原子核と素粒子

原子核の構成と大きさの演習

著者：柚木芹香

陽子数と核子数を区別し，長さ・体積・質量がどう対応するかを確かめます．力の強さを比較するときは，同じ距離で比べることと，相互作用の届く範囲に注意してください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

核の半径を $R = r_{0} A^{1 / 3}$ とします．未知の核Xは陽子と中性子を同数含み，半径が $A = 192$ の核の半径の $1 / 2$ です．核YはXと同じ陽子数で，中性子を2個多く含みます．

XとYの原子番号 $Z$ ，質量数 $A$ を求め，同位体か答えてください．
YとXの体積比と電荷の比を求めてください．

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考え方 半径比を3乗すると質量数の比になる．電荷を決めるのは核子数でなく陽子数である．

$A_{X} = 192 {(1 / 2)}^{3} = 24$ ．陽子と中性子が同数なので $Z_{X} = 12$ ．Yは $Z_{Y} = 12$ ， $A_{Y} = 26$ となる．原子番号が同じで質量数が異なるので同位体である．
体積比は $R_{Y}^{3} / R_{X}^{3} = A_{Y} / A_{X} = 26 / 24 = 13 / 12$ ．電荷は両方 $12 e$ だから比は1である． $R_{Y} / R_{X} = {(13 / 12)}^{1 / 3} > 1$ となり，中性子の追加で電荷を変えずに半径が増すことも確かめられる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

中性子星を質量 $M = 2.4 \times 10^{30} kg$ ，半径 $R_{*} = 1.30 \times 10^{4} m$ の球とします．比較用の核物質は $R = r_{0} A^{1 / 3}$ ，質量 $A m_{0}$ に従う一様な球とし， $r_{0} = 1.20 \times 10^{- 15} m$ ， $m_{0} = 1.66 \times 10^{- 27} kg$ とします．一般相対論による補正は扱いません．

星の平均密度と核物質の密度の比を求めてください．
核物質と同じ平均密度で質量 $M$ の球を作ると，半径はいくらになりますか．星の各点の密度も分かりますか．

**［図：中性子星と核物質の球］**
半径R_*，質量Mの中性子星と，半径R，質量Am_0の一様な核物質の球．2つの図の縮尺は共通でない．

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考え方 平均密度は全質量を全体積で割る．平均値は内部の分布を指定しない．

星では $ρ_{*} = 3 M / (4 π R_{*}^{3}) = 2.61 \times 10^{17} kg m^{- 3}$ ．核物質では $R^{3} = r_{0}^{3} A$ だから $ρ_{0} = 3 A m_{0} / (4 π r_{0}^{3} A) = 2.29 \times 10^{17} kg m^{- 3}$ ．比は $ρ_{*} / ρ_{0} = 1.14$ となり，質量 $M$ の精度に合わせれば約1.1倍である．
$R_{eq} = {(3 M / (4 π ρ_{0}))}^{1 / 3} = 1.36 \times 10^{4} m \approx 1.4 \times 10^{4} m$ ．星の各点の密度は求められない．計算に使った核物質の一様性と，星の平均値の比較は別の仮定である．質量を8倍にすれば同密度の半径は2倍となり，体積の次元も合う．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

核半径の測定結果を表に示します． $1 fm = 10^{- 15} m$ です． $R = r_{0} A^{α}$ という模型の指数と係数を調べてください．

$A$	$R$ （ $fm$ ）
27	$3.60 \pm 0.04$
64	$4.80 \pm 0.04$
125	$6.00 \pm 0.04$

中央の測定値を使い，最初の2点から $α$ と $r_{0}$ を決め，3点目を検証してください．対数を取ったグラフの軸も指定してください．
$α = 1 / 3$ と確定した後，3点目だけで求める $r_{0}$ の不確かさを求めてください．核物質の密度 $ρ_{0} \propto r_{0}^{- 3}$ の相対不確かさも1次までで求めてください．

**［図：核半径の測定点と誤差棒］**
横軸ln A，縦軸ln(R/(1 fm))に，Aが27，64，125の測定点と半径の誤差棒を置いた図．

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考え方 べき乗の関係は対数で直線になる．不確かさは指数が既知か未知かを区別して伝える．

$α = \ln (4.80 / 3.60) / \ln (64 / 27) = 1 / 3$ ．よって $r_{0} = 3.60 / 27^{1 / 3} fm = 1.20 fm$ ．3点目の予測は $1.20 \times 125^{1 / 3} fm = 6.00 fm$ で一致する．指定の対数グラフでは $\ln (R / (1 fm)) = \ln (r_{0} / (1 fm)) + α \ln A$ となる．
$r_{0} = R / 5$ なので $δ r_{0} = 0.04 / 5 fm = 0.008 fm$ ．微分から $| δ ρ_{0} | / ρ_{0} \approx 3 δ r_{0} / r_{0} = 0.020$ ，約2.0 %である．評価は $δ r_{0} / r_{0} = 0.0067$ が十分小さく，指数と核子質量の不確かさを無視した場合に限る．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

炭素核 $(Z_{1}, A_{1}) = (6, 12)$ と酸素核 $(Z_{2}, A_{2}) = (8, 16)$ を，無限遠から表面が接するまで近づけます．両核は球対称な電荷分布を持ち，変形せず，半径は $R_{i} = r_{0} A_{i}^{1 / 3}$ ， $r_{0} = 1.20 fm$ です．接するまで核力を無視し，電子はありません． $k_{e} = 1 / (4 π ε_{0})$ ， $k_{e} e^{2} = 1.44 MeV fm$ ， $1 MeV = 1.60 \times 10^{- 13} J$ とします．

準静的に近づける外力の仕事を求めてください．
中心間距離を接触距離の2倍にした位置までに，仕事の何割が必要ですか．核子数を固定して片方の陽子数だけを半分にした場合，接触時の仕事はどう変わりますか．

**［図：2つの核の接触前と接触時］**
半径R_1，R_2，電荷Z_1e，Z_2eの2核．接触前の中心間距離dと，表面が接した配置を並べる．

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考え方 重ならない球対称な電荷分布の相互作用は，中心に集めた点電荷で計算できる．接触距離は半径の和である．

距離 $d$ の反発力は $k_{e} Z_{1} Z_{2} e^{2} / d^{2}$ ．接触距離 $d_{c} = 1.20 (12^{1 / 3} + 16^{1 / 3}) fm = 5.77 fm$ までの仕事は $W = \int_{d_{c}}^{\infty} k_{e} Z_{1} Z_{2} e^{2} d^{- 2} d d = k_{e} Z_{1} Z_{2} e^{2} / d_{c}$ ．したがって $W = 12.0 MeV = 1.92 \times 10^{- 12} J$ である．
$d = 2 d_{c}$ では $W / 2$ なので5割である．陽子数だけを半分にすると，この半径模型では $d_{c}$ は同じで電荷の積が半分になるため，仕事も半分になる．距離を無限大へ戻すと仕事は0となる．これは電子の遮蔽と核力・変形を省いたクーロン障壁の見積もりである．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

陽子2個の引力を，距離 $r \geq a$ で $F_{N} = F_{0} e^{- r / a}$ とする模型で考えます． $F_{0} = 1.0 \times 10^{3} N$ ， $a = 1.0 \times 10^{- 15} m$ です．電気力は $F_{E} = k_{e} e^{2} / r^{2}$ ，重力は $F_{G} = G m_{p}^{2} / r^{2}$ とします． $k_{e} = 8.99 \times 10^{9} N m^{2} C^{- 2}$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ， $G = 6.67 \times 10^{- 11} m^{3} {kg}^{- 1} s^{- 2}$ ， $m_{p} = 1.67 \times 10^{- 27} kg$ を使います．

$F_{E} / F_{G}$ を求め，距離に依存するか調べてください．
$s = r / a$ とおき， $F_{N} / F_{E}$ の最大値とその距離を求めてください． $s = 1, 6$ の値も調べ，「強い力なら遠方でも電気力に勝つ」という主張を検討してください．

**［図：陽子間の距離と3種類の力］**
中心間距離rの陽子2個と，右の陽子に働く反発力F_E，引力F_N，F_G．矢印の長さは力の強さの比を表さない．

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考え方 逆2乗則どうしの比は一定だが，短距離力との比は距離で変わる．最大値は比を微分して求める．

$F_{E} / F_{G} = k_{e} e^{2} / (G m_{p}^{2}) = 1.24 \times 10^{36}$ ． $r^{2}$ が消えるので距離によらず，この2粒子の比較で重力は無視できる．
$C = F_{0} a^{2} / (k_{e} e^{2}) = 4.35$ とおくと $f (s) = F_{N} / F_{E} = C s^{2} e^{- s}$ ． $\frac{d f}{d s} = C e^{- s} s (2 - s)$ は $1 \leq s < 2$ で正， $s > 2$ で負なので，最大は $r = 2 a$ ， $f (2) = 4 C e^{- 2} = 2.35 \approx 2.4$ である．また $f (1) \approx 1.6$ ， $f (6) \approx 0.39$ だから，近距離では核力が勝つが，遠方では電気力が勝つ． $s \to \infty$ で比が0になることも確かめられる．この模型は $r < a$ の力を指定していないので，その範囲の安定性や実際の核内の運動まで結論してはいけない．

ポイント教える人へ

半径比を3乗する理由と，電荷を決める粒子を確認させます．
平均密度の一致から内部構造まで決められるか問いかけます．
測定値の誤差と模型の近似を区別し，密度の相対誤差が3倍になる理由を説明させます．
クーロン障壁の高さと核力の届く距離を，別の量として図で確かめます．