万有引力と天体

軌道

著者：柚木芹香

問い

地球を回る円軌道の人工衛星が，進行方向へロケットを少し噴射して，速さを1 %だけ上げたとします．衛星は高い軌道へ移るのでしょうか．それとも，同じ高さのまま速く回るようになるのでしょうか．

考えてみる

この章のはじめに見たように，半径 $r$ の円軌道の速さは $v = \sqrt{G M / r}$ で，高い軌道ほど遅くなります．そこで「加速すれば高い軌道に移り，そこでは遅くなる」と考えたくなります．ところが噴射の直後，衛星は同じ高さで円軌道より速く動いています．この速さの円軌道は存在しないので，衛星は円軌道には残れません．

では，どんな軌道になるのでしょうか．円でなければ，万有引力のもとで横向きの速さをもつ束縛された運動（ $E < 0$ ）は楕円のはずです．この節では，楕円になることを運動方程式から導き，楕円軌道を数で扱えるようにして，加速のあとの軌道を決めます．

楕円軌道の要素

楕円は，2つの焦点からの距離の和が一定の点の集まりです．万有引力の中心（地球や太陽）は，一方の焦点にあります．

定義楕円軌道の要素

長半径 $a$ ：長い方の軸の長さの半分．
離心率 $e$ ：焦点が中心から $a e$ だけずれているとき， $e$ を離心率と呼ぶ（衝突の反発係数とは別の量）． $e = 0$ が円で， $0 < e < 1$ が楕円．
近点（中心に最も近い点）までの距離 $r_{p} = a (1 - e)$ ，遠点（最も遠い点）までの距離 $r_{a} = a (1 + e)$ ．したがって $r_{p} + r_{a} = 2 a$ ．

地球のまわりなら近点・遠点を近地点・遠地点，太陽のまわりなら近日点・遠日点と呼びます．

**［図：楕円の軌道要素］**
天体は楕円の一方の焦点にある．長半径a，焦点のずれae，近点距離rₚと遠点距離rₐを示す．

軌道の形を導く

ケプラーの第1法則は，観測から見つかった事実でした．ここでは万有引力の運動方程式から軌道の形を導きます．「極座標で運動を記述する」の題材の式を使うと，運動方程式の2つの成分は

m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) = - \frac{G M m}{r^{2}}, r^{2} \dot{θ} = \frac{L}{m} (一定)

です．知りたいのは時刻ごとの位置ではなく軌道の形，つまり $r$ と $θ$ の関係なので，時刻 $t$ を消して $θ$ を変数にします．このとき $r$ の代わりに逆数 $u = \frac{1}{r}$ を使うと，式がぐっと簡単になります．第2式で $\dot{θ}$ を消し，連鎖律で $t$ の微分を $θ$ の微分に書き換えると（計算は次の節），第1式は

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{1}{ℓ}, ℓ = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}

になります．

これは第7章の単振動の式と同じ形です． $w = u - \frac{1}{ℓ}$ とおけば $\frac{d^{2} w}{d θ^{2}} = - w$ で，角振動数1の単振動なので， $w = A \cos (θ - θ_{0})$ です． $θ$ を $r$ が最小になる向き（近点）から測れば $θ_{0} = 0$ ， $A \geq 0$ で， $A = \frac{e}{ℓ}$ と書くと次の式が得られます．

定理軌道の式

万有引力のもとで角運動量 $L$ で運動する物体の軌道は，近点から測った角 $θ$ を使って

r = \frac{ℓ}{1 + e \cos θ}, ℓ = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}, e \geq 0

と表される．

$e$ は積分で現れた定数で，軌道ごとに違います．次の節で直交座標に直すと， $0 \leq e < 1$ のときこの曲線は O を焦点とする楕円で，その離心率がちょうど $e$ ，長半径が $a = \frac{ℓ}{1 - e^{2}}$ であることが確かめられます． $e = 1$ では $θ = π$ の向きで分母が0になり， $r$ が限りなく大きくなる放物線です． $e > 1$ では $1 + e \cos θ > 0$ の向きにしか曲線がなく，遠くからやって来て O のそばを回り，再び遠くへ去る双曲線です． $e = 0$ なら $r = ℓ$ の円で，前の題材の実効ポテンシャルの底の半径 $r_{0} = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$ と一致します． $θ = 0, π$ を入れると $r_{p} = \frac{ℓ}{1 + e}$ ， $r_{a} = \frac{ℓ}{1 - e}$ で，足すと $\frac{2 ℓ}{1 - e^{2}} = 2 a$ となり， $ℓ = a (1 - e^{2})$ です．

［図：離心率を変えた円錐曲線の軌道］

ℓを一定にし，離心率eを0から1.5まで変える．初期状態はe=0.50の楕円．Oの上下の距離ℓの2点は固定され，軌道は円，楕円，放物線，双曲線と変わる．遠方へ伸びる部分は画面の外へ続く．

どの形になるかは，エネルギーで決まります．近点では $\dot{r} = 0$ なので， $E = U_{eff} (r_{p}) = \frac{L^{2}}{2 m r_{p}^{2}} - \frac{G M m}{r_{p}}$ です． $L^{2} = G M m^{2} ℓ$ と $\frac{1}{r_{p}} = \frac{1 + e}{ℓ}$ を入れると

E = \frac{G M m}{2 ℓ} [(1 + e)^{2} - 2 (1 + e)] = \frac{G M m}{2 ℓ} (e^{2} - 1)

です．

離心率	軌道	エネルギー
$e = 0$	円	$E = - \frac{G M m}{2 ℓ}$ （最小）
$0 < e < 1$	楕円	$E < 0$
$e = 1$	放物線	$E = 0$
$e > 1$	双曲線	$E > 0$

重力のポテンシャルの題材で述べた，エネルギーの符号による軌道の分類は，ここから出てきます．円と楕円の束縛された軌道では $ℓ = a (1 - e^{2})$ を入れて $E = - \frac{G M m}{2 a}$ です．

軌道を決める量

楕円を決めるのに，エネルギーと角運動量の2つが働きます．

法則楕円軌道のエネルギーと速さ

質量 $m$ の物体が，質量 $M$ の天体（ $m$ は $M$ よりずっと小さく，天体は動かないとみなす）のまわりで長半径 $a$ の楕円軌道を描くとき

力学的エネルギーは $E = - \frac{G M m}{2 a}$ ．長半径だけで決まり，離心率にはよらない．
距離 $r$ の点での速さは $v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ ．
近点と遠点では速度が中心からの位置ベクトルに垂直なので，角運動量の大きさは $m r v$ となり，その保存から $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ ．近点が最も速い．
周期は $T = 2 π \sqrt{\frac{a^{3}}{G M}}$ （ケプラーの第3法則の一般形）．

1番目の式は，上で導いたとおりです．円軌道（ $r = a$ ）の $E = - \frac{G M m}{2 r}$ の $r$ が $a$ に置き換わった形です．近点・遠点での保存則の連立から出す方法も，次の節で示します．2番目の式は， $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r}$ に1番目を入れれば出ます．

周期の式は，面積速度から出せます．質点の面積速度は $\frac{L}{2 m}$ で一定でした．1周で楕円の面積 $π a b$ を掃くので， $T = \frac{2 π a b m}{L}$ です．短半径 $b$ については $b^{2} = a^{2} (1 - e^{2}) = a ℓ$ だから

T^{2} = \frac{4 π^{2} a^{2} \cdot a ℓ m^{2}}{L^{2}} = \frac{4 π^{2} a^{3}}{G M}

となります．円軌道で学んだ $T^{2} \propto r^{3}$ の $r$ を，長半径 $a$ に置き換えた形です．

速さを上げると

円軌道の半径を $r$ ，その速さを $v_{c} = \sqrt{G M / r}$ とし，噴射で速さが $v = (1 + ε) v_{c}$ （ $ε$ は 0.01 程度）になったとします．向きは変わらないので，この点は新しい軌道の近点です．エネルギーは

E = \frac{1}{2} m (1 + ε)^{2} v_{c}^{2} - m v_{c}^{2} = - \frac{1}{2} m v_{c}^{2} (1 - 2 ε - ε^{2})

で， $E = - G M m / 2 a$ と比べると，長半径は $a = \frac{r}{1 - 2 ε - ε^{2}} \approx r (1 + 2 ε)$ です．遠点までの距離は $r_{a} = 2 a - r \approx r (1 + 4 ε)$ ．速さを 1 %上げると，反対側の遠点の中心からの距離は約 4 %増えます（地表からの高度の増え方は，この距離から地球半径を引いて考えます）．

**［図：円軌道から楕円軌道へ］**
元の円と加速後の楕円は噴射点で接し，天体は楕円の焦点に位置する．変化を見やすく誇張した．

高度 $400 km$ （ $r = 6.77 \times 10^{6} m$ ）の円軌道で $v_{c} = 7.67 km s^{- 1}$ ，周期は約 92 分です．ここで 1 %加速すると，遠点は約 $280 km$ 高くなり，周期は約 3 %延びて 95 分ほどになります．近点では円軌道より速く，遠点では $v_{a} = \frac{r_{p}}{r_{a}} v \approx 0.97 v_{c}$ と，その高さの円軌道の速さ（約 $0.98 v_{c}$ ）よりも遅くなります．

この性質は，軌道の乗り換えに使われます．半径 $r_{1}$ の円軌道から，より大きな半径 $r_{2}$ の円軌道へ移るには，まず $r_{1}$ で加速して，遠点が $r_{2}$ になる楕円軌道に入ります．このホーマン遷移軌道の長半径は $a = \frac{r_{1} + r_{2}}{2}$ で，遠点に着いたら，もう一度加速して円軌道に入ります．遠点では円軌道の速さに足りないので，加速が必要になるのです．

**［図：ホーマン遷移の2回の加速］**
2円に接する半楕円を通る．1では上向き，2では下向きの接線方向に加速する．

逆に減速すれば近点が下がり，大気の中に入れば帰還できます．同じ軌道上で前を飛ぶ衛星に追いつきたいとき，加速するとかえって遠ざかります．加速で高い軌道に移り，周期が長くなるからです．先に減速して低い軌道で追い付き，再び元の軌道に戻る手順になります．

ポイントここまでのまとめ

楕円軌道は，長半径 $a$ ，離心率 $e$ で決まる． $r_{p} = a (1 - e)$ ， $r_{a} = a (1 + e)$ ．
$u = 1 / r$ は $\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{1}{ℓ}$ を満たし，軌道の式 $r = \frac{ℓ}{1 + e \cos θ}$ （ $ℓ = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$ ）が導ける． $E = \frac{G M m}{2 ℓ} (e^{2} - 1)$ なので， $e = 0$ 円， $e < 1$ 楕円， $e = 1$ 放物線， $e > 1$ 双曲線．
エネルギーは $E = - \frac{G M m}{2 a}$ ．速さは $v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ ．近点と遠点では $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ ．
周期は $T = 2 π \sqrt{a^{3} / G M}$ ．円軌道の $r$ を $a$ に替えた形である．
問いの答え：円軌道で速さを少し上げると，その点を近点とする楕円軌道になる．反対側の遠点が高くなり，周期も延びる．速くなるのは近点付近だけで，遠点付近ではむしろ遅い．