気体の圧力と分子の運動の演習 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

壁間の距離 $L$ の容器で，質量 $m$ の分子が静止壁と弾性衝突します．入射速度は $(u, 2 u, 0)$ です．

右の壁への力積，往復時間，平均の力を求めてください．
$v_{x} = - 2 u, - u, u, 2 u$ の割合が順に $1 / 3, 1 / 6, 1 / 6, 1 / 3$ の集団の平均，分散，圧力を求めてください．数密度は $n = N / V$ ，分子間衝突を無視します．

**［図：速度成分 u，2u で入射する分子］**
x 方向の壁間距離は L である．右の静止した滑らかな壁へ，速度成分が (u，2u，0) の分子が斜めに入射して弾性反射する．青い成分矢印の長さは u と 2u の比を表す．

**［図：4群の分子と速度の割合］**
速度の x 成分が −2u，−u，u，2u の4群を示す．丸の個数比 4：2：2：4 は表の割合 1/3，1/6，1/6，1/3 に対応する．速さ 2u の矢印は速さ u の矢印の2倍の長さである．

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垂直成分だけが反転するので力積は $2 m u$ ，往復時間は $2 L / u$ ，平均の力は $m u^{2} / L$ ．
$⟨ v_{x} ⟩ = 0$ ，2乗平均は $3 u^{2}$ ．分散も $3 u^{2}$ ，圧力は $p_{x} = 3 n m u^{2}$ ．平均0でも圧力は残る．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

固い密閉容器の単原子気体は，初め $280 K$ ， $8.0 \times 10^{4} Pa$ ，密度 $1.2 kg m^{- 3}$ でした．加熱後は $1.4 \times 10^{5} Pa$ です．

加熱後の温度を求め，この容器を温度計にする校正の手順を述べてください．
$p = ρ v_{rms}^{2} / 3$ を示し，前後の根二乗平均速さと内部エネルギーの倍率を求めてください．

**［図：密閉容器の加熱前後］**
変形しない密閉容器を加熱する．初めは T = 280 K，p = 8.0 × 10⁴ Pa，質量密度 ρ = 1.2 kg m⁻³ である．加熱後は p = 1.4 × 10⁵ Pa で，温度は未知である．体積 V と分子数 N は一定に保たれる．

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$p / T$ は一定なので $T = 280 \times 1.4 / 0.80 = 490 K$ ．圧力を定点で校正し，対象との熱平衡を待つ．第零法則が温度の比較を保証する．絶対温度は希薄気体温度計の極限で一致する目盛りである．
等方的な運動では $p = n m ⟨ v^{2} ⟩ / 3$ ， $n m = ρ$ より求める式となる． $v_{rms} = \sqrt{3 p / ρ}$ は前後で $4.5 \times 10^{2}, 5.9 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ． $U = 3 N k_{B} T / 2$ は $7 / 4$ 倍．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

体積 $V$ ，温度 $T$ の単原子混合気体で，Aの分子質量と個数は $m, 2 N_{0}$ ，Bは $4 m, N_{0}$ です．

分圧，全圧，1分子の平均エネルギーと根二乗平均速さの比を求めてください．
面積 $S$ の小孔を真空へ開きます．平均の速さをAは $2 c$ ，Bは $c$ と与え，流出率は $S n_{i} ⟨ v_{i} ⟩ / 4$ とします．温度一定で内部は一様です．直後の流出数の比とBの分圧の半減時間を求めてください．

**［図：熱平衡にある混合気体 A，B］**
体積 V の容器で A と B が共通の温度 T にある．緑の丸 A は質量 m，個数 2N，薄色の丸 B は質量 4m，個数 N を表す．図でも A の丸を B の2倍の個数にする．

**［図：一定温度の容器から小孔を通る流出］**
温度 T を一定に保った体積 V の容器の壁に，面積 S の小孔がある．分子は真空側へ流出し，容器内は常に一様である．初めの圧力は p₀ で，分子数の減少に伴い孔へ届く個数も減る．

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$p_{A} = 2 p_{B}$ ， $p_{B} = N_{0} k_{B} T / V$ ，全圧は $3 p_{B}$ ．平均エネルギーは共に $3 k_{B} T / 2$ なので比は $1 : 1$ ，根二乗平均速さの比は $2 : 1$ ．
流出数は個数×平均の速さから $4 : 1$ ． $\frac{d N_{B}}{d t} = - S c N_{B} / (4 V)$ より $N_{B} = N_{0} e^{- S c t / (4 V)}$ ．分圧も同じ比で減り，半減時間は $4 V \ln 2 / (S c)$ ．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

鉛直シリンダーの断面積は $A = 0.010 m^{2}$ ，ピストンの質量は $M_{p} = 10 kg$ です．摩擦なし，外気圧100 kPa，重力加速度10 m s⁻²とし，外気圧を $p_{0}$ とします．下側ストッパーで体積は $V_{0}$ ，上側で $1.5 V_{0}$ となります．初めは $300 K$ ， $1.2 p_{0}$ で，20 kgのおもりを載せ，下側に止まっています．

載せたまま加熱すると動き始める温度はいくらですか．
初期状態でおもりを外し，300 Kでの体積，続く加熱で上側に達する温度と450 Kでの圧力を求めてください．

**［図：おもりと上下のストッパー］**
初めはおもりを載せて下側ストッパーに接触する．おもりを外すとピストンは動き，上側のストッパーが膨張の上限を決める．

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自由なつり合い圧力は $p_{L} = p_{0} + (M_{p} + 20) g / A = 1.3 p_{0}$ ．定積で圧力がここまで増すと，下側の接触力が0になる． $300 \times 1.3 / 1.2 = 325 K$ を超すと上へ動く．
外すと上向きの力が勝つ．温度が戻ると圧力は $p_{0} + M_{p} g / A = 1.1 p_{0}$ ，等温の状態比較から $V = 12 V_{0} / 11$ ．続く等圧膨張で上側に達する温度は $300 \times 1.5 \times 11 / 12 = 412.5 K$ ．以後は定積で，450 Kでは $p = 1.1 p_{0} (450 / 412.5) = 1.2 p_{0}$ ．ストッパーの力が加わるため，自由なつり合い式は使えない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

一端を閉じた一様断面の管に長さ $h = 15 cm$ の水銀柱で気体を閉じ込めます．開口を上にすると気体の長さは $ℓ_{0} = 20 cm$ でした．大気圧は $p_{0} = ρ g H$ ， $H = 75 cm$ です．等温とし，毛管現象と気体の重さを無視します．

水平から30度傾け開口を高くしたとき，(2) 鉛直の上下を逆にしたときの気体の長さを求めてください．管の全長50 cmで，水銀は全て残りますか．

**［図：管の傾斜と水銀柱の高さ］**
左は開口が上，中央は水平から30度，右は開口が下である．液柱の管に沿った長さhは変わらず，圧力差に入る鉛直高さと気体の長さℓが変わる．

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圧力差には鉛直の高さを使う．初めは $p_{1} = ρ g (H + h)$ ．

$p_{2} = ρ g (H + h \sin 30^{\circ})$ ．等温条件 $p_{1} ℓ_{0} = p_{2} ℓ$ より $ℓ = 90 \times 20 / 82.5 = 21.8 cm$ ．
気体が上なので $p_{3} = ρ g (H - h)$ ， $ℓ = 90 \times 20 / 60 = 30 cm$ ．気体と水銀の長さの和45 cmなので管内に残る．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

密閉ヘリウム気球の膜の圧力差は2000 Pa一定です．外気圧100 kPa，外気密度1.20 kg m⁻³，膜と荷物11.0 kgとします．初めの体積10.0 m³，内部温度300 Kとし，モル質量0.0040 kg mol⁻¹，気体定数8.31 J mol⁻¹ K⁻¹，重力加速度9.8 m s⁻² を使います．内部は一様，外気の状態は一定です．

内部の物質量と密度，浮上の可否を求めてください．
気体を逃がさず温めたとき，浮上の境目の温度と330 Kでの上向き合力を求めてください．

**［図：密閉気球の圧力と浮力］**
内圧は外気圧と与えられた膜の圧力差の和．上向きの浮力には外気密度を，下向きの重力には内部気体・膜・荷物の質量を使う．

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内圧102 kPaより $ν = p V / (R T) = 409 mol$ ．気体は1.64 kg，密度0.164 kg m⁻³．浮力は外気12.0 kgの重さに等しいが，全質量12.64 kgを支えられない．
内圧と物質量一定より $V = 10.0 T / 300$ ．境目は $1.20 V = 12.64$ なので $T \approx 316 K$ ．330 Kでは体積11.0 m³，合力は $(13.2 - 12.64) g \approx 5.5 N$ で上向き．一定圧力差の膜模型で，気体の質量は一定である．