原子核と素粒子

原子核の大きさとクーロンエネルギーの例題

著者：柚木芹香

原子核の問題では，長さを $fm$ ，エネルギーを $MeV$ ，質量を $u$ で量ると，数値が1から1000くらいに収まって見通しがよくなります．J や kg に直すのは最後だけにしましょう．ここでは，原子核の密度，陽子どうしのクーロンエネルギー，ラザフォードの散乱による原子核の大きさの上限の3つを練習します．

ポイント原子核の見積もりで使う値

$1 fm = 10^{- 15} m$ ， $1 MeV = 1.602 \times 10^{- 13} J$ ， $1 u = 1.66 \times 10^{- 27} kg$ ．
原子核の半径 $R = r_{0} A^{1 / 3}$ ， $r_{0} = 1.2 fm$ ．
電荷 $Z_{1} e$ と $Z_{2} e$ が距離 $r$ 離れているときのクーロンの位置エネルギーは $k_{e} Z_{1} Z_{2} e^{2} / r$ で， $k_{e} e^{2} = 1.44 MeV fm$ を使う．
静止エネルギーは $(1 u) c^{2} = 931.5 MeV$ ， $m_{p} c^{2} = 938.3 MeV$ ．運動エネルギー $K$ が $m c^{2}$ の 1 % 程度までなら，ニュートン力学の式 $K = m v^{2} / 2$ を使ってよい．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

原子核の半径を $R = r_{0} A^{1 / 3}$ ， $r_{0} = 1.2 fm$ とし，原子核の質量を $A \times 1.66 \times 10^{- 27} kg$ とする．

鉄の原子核 $_{26}^{56} Fe$ とウランの原子核 $_{92}^{238} U$ の半径を求めよ．また，それぞれの密度を求めよ．
鉄の金属の密度は $7.9 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ である．鉄の金属の体積のうち，原子核が占める割合を求めよ．電子の質量は無視してよいことも確かめよ．電子の質量は $9.1 \times 10^{- 31} kg$ である．

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考え方 体積は $R^{3} \propto A$ なので，密度は $A$ によらない．金属の質量はほとんど原子核の質量だから，金属の密度と原子核の密度の比が，原子核の占める体積の割合になる．

$56^{1 / 3} = 3.83$ ， $238^{1 / 3} = 6.20$ より，

R_{Fe} = 1.2 \times 3.83 fm = 4.6 fm, R_{U} = 1.2 \times 6.20 fm = 7.4 fm

である．密度は

ρ_{0} = \frac{A \times 1.66 \times 10^{- 27} kg}{\frac{4 π}{3} r_{0}^{3} A} = \frac{1.66 \times 10^{- 27} kg}{\frac{4 π}{3} \times {(1.2 \times 10^{- 15} m)}^{3}} = 2.3 \times 10^{17} kg m^{- 3}

で， $A$ が約分されるので鉄もウランも同じ値になる．

金属の体積 $V$ の中の原子核の全体積を $V_{N}$ とすると，金属の質量はほぼ原子核の質量 $ρ_{0} V_{N}$ に等しいので，

\frac{V_{N}}{V} = \frac{7.9 \times 10^{3}}{2.3 \times 10^{17}} = 3.4 \times 10^{- 14}

である．原子1個あたりの電子の質量と原子核の質量の比は

\frac{26 \times 9.1 \times 10^{- 31}}{56 \times 1.66 \times 10^{- 27}} = 2.5 \times 10^{- 4}

なので，電子の質量を無視した誤差は 0.03 % 程度である．

確かめ：割合の $1 / 3$ 乗 ${(3.4 \times 10^{- 14})}^{1 / 3} = 3.2 \times 10^{- 5}$ は，原子核の半径と原子の間隔の比の目安である． $4.6 fm / (3.2 \times 10^{- 5}) = 1.4 \times 10^{- 10} m$ となり，鉄の原子の大きさ（約 $10^{- 10} m$ ）と同じ桁で，物質はほとんどすき間でできていることが分かる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

陽子の質量を $m_{p}$ ， $m_{p} c^{2} = 938 MeV$ とし， $k_{e} e^{2} = 1.44 MeV fm$ ， $1 MeV = 1.60 \times 10^{- 13} J$ ，ボルツマン定数を $k_{B} = 8.62 \times 10^{- 5} eV K^{- 1}$ とする．

中心間の距離 $1.0 fm$ の陽子2個のクーロンの位置エネルギーを MeV と J で求めよ．また，水素原子の陽子と電子（距離 $5.3 \times 10^{- 11} m$ ）のクーロンの位置エネルギーの大きさを eV で求め，比べよ．
遠く離れた陽子2個を，同じ速さで正面から近づける．核力が働き始める中心間距離を $2.0 fm$ とし，そこまで近づくのに必要な陽子1個の初めの運動エネルギーと速さを求めよ．ニュートン力学で扱ってよいかも確かめよ．
気体の陽子の平均の運動エネルギー $3 k_{B} T / 2$ が(2)の値に等しくなる温度を求めよ．

**［図：正面から近づく2個の陽子］**
遠く離れた2個の陽子が，同じ速さ v で正面から近づく．下段は，問題で指定された核力が働き始める中心間距離2.0 fmを示す．

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考え方 $k_{e} e^{2} = 1.44 MeV fm$ を使えば，距離を fm で割るだけで位置エネルギーが MeV で出る．(2)は2個の運動量の和が0なので，最も近づいたとき2個とも止まり，運動エネルギーがすべて位置エネルギーに変わる．

陽子2個では

U = \frac{k_{e} e^{2}}{r} = \frac{1.44 MeV fm}{1.0 fm} = 1.4 MeV = 2.3 \times 10^{- 13} J

である．水素原子では $5.3 \times 10^{- 11} m = 5.3 \times 10^{4} fm$ なので，

| U_{H} | = \frac{1.44 \times 10^{6} eV fm}{5.3 \times 10^{4} fm} = 27 eV

である．距離の比 $5.3 \times 10^{4}$ がそのままエネルギーの比になり，原子核では原子より5桁ほど大きいエネルギーが出入りする．

全運動量は0なので，最も近づいたとき2個とも止まる．エネルギー保存から，1個の初めの運動エネルギーを $K$ として

2 K = \frac{k_{e} e^{2}}{2.0 fm} = 0.72 MeV, K = 0.36 MeV

である． $K / (m_{p} c^{2}) = 0.36 / 938 = 3.8 \times 10^{- 4}$ は 1 % よりずっと小さいので，ニュートン力学でよい． $K = m_{p} v^{2} / 2$ より

\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{2 K}{m_{p} c^{2}}} = \sqrt{\frac{0.72}{938}} = 2.8 \times 10^{- 2}, v = 8.3 \times 10^{6} m s^{- 1}

である．

$3 k_{B} T / 2 = 0.36 \times 10^{6} eV$ より

T = \frac{2 \times 0.36 \times 10^{6} eV}{3 \times 8.62 \times 10^{- 5} eV K^{- 1}} = 2.8 \times 10^{9} K

である．

確かめ：太陽の中心の温度は約 $1.6 \times 10^{7} K$ で，この値の200分の1ほどしかない．それでも太陽で陽子どうしの核融合が起こるのは，速さの分布の裾にある速い陽子と，クーロン障壁をすり抜けるトンネル効果（第4の題材で言葉だけ触れる）のためである．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

運動エネルギー $K = 7.7 MeV$ の α 粒子 $_{2}^{4} He$ を，金の原子核 $_{79}^{197} Au$ に正面から当てる．α 粒子と金の原子核は球対称な電荷分布をもち，質量はそれぞれ $4 u$ ， $197 u$ とする． $k_{e} e^{2} = 1.44 MeV fm$ ， $(1 u) c^{2} = 931.5 MeV$ とし，原子の電子の影響は無視する．

金の原子核が動かないとして，α 粒子が最も近づいたときの中心間距離 $d_{0}$ を求めよ．
金の原子核の反跳を考えると，最も近づいたときの中心間距離 $d$ はいくらか．
このエネルギーでの散乱はクーロン力だけで説明できた．このことから金の原子核の半径について何がいえるか．また， $R = r_{0} A^{1 / 3}$ （ $r_{0} = 1.2 fm$ ）で2つの原子核の表面が接するまで正面衝突で近づけるには，α 粒子の運動エネルギーをいくら以上にすればよいか．

**［図：α 粒子と金の原子核の正面衝突］**
上段は速さ v₀，運動エネルギー K = 7.7 MeVのα 粒子が，初め止まっている金の原子核へ向かう条件を示す．電荷はそれぞれ2eと79e，質量は4 uと197 uである．下段は未知の中心間距離 d で，両者が同じ速度 V で動いている様子を示す．

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考え方 最も近づくのは，2つの原子核の相対速度が0になる瞬間である．金の原子核が動かなければ運動エネルギーがすべて位置エネルギーになるが，反跳を考えると，運動量保存のため全体の重心の運動エネルギーは位置エネルギーに変えられない．球対称な電荷分布どうしの力は，重ならない限り中心に電荷を集めた点電荷どうしの力に等しい．

エネルギー保存から $K = k_{e} (2 e) (79 e) / d_{0}$ なので

d_{0} = \frac{158 \times 1.44 MeV fm}{7.7 MeV} = 29.5 fm \approx 30 fm

である． $K / (m_{α} c^{2}) = 7.7 / (4 \times 931.5) = 2.1 \times 10^{- 3}$ なので，ニュートン力学でよい．

α 粒子の質量を $m$ ，金の原子核の質量を $M$ とする．最も近づいたとき両者は同じ速度 $V$ で動くので，運動量保存より $m v_{0} = (m + M) V$ である．このときの運動エネルギーは

\frac{1}{2} (m + M) V^{2} = \frac{m}{m + M} \cdot \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{m}{m + M} K

なので，位置エネルギーに変わるのは $K M / (m + M)$ である．したがって

d = \frac{158 k_{e} e^{2}}{K} \cdot \frac{m + M}{M} = d_{0} (1 + \frac{m}{M}) = 29.5 fm \times (1 + \frac{4}{197}) = 30.1 fm

である．反跳の補正は 2 % で， $d \approx 30 fm$ は変わらない．

α 粒子は金の原子核の中心から $30 fm$ まで近づいても，クーロン力しか受けていない．核力は表面が触れ合うほど近づかないと働かないので，金の原子核の半径と α 粒子の半径の和は $30 fm$ より小さい．つまり $30 fm$ が半径の上限である．

$R = r_{0} A^{1 / 3}$ では $R_{Au} = 1.2 \times 197^{1 / 3} fm = 7.0 fm$ ， $R_{α} = 1.2 \times 4^{1 / 3} fm = 1.9 fm$ で，接するときの距離は $8.9 fm$ である．(2)と同じ式で $d = 8.9 fm$ とおくと

K = \frac{158 k_{e} e^{2}}{d} (1 + \frac{m}{M}) = \frac{158 \times 1.44}{8.9} \times 1.020 MeV = 26 MeV

以上が必要である．

確かめ： $26 MeV$ でも $K / (m_{α} c^{2}) = 7 \times 10^{- 3}$ で，ニュートン力学の範囲に入る．最も近い距離 $30 fm$ は原子の大きさ $10^{- 10} m = 10^{5} fm$ よりずっと小さく，この距離での核間のクーロンエネルギーに比べて電子による遮蔽の寄与は小さいので，電子を無視したのは妥当である．

ポイントここまでのまとめ

原子核の密度は $A$ によらず約 $2.3 \times 10^{17} kg m^{- 3}$ で，物質の体積のうち原子核が占めるのは $10^{- 14}$ 程度にすぎない．
$k_{e} e^{2} = 1.44 MeV fm$ を使うと，fm の距離のクーロンエネルギーはすぐ MeV で求まる．原子核のエネルギーは原子の $10^{5} \sim 10^{6}$ 倍である．
正面衝突で最も近づくのは相対速度が0になる瞬間で，標的の反跳を入れると $K$ を $K M / (m + M)$ に置き換える．
散乱がクーロン力だけで説明できる最も近い距離は，原子核の半径の上限を与える．
運動エネルギーが静止エネルギーの 1 % 程度までなら，ニュートン力学で扱える．