原子核と素粒子

核反応と粒子生成の演習

著者：柚木芹香

重心運動と相対運動を分けて解いてください．以下， $1 u c^{2} = 931.5 MeV$ とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

静止した $_{92}^{236} U$ が $_{56}^{144} Ba$ と質量数92の核Xへ分裂した直後を考える．中性子・光子の放出はなく，運動エネルギーの和は $177 MeV$ ．質量は $144 u$ ， $92 u$ とし，運動は非相対論近似で扱う．

Xの原子番号を求めよ．
各運動エネルギーと速さの比を求めよ．

**［図：ウラン核の分裂］**
静止したウラン236核が，バリウム144核と質量数92の核Xへ分裂する模式図．運動エネルギーの和177 MeVは与えられた値である．

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考え方 等しい運動量からエネルギーを配分する．

$Z_{X} = 92 - 56 = 36$ ．
BaをBと略し， $p_{B} = p_{X} = p$ と $K = p^{2} / (2 m)$ より $K_{B} / K_{X} = 92 / 144$ ．和が $177 MeV$ なので $K_{B} = 177 \times 92 / 236 MeV = 69.0 MeV$ ， $K_{X} = 108 MeV$ ． $v_{B} / v_{X} = m_{X} / m_{B} = 92 / 144$ である．和は $177 MeV$ に戻る． $K / (m c^{2}) \leq 0.0013$ は小さい．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

世代 $j$ の中性子数を平均して $n_{j}$ とする．各中性子が確率 $p$ で核分裂を起こし，新たな中性子を平均2.50個生む．残りは失われる．検出効率一定で平均計数を得た．

世代 $j$	0	1	2
平均計数	1000	1200	1440

増倍率 $k = n_{j + 1} / n_{j}$ と $p$ を求めよ．
期待値が2倍以上となる最初の世代と，定常となる $p$ を求めよ．

**［図：中性子の分裂と損失の分岐］**
中性子が確率pで分裂を起こして平均2.50個を生み，確率1−pで失われる模型．

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考え方 放出数に次の分裂につながる割合を掛ける．

$n_{j + 1} = 2.50 p n_{j}$ ．計数比から $k = 1.20$ ， $p = k / 2.50 = 0.480$ ．
$n_{j} = k^{j} n_{0}$ より $j \geq \ln 2 / \ln 1.20 = 3.80$ ．最初は第4世代である．一定には $k = 1$ が必要で， $p = 1 / 2.50 = 0.400$ である．放出数が1を超えても損失があれば増殖しない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の中性子が，静止した質量 $3 m$ の核と非相対論的な正面弾性衝突を繰り返す．吸収はない．初めの運動エネルギーは $16 keV$ である．

衝突後の速度と残るエネルギー割合を求めよ．
$0.025 eV$ 以下まで減速する最小衝突回数を求めよ．

**［図：中性子と静止核の正面衝突］**
質量mの中性子が速度vで質量3mの静止核へ正面から入射する．衝突前の配置を示す．

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考え方 速度比の2乗がエネルギー比になる．

衝突後の核・中性子の速度を $V, v^{'}$ として $v = v^{'} + 3 V$ ， $v^{2} = v^{' 2} + 3 V^{2}$ ．弾性衝突なので $v^{'} - V = - v$ ．これを連立し $v^{'} = - v / 2$ ， $V = v / 2$ ． $E^{'} / E = {(v^{'} / v)}^{2} = 1 / 4$ である．
$E_{n} = 16000 \times 4^{- n} eV$ より $n \geq \ln (16000 / 0.025) / \ln 4 = 9.64$ ．最小は10回．9回後は $0.061 eV$ ，10回後は $0.015 eV$ となる．斜めの衝突では取り分が変わる．非相対論式には $E / (m c^{2})$ が小さい条件が要る．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

粒子 $m = 4.00 u$ が静止核 $M = 12.0 u$ に衝突し，2粒子へ変わる吸熱反応を考える．生成粒子の質量の和は $m + M + δ / c^{2}$ ， $δ = 8.50 MeV$ ．

慣性質量変化を無視する非相対論近似で，入射運動エネルギー $K$ のしきい値 $K_{0}$ を求めよ．
全エネルギー $E_{s}$ ，全運動量 $p_{s}$ の $s = E_{s}^{2} - c^{2} p_{s}^{2}$ は重心系でも不変である．粒子の $E^{2} = {(p c)}^{2} + {(m c^{2})}^{2}$ を使い，厳密なしきい値と補正を求めよ．

**［図：静止標的に対する吸熱反応］**
質量mの入射粒子と質量Mの静止核が2粒子へ変わる．生成粒子の質量の和m+M+δ/c²と，δ=8.50 MeVを示す．

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考え方 しきい値でも重心運動は残る．

$K = p^{2} / (2 m)$ ．重心のエネルギーは $p^{2} / [2 (m + M)] = m K / (m + M)$ なので，利用できる分は $M K / (m + M)$ ．よって $K_{0} = δ (1 + m / M) = 11.3 MeV$ ．
$E_{s} = (m + M) c^{2} + K$ ， $p^{2} c^{2} = K^{2} + 2 m c^{2} K$ から

s = {(m + M)}^{2} c^{4} + 2 M c^{2} K

しきい値の重心系では $s = {[(m + M) c^{2} + δ]}^{2}$ ．展開すると

K_{0} = δ (1 + \frac{m}{M}) + \frac{δ^{2}}{2 M c^{2}}

補正は ${8.50}^{2} / (2 \times 12.0 \times 931.5) MeV = 3.23 keV$ で，主項の $2.85 \times 10^{- 4}$ 倍．近似条件の $K / (m c^{2})$ ， $δ / [(m + M) c^{2}]$ はともに0.004未満で小さい．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

重水素核D・三重水素核Tの数密度を $n_{D}, n_{T}$ とする．古典的な障壁越えで，単位体積・単位時間の融合回数を $r = κ_{0} n_{D} n_{T} e^{- E_{b} / (k_{B} T)}$ とする． $κ_{0}$ は一定， $E_{b} = 20 keV$ ， $k_{B}$ はボルツマン定数である．

等量混合で $k_{B} T_{1} = 5.0 keV$ のとき $r_{1} = 1.0 \times 10^{14} m^{- 3} s^{- 1}$ であった．密度一定で温度を2倍にした $r$ と，体積 $0.020 m^{3}$ での総放出仕事率を求めよ．1反応で $17.6 MeV$ ， $1 eV = 1.602 \times 10^{- 19} J$ とする．

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考え方 密度一定なら反応率の比は指数因子だけで決まる．

$r_{2} / r_{1} = \exp [E_{b} / (2 k_{B} T_{1})] = e^{2} = 7.4$ ． $r_{2} = 7.4 \times 10^{14} m^{- 3} s^{- 1}$ ． $Q = 17.6 \times 10^{6} \times 1.602 \times 10^{- 19} J = 2.82 \times 10^{- 12} J$ より $P = r_{2} V Q = 42 W$ ．時間 $Δ t$ に $r_{2} Δ t / n_{D}$ ， $r_{2} Δ t / n_{T}$ が小さい条件で密度を一定とできる．実際の反応率はトンネル効果で変わる．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

真空中の2光子が角 $θ$ で衝突し，電子・陽電子を作る．光子エネルギーは $E, ε$ ．両粒子の質量は $m$ ， $m c^{2} = 0.511 MeV$ ．全エネルギー・運動量の $s = E_{s}^{2} - c^{2} {| p_{s} |}^{2}$ は重心系でも不変で，光子は $p = E / c$ に従う．

対生成の条件を導け．1光子だけでは生成できない理由も述べよ．
$ε = 1.00 eV$ の光子との正面衝突の最小 $E$ と， $E = 4.00 \times 10^{2} GeV$ での最小角を求めよ． $1 GeV = 10^{9} eV$ とする．

**［図：2光子の進行方向と衝突角］**
エネルギーE，εの2光子が衝突する．下段で進行方向を同じ始点に移し，その間の角θを示す．

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考え方 重心系のエネルギーで判断する．

運動量の和より $c^{2} p_{s}^{2} = E^{2} + ε^{2} + 2 E ε \cos θ$ ．よって $s = 2 E ε (1 - \cos θ)$ ．重心系で必要な最低エネルギーは $2 m c^{2}$ だから

E ε (1 - \cos θ) \geq 2 m^{2} c^{4}

1光子では $s = E^{2} - {(p c)}^{2} = 0$ で，必要な $s \geq 4 m^{2} c^{4}$ を満たさない．

正面では $1 - \cos θ = 2$ より $E_{min} = {(m c^{2})}^{2} / ε = 2.61 \times 10^{2} GeV$ ．指定値で $1 - \cos θ \geq 2 {(0.511 \times 10^{6})}^{2} / (4.00 \times 10^{11}) = 1.3056$ ．よって $θ \geq \arccos (- 0.3056) \approx 108^{\circ}$ ．同方向なら $s = 0$ で，高エネルギーでも生成できない．

ポイント教える人へ

分裂片への配分を説明させます．
平均と個々の増殖を区別させます．
しきい値で重心運動が残る理由を問います．
核融合模型の範囲と密度一定の条件を問います．