_{s} = - \sqrt{A^{2} - (U_{1} / ω)^{2}} = - 0.2825 m, t_{s} = \frac{1}{ω} \arcsin \frac{U_{1}}{A ω} = 0.173 s .

左で固着すれば $\dot{x} = U_{1}$ 一定だから，右の滑り摩擦 $- μ^{'} N_{2}$ を打ち消す $f_{1} = μ^{'} N_{2}$ が必要である． $f_{1} \leq μ N_{1}$ は

x \leq x_{r} = d \frac{μ - μ^{'}}{μ + μ^{'}} = 0.1667 m

となり， $x_{s}$ では満たされる．固着時間は $(x_{r} - x_{s}) / U_{1} = 2.246 s$ ．それより右では必要な静止摩擦が上限を超え，梁は $U_{1}$ より遅くなって両側滑りに戻る．新しい単振動は $x = x_{r} \cos ω τ + (U_{1} / ω) \sin ω τ$ で，振幅 $A_{r} = \sqrt{x_{r}^{2} + (U_{1} / ω)^{2}} = 0.1949 m$ ，最大速さ $ω A_{r} = 0.386 m s^{- 1} < U_{2}$ ．右には固着しない．次に右向き速度が $U_{1}$ になるのは $x = - x_{r}$ で，左固着へ戻る．全区間で $| x | < d$ かつ $d + | x | < 1.0 m$ なので抗力は正で，梁は両支持点に載っている．

両側滑りでは駆動から接触を通じて供給される仕事率と散逸率は

P_{drive} = μ^{'} N_{1} U_{1} + μ^{'} N_{2} U_{2}, P_{loss} = μ^{'} N_{1} (U_{1} - \dot{x}) + μ^{'} N_{2} (U_{2} + \dot{x}) .

差は $μ^{'} (N_{1} - N_{2}) \dot{x} = m \ddot{x} \dot{x} = \dot{K}$ である．左固着では $P_{drive} = μ^{'} N_{2} (U_{1} + U_{2})$ ．左での散逸は0，右での散逸は同じ $μ^{'} N_{2} (U_{1} + U_{2})$ なので $\dot{K} = 0$ ．固着中も静止摩擦は地上系で仕事をしている． $μ^{'} \to 0$ で振動角振動数も駆動からの仕事率も0となることが検算になる．

［図：梁の滑りと固着の切替え］

解答図．左へずれた静止状態から始めます．再生で左接点の滑りが止まり，再び滑り始める過程を確認できます．

総合演習 14

オリジナル ★★★★★

回る台の上を転がる球の軌道

水平な円板が鉛直単位ベクトル $e_{z}$ の向きに一定角速度 $Ω > 0$ で回っています．半径 $r$ ，質量 $m$ ，慣性モーメント $I = β m r^{2}$ の球を載せ，点接触で滑らず転がらせます．地上の慣性系で球中心の水平位置を $R$ ，速度を $v$ ，角速度を $ω$ とします．初期値 $R_{0}, v_{0}$ は任意で，水平軸まわりの初回転は滑りなし条件を満たすよう準備します．鉛直軸まわりの初回転は任意です．

接点の速度条件と並進・自転の式から， $v$ の運動方程式を導いてください．
慣性系での軌道を求め，円板と同心の円になる初速度を示してください．その初速度を逆向きにすると円の中心と最大距離はどう変わりますか．
滑らないための摩擦条件と，球の全運動エネルギーの変化を求めてください． $β = 2 / 3$ ， $Ω = 2.0 s^{- 1}$ ， $| R_{0} | = 0.25 m$ の同心円運動で必要な摩擦係数を計算してください．

**［図：回転台と球の初期条件］**
問題図．任意の水平初速度を与えます．初回転は滑りなし条件を満たすよう準備します．

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考え方 接点の速度は0ではなく，その位置の円板の速度に等しい．慣性系で拘束を微分すれば，回転系の見かけの力を個別に計算せず軌道を求められる．

接点の速度条件は $v + r e_{z} \times ω = Ω e_{z} \times R$ ．水平摩擦力を $f$ とすると $m \dot{v} = f$ ， $I \dot{ω} = - r e_{z} \times f$ ．拘束を微分し， $e_{z} \times (e_{z} \times f) = - f$ を使うと

(1 + \frac{1}{β}) \dot{v} = Ω e_{z} \times v, \dot{v} = ν e_{z} \times v, ν = \frac{β}{1 + β} Ω .

鉛直トルクはないので $ω_{z}$ は初期値を保つ．

速度は大きさ一定で角速度 $ν$ で回る．積分すると

R = R_{0} + \frac{\sin ν t}{ν} v_{0} + \frac{1 - \cos ν t}{ν} e_{z} \times v_{0} .

中心は $C = R_{0} + e_{z} \times v_{0} / ν$ ，半径は $| v_{0} | / ν$ ． $v_{0} = 0$ の場合だけは地上で静止する点軌道となる．同心円の条件は $v_{0} = ν e_{z} \times R_{0}$ ．これを逆向きにすると $C = 2 R_{0}$ ，半径 $R_{0}$ ，原点から最大 $3 R_{0}$ まで達する．円板がそれ以上に広いことも必要である．円板系で見る軌道は地上の軌道を角 $- Ω t$ 回したものなので，一般に同じ円ではない．

$| f | = m ν v_{0}$ ， $N = m g$ より $μ \geq ν v_{0} / g$ ．球の全運動エネルギーに対する接触力の仕事率は，接点速度を用いて

\dot{K} = f \cdot (Ω e_{z} \times R) = m ν Ω v \cdot R = \frac{m ν Ω}{2} \frac{d}{d t} R^{2} .

よって $K - m ν Ω R^{2} / 2$ が一定である．並進の速さは一定でも，自転エネルギーは変わりうる．エネルギーの供給源は円板の駆動装置である．数値では $ν = 0.80 s^{- 1}$ ， $v_{0} = 0.20 m s^{- 1}$ ， $μ \geq 0.0163$ ．同心円なら $R$ も一定で，全運動エネルギーは変わらない． $Ω \to 0$ の極限で $\sin ν t / ν \to t$ となり，静止面上の直線等速転がりに戻る．

［図：転がる球を二つの座標系で見る］

解答図．初期位置は台中心の右側です．逆向きの初速度を与えた球の軌道を，地上系と円板系で同期再生します．

総合演習 15

APhO 2007 第1問（改題） ★★★★★

内部ローターを連結すると転がり振動はどう変わるか

鉛直断面が半径 $R$ の円弧の固定した溝を，半径 $r$ の円形の殻が滑らず転がります．中心の軌道半径は $d = R - r$ です．殻の中心に，同軸の自由ローターを組み込みます．全並進質量は $M$ ，殻だけの中心まわりの慣性モーメントは $I_{s}$ ，ローターの慣性モーメントは $J$ です．クラッチ開放時にローターは慣性系で回転せず，連結すると殻と一体になります．ローターの質量は $M$ に含まれています．連結は振動周期より十分短いが有限の時間で行い，その間の姿勢変化と重力の接線力積を無視します．摩擦はこの連結中も転がりを保つのに十分とし，クラッチ以外の損失は無視します．微小振幅のみ扱います．

開放時と連結時の周期を，力とトルクから求めてください．
開放状態で振幅 $α$ の転回点から放し，最下点で短時間に連結します．直後の速度，次の転回点の振幅，失われたエネルギーを求めてください．床からの力積を無視してよいでしょうか．
次の転回点で開放し，同じ操作を繰り返します．半往復を1操作として振幅と所要時間を求めてください． $I_{s} = 0.20 M r^{2}$ ， $J = 0.60 M r^{2}$ ， $d = 0.40 m$ で，振幅が初めの半分以下になる最小操作回数を求めてください．

**［図：内部クラッチをもつ殻］**
問題図．固定した溝の内側を転がる殻と，同軸の内部ローターを示します．

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考え方 連続運動では転がりによる有効な慣性を使う．短時間の連結では接点まわりの角運動量を使い，その後にエネルギーの差を計算する．

中心の接線加速度を $a$ ，上り方向の角を $θ$ とし，接線摩擦を $f$ とする． $M a = - M g \sin θ + f$ ，転がりと殻の回転の式から $I_{s} a / r = - r f$ ．従って $(M + I_{s} / r^{2}) d \ddot{θ} = - M g \sin θ$ ．連結時は $I_{s}$ を $I_{s} + J$ に置き換える．

A = M + \frac{I_{s}}{r^{2}}, B = M + \frac{I_{s} + J}{r^{2}}, T_{o} = 2 π \sqrt{\frac{d A}{M g}}, T_{c} = 2 π \sqrt{\frac{d B}{M g}} .

開放したローターは並進するので，その質量を $M$ から取り除いてはいけない．

最下点直前の中心速度を $v$ とすると $A v^{2} / 2 = M g d α^{2} / 2$ ．瞬間の接点まわりの角運動量は，殻の回転方向を正に取れば直前 $(M r + I_{s} / r) v = A r v$ ，直後 $B r v^{'}$ ．床の力積はこの点まわりにモーメントを持たないので

v^{'} = q v, q = \frac{A}{B}, K^{'} = q K, α^{'} = \sqrt{q} α, Q = (1 - q) \frac{M g d α^{2}}{2} .

中心の運動量変化は $M (v^{'} - v)$ であり，これが床の接線力積である．床からの力積を0とすると $v^{'} = v$ になってしまうため，無視できない．外部からエネルギーを加えるクラッチではなく，内部の相対回転を非弾性的に止めるクラッチを仮定した結果である．なお有限の摩擦係数で連結時間を厳密に0にすることはできない．連結時間を $δ t$ ，静止摩擦係数を $μ$ とすると，微小振幅で $N ≃ M g$ を用いた力積の上限から $δ t \geq (1 - q) v / (μ g)$ が必要となる．この下限を守りながら $δ t$ を周期に比べ十分短くできる範囲の近似である．

転回点では殻もローターも静止しているので，開放しても力積とエネルギー変化はない．従って $n$ 操作後の振幅は $α_{n} = q^{n / 2} α_{0}$ ，エネルギーは $q^{n}$ 倍．各操作は開放の4分の1周期と連結の4分の1周期で， $t_{n} = n (T_{o} + T_{c}) / 4$ ．数値では $q = 2 / 3$ ， $T_{o} = 1.391 s$ ， $T_{c} = 1.703 s$ ． $(2 / 3)^{n / 2} \leq 1 / 2$ から $n \geq 3.419$ ，最小4操作，時間約 $3.09 s$ となる． $J \to 0$ なら $q \to 1$ ，周期差も損失も消える．

［図：クラッチ連結による振幅の変化］

解答図．開放状態の転回点から始めます．下降と上昇を別々の位相で再生し，連結後に小さい振幅へ到達します．

ポイントこの節のふり返り

摩擦方向と固着の可否は，各接点の相対速度と静止摩擦の上限で決まります．
駆動面との接触では，滑りがなくても物体へ仕事が供給されます．
並進の速さが一定でも，自転エネルギーまで一定とは限りません．
内部状態を瞬時に変えるときには，床の力積を含めた角運動量と損失を別々に調べます．