電磁誘導と交流

運動起電力の例題

著者：柚木芹香

導体の運動と回路を連立する典型的な設定を，例題で解きます．どの例題でも，回路の式，運動方程式，エネルギーの収支の3つをそろえて確かめます．回路自身の電流が作る磁場（自己誘導）と摩擦は無視します．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

水平と角 $θ$ をなす斜面に，間隔 $l$ の2本の平行なレールが斜面に沿って置かれ，上端は抵抗 $R$ で結ばれています．斜面に垂直な一様な磁場 $B$ の中で，質量 $m$ の導体棒をレールに垂直に置き，静かに放します．棒はレールに垂直なまま滑り，抵抗 $R$ 以外の抵抗は無視します．重力加速度を $g$ とします．

**［図：斜面上のレールと導体棒］**
斜面に沿う図と横からの図．間隔lのレールの上端を抵抗Rで結び，質量mの棒が斜面を下る．磁場Bは斜面に垂直で，斜面の傾きはθである．

棒の速さが $v$ のときの電流と運動方程式を書き，終端速度 $v_{t}$ を求めよ． $m = 0.020 kg$ ， $l = 0.50 m$ ， $B = 0.40 T$ ， $R = 0.50 Ω$ ， $θ = 30^{\circ}$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ で値を求めよ．
放してからの速さ $v (t)$ を求めよ．
放してから斜面に沿って距離 $s$ だけ滑る間に，抵抗を通った電荷と発生したジュール熱を求めよ． $s$ は十分大きく，棒はすでに終端速度に達しているとする．

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考え方 運動起電力 $v B l$ で電流を出し，電流が受ける力を運動方程式に入れる．形は第4章の空気抵抗と同じである．

起電力は $v B l$ だから $I = v B l / R$ ．棒が受ける磁気力の大きさは $I B l = B^{2} l^{2} v / R$ で，レンツの法則により斜面を上る向きである．斜面を下る向きを正として

m \frac{d v}{d t} = m g \sin θ - \frac{B^{2} l^{2}}{R} v

である．右辺が0になる速さが終端速度で， $v_{t} = m g R \sin θ / (B^{2} l^{2})$ ．数値を入れると

v_{t} = \frac{0.020 \times 9.8 \times 0.50 \times 0.50}{{(0.40 \times 0.50)}^{2}} m s^{- 1} \approx 1.2 m s^{- 1}

である．

$τ = m R / (B^{2} l^{2})$ とおくと，運動方程式は $\frac{d v}{d t} = - (v - v_{t}) / τ$ となる． $v (0) = 0$ より $v = v_{t} (1 - e^{- t / τ})$ ．数値では $τ = 0.25 s$ である．
電荷は $q = \int I d t = \frac{B l}{R} \int v d t = \frac{B l s}{R}$ で，回路の磁束の変化量 $B l s$ を $R$ で割ったものに等しい．エネルギーの収支は，重力のした仕事が運動エネルギーとジュール熱になるので

Q \approx m g s \sin θ - \frac{1}{2} m v_{t}^{2}

である．

確かめ：終端速度では $I = m g \sin θ / (B l)$ で， $I^{2} R = \frac{m^{2} g^{2} R \sin^{2} θ}{B^{2} l^{2}} = m g \sin θ \cdot v_{t}$ となり，重力の仕事率がすべて熱になっている．回路の大きさを $0.5 m$ 程度とすると自己インダクタンスは $10^{- 6} H$ 程度で， $L / R \approx 2 \times 10^{- 6} s$ は $τ = 0.25 s$ よりずっと短いので，自己誘導を無視してよい．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

水平な2本の平行なレールの上に，質量 $m_{1}$ の棒1と質量 $m_{2}$ の棒2をレールに垂直に置きます．鉛直な一様な磁場 $B$ があり，回路の抵抗は2本の棒の抵抗の和 $R$ だけです．初め棒2は静止しており，時刻0に棒1に右向きの速さ $u$ を与えます．以後は両方の棒が自由に動くものとし，棒どうしの衝突は起こらないとします．

**［図：2本の棒とレールの間隔］**
初期状態で棒1だけが右向きの速さuをもつ．左はどこでも間隔lのレール，右は棒2の側の間隔がl/2のレールである．磁場Bは鉛直下向きで，紙面の奥向きを⊗で示す．

レールの間隔がどこでも $l$ のとき，2本の棒の運動量の和が保存されることを示し，十分時間がたった後の速さを求めよ．
2本の棒の速さの差 $w = v_{1} - v_{2}$ の時間変化と，発生するジュール熱の総量を求めよ．
棒1の所のレールの間隔が $l$ ，棒2の所の間隔が $l / 2$ で，2つの部分はレールに垂直な短い導線の段でつながっているとする．棒はそれぞれの部分から出ないとして，十分時間がたった後の速さと発生する熱を求め，運動量の和が保存されない理由を述べよ．

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考え方 2本の棒は同じ回路にあるので同じ電流が流れる．力の比はそれぞれの長さの比で決まる．終わりの状態は電流が0，つまり2つの起電力が打ち消し合う状態である．

2本とも右へ動くと，回路を貫く磁束は $B l (v_{2} - v_{1})$ の速さで変わる．したがって電流の大きさは $I = B l (v_{1} - v_{2}) / R$ で，棒1には左向き，棒2には右向きに，同じ大きさ $I B l$ の力が働く．

m_{1} \frac{d v_{1}}{d t} = - I B l, m_{2} \frac{d v_{2}}{d t} = I B l

を足すと $\frac{d}{d t} (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) = 0$ で，運動量の和は保存する．電流が0になる終わりの状態では $v_{1} = v_{2}$ だから，共通の速さは $V = m_{1} u / (m_{1} + m_{2})$ である．

2つの式から $\frac{d w}{d t} = - I B l (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}) = - \frac{B^{2} l^{2}}{μ R} w$ ．ここで $μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ は換算質量（第5章）である．よって $w = u e^{- t / τ}$ ， $τ = μ R / (B^{2} l^{2})$ ．熱は運動エネルギーの減少で

Q = \frac{1}{2} m_{1} u^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} = \frac{1}{2} μ u^{2}

である．直接積分しても $\int_{0}^{\infty} I^{2} R d t = \frac{B^{2} l^{2} u^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{B^{2} l^{2} u^{2} τ}{2 R} = \frac{1}{2} μ u^{2}$ で一致する．

磁束の変化の速さは $B (l v_{1} - l v_{2} / 2)$ の大きさで，電流が0になる終わりの状態では $v_{2} = 2 v_{1}$ である．棒1に働く力は $I B l$ ，棒2に働く力は $I B l / 2$ だから， $J = B l \int I d t$ とおくと

m_{1} (v_{1} - u) = - J, m_{2} v_{2} = \frac{J}{2}

である． $v_{2} = 2 v_{1}$ を使って $J = 4 m_{2} v_{1}$ ，したがって

v_{1} = \frac{m_{1} u}{m_{1} + 4 m_{2}}, v_{2} = \frac{2 m_{1} u}{m_{1} + 4 m_{2}}

となる．運動量の和は $m_{1} u (m_{1} + 2 m_{2}) / (m_{1} + 4 m_{2})$ で，初めの $m_{1} u$ より小さい．2本の棒に働く力の大きさが違い，差の分の力は段の導線に働くからである．段の導線にはレールに垂直な電流が流れ，レールに沿った向きの力を受けるが，段は固定されているので，その運動量は地面へ逃げる．熱は

Q = \frac{1}{2} m_{1} u^{2} - \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} - \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{2 m_{1} m_{2} u^{2}}{m_{1} + 4 m_{2}}

である．

確かめ：(3) で $m_{2} \to 0$ なら $Q \to 0$ ， $v_{1} \to u$ で，軽い棒2が抵抗なく速さ $2 u$ についていく．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

鉛直な一様な磁場 $B$ の中で，長さ $a$ ，質量 $m$ の一様な導体棒OPが，端Oを通る鉛直な軸のまわりに水平面内で回ります．端Pは半径 $a$ の円形のレールに接して滑り，Oとレールの間を抵抗 $R$ でつなぎます． $R$ 以外の抵抗と摩擦は無視します．時刻0に棒の角速度は $ω_{0}$ で，その後は外から力を加えません．

**［図：円形レール上を回る棒OP］**
長さaの棒OPが中心Oのまわりに角速度ωで回り，Pが円形レールに接する．固定された抵抗RがOとレールを結ぶ．磁場Bは紙面の奥向きである．Oからの配線とレールの交差は絶縁し，レールの上端で外部回路につなぐ．

角速度が $ω$ のときの起電力を，棒の中の電荷に働く力から求め，磁束の法則でも確かめよ．
棒に働く磁気力のトルクを求め，角速度 $ω (t)$ を求めよ．Oのまわりの棒の慣性モーメントは $m a^{2} / 3$ である．
止まるまでに棒が回る角度と，発生するジュール熱の総量を求めよ．

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考え方 棒の各部分の速さは中心からの距離に比例するので， $v \times B$ を棒に沿って積分する．トルクも同じように積分する．

Oから $r$ の所の速さは $ω r$ で，電荷は棒に沿って単位電荷あたり $ω r B$ の力を受ける．

E = \int_{0}^{a} ω r B d r = \frac{1}{2} B ω a^{2}

磁束の法則では，回路（O，棒，レールの弧，抵抗）が囲む扇形の面積が毎秒 $a^{2} ω / 2$ ずつ変わるので，磁束の変化の速さは $B a^{2} ω / 2$ で一致する．回路の各部分が導体と一緒に動くように道を選んでいるので，法則が使える．電流は $I = B ω a^{2} / (2 R)$ である．

長さ $d r$ の部分に働く力は棒に垂直で大きさ $I B d r$ ，向きはレンツの法則により回転を妨げる向きである．トルクの大きさは

\int_{0}^{a} I B r d r = \frac{1}{2} I B a^{2} = \frac{B^{2} a^{4}}{4 R} ω

である．回転の運動方程式 $\frac{m a^{2}}{3} \frac{d ω}{d t} = - \frac{B^{2} a^{4}}{4 R} ω$ より， $ω = ω_{0} e^{- t / τ}$ ， $τ = \frac{4 m R}{3 B^{2} a^{2}}$ である．

回る角度は $\int_{0}^{\infty} ω d t = ω_{0} τ = \frac{4 m R ω_{0}}{3 B^{2} a^{2}}$ ．熱は初めの回転の運動エネルギーで， $Q = \frac{1}{2} \cdot \frac{m a^{2}}{3} ω_{0}^{2} = \frac{m a^{2} ω_{0}^{2}}{6}$ である．

確かめ：直接積分すると $\int_{0}^{\infty} I^{2} R d t = \frac{B^{2} a^{4}}{4 R} \int_{0}^{\infty} ω^{2} d t = \frac{B^{2} a^{4}}{4 R} \cdot \frac{ω_{0}^{2} τ}{2} = \frac{m a^{2} ω_{0}^{2}}{6}$ で一致する．磁場が強いほど早く止まるが，熱の総量は $B$ にも $R$ にもよらない．

ポイントここまでのまとめ

回路の式（起電力＝電圧降下）と導体の運動方程式を連立する．磁気力は速さに比例する抵抗力として働く．
通った電荷は $\int I d t$ で，磁束の変化量を抵抗で割ったものになる．
2本の棒が同じ幅なら運動量の和が保存する．幅が違うと固定された導線にも力が働き，保存しない．終わりの状態は起電力が打ち消し合う状態である．
回転する棒の起電力は $B ω a^{2} / 2$ ．エネルギーの収支（外力や重力の仕事＝運動エネルギーの変化＋熱）で答えを確かめる．