原子核と素粒子

核反応と対消滅・対生成の例題

著者：柚木芹香

本体の節で示した保存則， $Q$ 値，不変量 $s = E_{s}^{2} - c^{2} {| p_{s} |}^{2}$ を使って，核反応と粒子の生成・消滅を具体的に計算します．どの例題でも，まず反応の前後で何が保存するかを書き出し，次にエネルギーと運動量を立てます．以下， $(1 u) c^{2} = 931.5 MeV$ ，電子の静止エネルギーを $m_{e} c^{2} = 0.511 MeV$ ， $h c = 1.240 \times 10^{- 6} eV m$ とします．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

ほとんど止まっている中性子が水素の原子核（陽子）に吸収されて重水素の原子核ができ，γ線が1個出る．

n +_{1}^{1} H ⟶_{1}^{2} H + γ

中性子の質量を $1.008665 u$ ，水素原子の質量を $1.007825 u$ ，重水素原子の質量を $2.014102 u$ とする．

この反応の $Q$ 値を求めよ．原子の質量を使ってよい理由も述べよ．
重水素核の反跳を考えて，γ線のエネルギーを求めよ．反跳の運動エネルギーはどれほどか．重水素核の静止エネルギーは $1876 MeV$ とする．

**［図：中性子の吸収と重水素核の反跳］**
上は遅い中性子nが静止した陽子¹₁Hへ近づく反応前の状態である．下は吸収後の模式図で，重水素核²₁Hが右へ反跳し，光子γが左へ出る．矢印は進む向きを表す．

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考え方 原子の質量の表を使うときは電子の数をそろえる．反応のあと全運動量は0なので，γ線と重水素核は同じ大きさの運動量を反対向きにもつ．

左辺の水素原子と右辺の重水素原子はどちらも電子を1個含むので，両辺に電子の質量が同じだけ加わり，差を取ると打ち消し合う（電子の結合エネルギーの差は $1 eV$ より十分小さく，無視できる）．よって

Q = (1.008665 + 1.007825 - 2.014102) u c^{2} = 0.002388 \times 931.5 MeV = 2.224 MeV

である．これは重水素核の結合エネルギーそのものである．

γ線のエネルギーを $E_{γ}$ ，重水素核の質量を $M$ とする．運動量の保存から重水素核の運動量は $E_{γ} / c$ で，反跳の速さは光速よりずっと小さいので，運動エネルギーは $K = E_{γ}^{2} / (2 M c^{2})$ ．エネルギーの保存は

Q = E_{γ} + \frac{E_{γ}^{2}}{2 M c^{2}}

である．右辺第2項は小さいので，まず $E_{γ} \approx Q$ として

K \approx \frac{{(2.224 MeV)}^{2}}{2 \times 1876 MeV} = 1.32 \times 10^{- 3} MeV = 1.32 keV

よって $E_{γ} = Q - K = 2.223 MeV$ となる．

確かめ： $K / (M c^{2}) = 7 \times 10^{- 7}$ で非相対論の式でよい． $E_{γ}$ と $Q$ の差は $0.06$ %で，反跳はγ線のエネルギーをほとんど変えない．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

止まっている電子と陽電子が対消滅して2個の光子になった．各光子のエネルギーと波長を求めよ．
運動エネルギー $K = 1.00 MeV$ の陽電子が止まっている電子と対消滅し，2個の光子が陽電子の進んでいた向きの前方と後方へ出た．各光子のエネルギーを求めよ．

**［図：静止した対と動いている陽電子の対消滅］**
上の(1)は電子e⁻と陽電子e⁺がともに静止している場合で，反応後に2個の光子γが左右へ出る．下の(2)は運動エネルギーK = 1.00 MeVの陽電子が右へ進み，静止した電子と対消滅する場合で，光子が前方と後方へ出る．矢印は進む向きだけを示し，波線の間隔は模式的である．

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考え方 対消滅の前の全エネルギーと全運動量を求め，それを2個の光子に分ける．光子では $E = p c$ である．

全運動量は0なので，2個の光子の運動量は大きさが等しく反対向きで，エネルギーも等しい．全エネルギーは $2 m_{e} c^{2}$ だから，各光子は $E = m_{e} c^{2} = 0.511 MeV$ である．波長は

λ = \frac{h c}{E} = \frac{1.240 \times 10^{- 6} eV m}{5.11 \times 10^{5} eV} = 2.43 \times 10^{- 12} m

である．

陽電子の全エネルギーは $m_{e} c^{2} + K$ ，運動量 $p$ は $E^{2} = {(p c)}^{2} + {(m_{e} c^{2})}^{2}$ から

p c = \sqrt{K^{2} + 2 K m_{e} c^{2}} = \sqrt{{1.00}^{2} + 2 \times 1.00 \times 0.511} MeV = 1.422 MeV

前方・後方の光子のエネルギーを $E_{1}, E_{2}$ とする．エネルギーと運動量の保存は

E_{1} + E_{2} = 2 m_{e} c^{2} + K = 2.022 MeV, E_{1} - E_{2} = p c = 1.422 MeV

で， $E_{1} \approx 1.72 MeV$ ， $E_{2} = 0.300 MeV$ である．

確かめ： $s$ をどちらの側で計算しても同じになるはずである．丸める前の光子のエネルギーを用いると，光子2個では $s = {(E_{1} + E_{2})}^{2} - {(E_{1} - E_{2})}^{2} = 4 E_{1} E_{2} \approx 2.07 {MeV}^{2}$ ．反応前は $s = {(2.022)}^{2} - {(1.422)}^{2} \approx 2.07 {MeV}^{2}$ で一致する． $K \to 0$ で $E_{1}, E_{2}$ はともに $m_{e} c^{2}$ に戻る．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

エネルギー $E$ の光子が，止まっている質量 $M$ の粒子に当たり，その粒子を残したまま電子と陽電子の対を作る．

γ + X ⟶ X + e^{-} + e^{+}

$s$ を使って，対生成が起こる $E$ のしきい値を求めよ．
$X$ が鉛の原子核（静止エネルギー $1.93 \times 10^{5} MeV$ ）の場合と，電子の場合について，しきい値を数値で求めよ．
$X$ がない真空中では，どんなにエネルギーの大きい光子でも対生成は起こらない．その理由を， $s$ を使って説明せよ．

**［図：標的粒子Xの近くで起こる対生成］**
上はエネルギーEの光子γが，静止した質量Mの標的粒子Xへ入射する状態である．下はしきいの模式図で，電子，陽電子，Xが同じ速度vで前へ進む．

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考え方 しきいでは，重心系で3つの粒子がすべて止まっている． $s$ は慣性系によらないので，実験室系で計算した $s$ と，重心系での値 ${(M c^{2} + 2 m_{e} c^{2})}^{2}$ を比べればよい．

実験室系では $E_{s} = E + M c^{2}$ ， $| p_{s} | = E / c$ だから

s = {(E + M c^{2})}^{2} - E^{2} = {(M c^{2})}^{2} + 2 E M c^{2}

これが ${(M c^{2} + 2 m_{e} c^{2})}^{2}$ 以上という条件から

2 E M c^{2} \geq 4 m_{e} M c^{4} + 4 m_{e}^{2} c^{4}, E \geq 2 m_{e} c^{2} (1 + \frac{m_{e}}{M})

である．

鉛の原子核では $m_{e} / M = 0.511 / (1.93 \times 10^{5}) = 2.65 \times 10^{- 6}$ で，しきい値は $2 m_{e} c^{2} \approx 1.02 MeV$ とほとんど同じである．電子では $M = m_{e}$ で， $E_{th} = 4 m_{e} c^{2} \approx 2.04 MeV$ となる．軽い標的では，重心の運動に回るエネルギーが大きいので，しきいが高くなる．
光子1個では $s = E^{2} - {(p c)}^{2} = 0$ で，エネルギー $E$ によらない．光子1個には重心系が存在しない．一方，電子と陽電子の系は $s \geq {(2 m_{e} c^{2})}^{2} > 0$ なので，反応前後で $s$ が一致せず，エネルギーと運動量を同時に保存できない．

確かめ： $M \to \infty$ では標的が運動量を受け取ってもエネルギーを受け取らないので，しきい値は $2 m_{e} c^{2}$ になり，(1) の式と合う．ニュートン力学のしきいの式 $- Q (1 + m / M)$ は入射粒子の運動エネルギーを $p^{2} / (2 m)$ とする式なので，質量0の光子には使えず，ここでは相対論の式が必要である．

ポイントここまでのまとめ

原子の質量の表から $Q$ 値を出すときは，両辺の電子の数をそろえる．
止まった状態からの反応では全運動量が0で，生成物はエネルギーを運動量の釣り合いで分け合う．重い反跳核の運動エネルギーは $E^{2} / (2 M c^{2})$ と小さい．
対消滅の2個の光子は，重心系では $m_{e} c^{2}$ ずつ，動いている陽電子では前方の光子ほど大きなエネルギーをもつ．
不変量 $s$ を実験室系と重心系で比べると，しきいが一度に求まる．光子1個は $s = 0$ なので単独では対を作れない．