熱と分子の総合問題（2） | 問いから始める物理

総合演習 33

オリジナル ★★★★☆

引くと冷える線の弾性と損失

金属線の長さを $ℓ$ ，引張力を $F$ ，温度を $T$ とし，弾性範囲の自由エネルギーを

G (T, F) = G_{0} (T) - F ℓ_{0} [1 + α (T - T_{0})] - \frac{F^{2}}{2 K}, d G = - S d T - ℓ d F

とします． $S$ はエントロピー， $K$ は等温の弾性係数， $C = - T \frac{d^{2} G_{0}}{d T^{2}}$ は一定の熱容量です．一様な温度・応力で， $ℓ_{0} = 0.50 m$ ， $K = 5.6 \times 10^{4} N m^{- 1}$ ， $C = 0.48 J K^{- 1}$ ， $α = 2.4 \times 10^{- 5} K^{- 1}$ ， $T_{0} = 300 K$ とします．

**［図：金属線の引張りと熱源］**
長さℓの金属線を右向きの力Fで引く．温度計は線の温度Tを示す．小問（3）では温度T₀の熱源から線への熱流を−Hθとし，θ＝T−T₀である．

$ℓ (T, F)$ と $d S$ を導き， $F = 0, T = T_{0}$ から可逆断熱で $F_{1} = 20 N$ まで引いたときの温度変化と伸びを求めよ．
$T_{0}$ で予張力をかけた平衡のまわりの等温・断熱の微小な弾性係数を求めよ． $χ = K α^{2} ℓ_{0}^{2} T_{0} / C$ で正の断熱弾性係数をもつ条件を示せ．
熱源 $T_{0}$ からの熱流を $- H θ$ （ $H > 0$ ， $θ = T - T_{0}$ ）とし，伸びの変動を $x = Re (X e^{i ω t})$ とする．力の複素振幅 $\hat{F}$ と $X$ の比を求め，振幅一定で1周期の損失が最大になる $ω$ を求めよ．予張力を上回る変動と線の慣性は除く．

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考え方

自由エネルギーの模型から熱膨張と弾性を連立する．

$a = α ℓ_{0}$ とおく．微分して

ℓ = ℓ_{0} + a (T - T_{0}) + \frac{F}{K}, S = - \frac{d G_{0}}{d T} + a F, d S = \frac{C}{T} d T + a d F .

$d S = 0$ を積分して， $C \ln (T_{f} / T_{0}) + a F_{1} = 0$ ．よって $T_{f} = T_{0} e^{- a F_{1} / C}$ ，伸びは $F_{1} / K + a (T_{f} - T_{0})$ である． $a F_{1} / C = 5.0 \times 10^{- 4}$ より， $Δ T = - 0.15 K$ ，伸びは $3.6 \times 10^{- 4} m$ ．

$d ℓ = a d T + d F / K$ より，等温では係数は $K$ ．断熱では $d T = - a T_{0} d F / C$ を代入して

d ℓ = \frac{1 - χ}{K} d F, K_{S} = \frac{K}{1 - χ} .

$0 \leq χ < 1$ が必要である．

変動を $f$ と書くと $f = K (x - a θ)$ ．熱収支は $T_{0} \frac{d S}{d t} = - H θ$ だから

C \frac{d θ}{d t} + a T_{0} \frac{d f}{d t} = - H θ .

$θ = Re (Θ e^{i ω t})$ として， $[H + i ω C (1 - χ)] Θ = - i ω a T_{0} K X$ ．消去すると

\frac{\hat{F}}{X} = K \frac{H + i ω C}{H + i ω C (1 - χ)} .

周期平均は $\overset{―}{f \frac{d x}{d t}} = (ω / 2) Im (\hat{F} X^{*})$ ．周期 $2 π / ω$ を掛けて

W_{loss} = π {| X |}^{2} \frac{K χ ω C H}{H^{2} + ω^{2} C^{2} (1 - χ)^{2}} .

$z = ω C (1 - χ) / H$ とおくと $z / (1 + z^{2})$ が $z = 1$ で最大となり， $ω_{*} = H / [C (1 - χ)]$ ， $W_{max} = π K χ {| X |}^{2} / [2 (1 - χ)]$ ．両周波数極限で等温・断熱に戻り，損失は0になる． $| θ | / T_{0}$ ， $| x | / ℓ_{0}$ が十分小さく，音の伝播・温度一様化の時間が $1 / ω$ より短い範囲で使う．

総合演習 34

オリジナル ★★★★☆

液面の記録から見えないすき間を測る

断面積 $A$ の容器から大液槽へ，液体が幅 $b$ ，高さ $δ$ ，長さ $d$ の水平なすき間を流れます．両口は水没し，液面差 $h$ による圧力差は $Δ p = ρ g h$ です．両液面は大気に開き，液槽の液面は一定です．粘性率 $η$ 一定の層流で，入口の影響を無視します．壁面の流速は0，せん断応力は $η \frac{d v}{d z}$ です． $z$ は中央から高さ方向に測ります．

$A = 1.0 \times 10^{- 4} m^{2}$ ， $b = 3.0 \times 10^{- 2} m$ ， $d = 2.0 \times 10^{- 2} m$ ， $ρ = 1.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ， $η = 2.0 \times 10^{- 2} Pa s$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ とします．

$t$	$h$
$0 s$	$0.200 m$
$60 s$	$0.100 m$
$120 s$	$0.050 m$

**［図：液面差と水没したすき間流路］**
断面積Aの容器と液面一定の大液槽を，両口が水没した水平流路でつなぐ．両液面は大気に開き，液面差はhである．拡大した流路断面に幅b，高さδと，中央を原点とする高さ方向の座標zを示す．流路の長さはdである．

薄い流体層のつり合いから $v (z)$ と体積流量 $q$ を導け．
$h (t)$ を求め，表から $δ$ を推定せよ．液面差の誤差 $0.001 m$ だけを考え，両端の値による推定の相対誤差上限も1次で求めよ．
液面差が4分の1になるまでの散逸を求めよ．すき間の高さを半分にした場合の所要時間と総散逸も比べよ．瞬時に流速分布が整う近似も検算せよ．

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考え方

定常流を仮定し，圧力仕事と体積保存を使う．

厚さ $d z$ の層の力のつり合いより $η \frac{d^{2} v}{d z^{2}} = - Δ p / d$ ．中央で $\frac{d v}{d z} = 0$ ，両壁で $v = 0$ より

v (z) = \frac{Δ p}{2 η d} (\frac{δ^{2}}{4} - z^{2}), q = b \int_{- δ / 2}^{δ / 2} v (z) d z = \frac{b δ^{3} ρ g h}{12 η d} .

$A \frac{d h}{d t} = - q$ より $h = h_{0} e^{- t / τ}$ ， $τ = 12 η d A / (b δ^{3} ρ g)$ ． $\ln h$ と $t$ は直線で，中間点も一致する． $τ = 120 s / \ln 4 = 86.6 s$ なので

δ = {(\frac{12 η d A}{b ρ g τ})}^{1 / 3} ≃ 2.7 \times 10^{- 4} m .

対数比の誤差は両端の相対誤差の和以下． $τ$ の相対誤差上限は $(0.001 / 0.200 + 0.001 / 0.050) / \ln 4 = 0.018$ ， $δ$ は3分の1の $0.0060$ である．

散逸率は圧力仕事率 $P = Δ p q = - ρ g A h \frac{d h}{d t}$ である．積分して

E_{loss} = \frac{ρ g A}{2} (h_{0}^{2} - h_{f}^{2}) = 1.8 \times 10^{- 2} J .

半分のすき間では $τ$ と時間は8倍だが，総散逸は同じ位置エネルギー差となる．速度分布が整う時間は $ρ δ^{2} / η$ 程度で， $ρ δ^{2} / (η τ) = 4.1 \times 10^{- 5}$ ．初期の平均流速 $q / (b δ) = 0.029 m s^{- 1}$ から $ρ \bar{v} δ / η = 0.39$ ， $δ / d = 0.013$ であり，層流の近似と整合する．運動エネルギーと圧力仕事の比は ${\bar{v}}^{2} / (2 g h_{0}) = 2.1 \times 10^{- 4}$ 程度で小さい．

総合演習 35

オリジナル ★★★★★

分子の中が温まると音が遅くなる

剛体の断熱容器に2原子分子の理想気体を $ν = 0.010 mol$ 入れます．並進・回転の熱容量は $5 ν R / 2$ です．各分子の振動準位は $E_{j} = (j + 1 / 2) k_{B} Θ$ （ $j = 0, 1, \dots$ ， $Θ = 600 K$ ）で，振動の温度 $T_{v}$ における確率は $P_{j} = (1 - q) q^{j}$ ， $q = e^{- Θ / T_{v}}$ です．初め $T_{0} = 150 K$ で平衡にあり，短い加熱で並進・回転だけを $T_{1} = 900 K$ にします．以後，熱・仕事の出入りなしに振動へエネルギーが移ります．解離・電子励起は無視します．

$R = 8.31 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ ， $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J K^{- 1}$ を使います．振動のエントロピーは $S_{v} = - ν R \sum_{j} P_{j} \ln P_{j}$ で計算します．

**［図：加熱直後の分子運動と振動準位］**
初めはT₀＝150 Kで平衡にあり，短い加熱で並進・回転だけをT₁＝900 Kにする．加熱直後の振動温度はTᵥ＝T₀で，以後は断熱容器内で振動へエネルギーが移る．振動準位Eⱼ＝（j＋1/2）k_BΘは等間隔で，Θ＝600 Kである．

$U_{v} (T_{v})$ と $S_{v} (T_{v})$ を求めよ．零点エネルギーを除いて表せ．
終温度 $T_{f}$ を求めよ．加熱直後から平衡までのエントロピー増加を求め，エントロピー最大となる理由も示せ．
平衡後の音の周期に比べ，振動緩和が遅い場合と速い場合の音速比を求めよ． $v^{2} = γ R T_{f} / M_{mol}$ ， $γ = 1 + R / C_{V}$ を使い， $C_{V}$ はモル定積熱容量， $M_{mol}$ はモル質量とする．

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考え方

緩和前は二つの集団に別々の温度を割り当て，準位の確率から熱容量を出す．

等比級数を微分すると $\sum_{j} j q^{j} = q / (1 - q)^{2}$ なので， $\bar{j} = q / (1 - q) = 1 / (e^{Θ / T_{v}} - 1)$ ．零点エネルギーを除いて

U_{v} = \frac{ν R Θ}{e^{Θ / T_{v}} - 1}, \frac{S_{v}}{ν R} = - \ln (1 - q) - \bar{j} \ln q = \frac{Θ / T_{v}}{e^{Θ / T_{v}} - 1} - \ln (1 - e^{- Θ / T_{v}}) .

$T_{v} \to 0$ で両者は0，高温では $U_{v} ≃ ν R T_{v}$ に近づく．

定積・断熱のエネルギー保存より

\frac{5}{2} T_{f} + \frac{Θ}{e^{Θ / T_{f}} - 1} = \frac{5}{2} T_{1} + \frac{Θ}{e^{Θ / T_{0}} - 1} .

左辺は単調増加し， $T_{0} < T_{f} < T_{1}$ に唯一の根をもつ．二分法で $T_{f} = 720 K$ ． $s (T) = S_{v} (T) / (ν R)$ とおくと

Δ S = ν R [\frac{5}{2} \ln \frac{T_{f}}{T_{1}} + s (T_{f}) - s (T_{0})] = 4.7 \times 10^{- 2} J K^{- 1} .

並進・回転の温度を $T_{e}$ ，振動への移動を $d E$ とすると $d S = (1 / T_{v} - 1 / T_{e}) d E$ ．両熱容量は正だから係数は移動とともに減り，共通温度で0となって最大を与える．

$x = Θ / T_{f}$ とおき，微分すると

C_{V v} = R \frac{x^{2} e^{x}}{(e^{x} - 1)^{2}} = 0.944 R .

速い音を $h$ ，遅い音を $l$ とする．速い音では占有数が固定され， $C_{V, h} = 5 R / 2$ ， $γ_{h} = 7 / 5$ ．遅い音では $C_{V, l} = 5 R / 2 + C_{V v}$ ， $γ_{l} = 1.290$ なので

\frac{v_{h}}{v_{l}} = \sqrt{\frac{1.400}{1.290}} = 1.042 .

$1 ≫ | δ p | / p$ ， $1 ≫ ω τ_{c}$ （衝突時間 $τ_{c}$ ）が必要である．音の角振動数を $ω$ ，振動緩和時間を $τ_{v}$ とすると $ω τ_{v} ≫ 1$ と $1 ≫ ω τ_{v}$ が各極限の条件で，中間では減衰も伴う．

総合演習 36

オリジナル ★★★★★

蒸気圧の温度調節器は振動しても安定か

液体と飽和蒸気を封じたじゃばらが冷却弁を開きます．有効面積は $A$ ，外圧は $p_{e}$ ，変位 $x \geq 0$ に対する閉じる力は $F_{0} + κ x$ です．共存時のモルギブズエネルギーは両相で等しく， $d g = - s d T + w d p$ ，蒸発時の $s_{v} - s_{l} = L / T$ を使えます．蒸気は理想気体，液体体積は無視でき，モル蒸発熱 $L$ は一定です． $T_{r} = 340 K$ ， $p_{r} = 1.00 \times 10^{5} Pa$ です．

$L = 3.20 \times 10^{4} J {mol}^{- 1}$ ， $R = 8.31 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ ， $A = 4.0 \times 10^{- 4} m^{2}$ ， $p_{e} = p_{r}$ ， $F_{0} = 12 N$ ， $κ = 3.0 \times 10^{3} N m^{- 1}$ とします．

**［図：じゃばらで開く冷却弁］**
温度Tの物体内に液体と飽和蒸気を封じたじゃばらを置く．有効面積Aの端面が正の変位xで冷却弁を開き，外圧pₑと閉じる力F₀＋κxを受ける．入力はP，周囲への熱流はH（T−Tₐ），弁による冷却はBxで，Tₐ＝300 Kである．

飽和圧 $p_{s} (T)$ ，開き始めの温度， $T_{*} = 360 K$ の平衡変位 $x_{*}$ を求めよ．
装置の温度は $C \frac{d T}{d t} = P - H (T - T_{a}) - B x$ に従うとします． $C = 200 J K^{- 1}$ ， $H = 4.0 W K^{- 1}$ ， $B = 4.0 \times 10^{3} W m^{- 1}$ ， $T_{a} = 300 K$ です．定常温度 $T_{*}$ の電力と，瞬時に動く弁による減衰時間を求めよ．
弁の摩擦による遅れを $τ \frac{d x}{d t} + x = x_{eq} (T)$ とします． $x_{eq}$ は(1)の平衡変位， $τ > 0$ です．振動を伴う $τ$ の範囲と，振動が成長する可能性を調べよ．機械的仕事・摩擦熱は無視し， $C$ は相変化も含む局所的な有効熱容量です．

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考え方

両相の平衡を仮定し，温度と変位を連立する．

共存曲線で $d g_{v} = d g_{l}$ なので， $(w_{v} - w_{l}) d p = (s_{v} - s_{l}) d T$ ． $w_{v} = R T / p$ を代入すると

\frac{d p_{s}}{p_{s}} = \frac{L}{R T^{2}} d T, p_{s} = p_{r} \exp [\frac{L}{R} (\frac{1}{T_{r}} - \frac{1}{T})] .

開き始めに $A (p_{s} - p_{e}) = F_{0}$ である．よって

T_{on} = {[\frac{1}{T_{r}} - \frac{R}{L} \ln \frac{p_{e} + F_{0} / A}{p_{r}}]}^{- 1} = 348 K .

開放時は $x_{eq} = [A (p_{s} - p_{e}) - F_{0}] / κ$ ． $p_{s} (T_{*}) = 1.876 \times 10^{5} Pa$ ， $x_{*} = 7.7 \times 10^{- 3} m$ となる．

定常収支より $P = H (T_{*} - T_{a}) + B x_{*} = 2.7 \times 10^{2} W$ ．平衡での $D = \frac{d x_{eq}}{d T}$ は

D = \frac{A p_{s} (T_{*}) L}{κ R T_{*}^{2}} = 7.43 \times 10^{- 4} m K^{- 1} .

$θ = T - T_{*}$ ， $ξ = x - x_{*}$ として，瞬時には $ξ = D θ$ ．よって $C \frac{d θ}{d t} = - (H + B D) θ$ ，減衰時間は $C / (H + B D) = 29 s$ ．

線形化で $C \frac{d θ}{d t} = - H θ - B ξ$ ， $τ \frac{d ξ}{d t} = D θ - ξ$ ． $e^{λ t}$ に比例する解を代入し，消去すると

λ^{2} + (\frac{H}{C} + \frac{1}{τ}) λ + \frac{H + B D}{C τ} = 0.

$r = B D / H$ ， $u = H τ / C$ とすると，判別式が負になる条件は $(u + 1)^{2} < 4 (1 + r) u$ ．境界は $u_{\pm} = {(\sqrt{1 + r} \pm \sqrt{r})}^{2}$ だから，数値では $10.5 s < τ < 238 s$ で振動する．どの $τ > 0$ でも根の和は負，積は正で，根の実部は負となり，成長は起こらない． $| ξ | / x_{*}$ ， $L | θ | / (R T_{*}^{2})$ が十分小さく，蒸気の平衡化が応答より速い範囲で使う．液体消失や弁の閉鎖で模型が変わる．