万有引力と天体

軌道の演習

著者：柚木芹香

円と楕円を見分け，近点・遠点の距離を中心から測りましょう．中心天体の質量を $M$ ，衛星の質量を $m$ とし，噴射のない区間では万有引力だけが働くものとします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

楕円軌道の近点距離が $2 d$ ，遠点距離が $6 d$ である．

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考え方 近点・遠点の距離の和が長軸の長さであり，天体は楕円の中心ではなく焦点にある．周期とエネルギーは長半径だけで決まる．

$a = (2 d + 6 d) / 2 = 4 d$ ， $e = (6 d - 2 d) / (6 d + 2 d) = 1 / 2$ ．また $b^{2} = r_{p} r_{a} = 12 d^{2}$ より $b = 2 \sqrt{3} d$ ．焦点の中心からのずれは $a e = 2 d$ である．ここで $a$ を近点距離と取り違えないようにする．
両軌道とも $a = 4 d$ に対応するため，周期は $T = 2 π \sqrt{(4 d)^{3} / (G M)}$ ，エネルギーは $E = - G M m / (8 d)$ で等しい．ただし楕円では速さが場所によって変化し，円では一定である．周期が等しいことは，各点での速さが等しいことや，軌道の周長が等しいことを意味しない．離心率を変えても長半径を保つ限り，この2量は変わらない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $r$ の円軌道を進む衛星の速さを，瞬間的な接線噴射で $v^{'} = \sqrt{3 / 2} \sqrt{G M / r}$ に増やす．

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考え方 噴射中に位置は変わらず，噴射後のエネルギーから長半径が求まる．速さが円軌道より大きく脱出速度より小さいので，噴射点は楕円の近点になる．

$E^{'} / m = 3 G M / (4 r) - G M / r = - G M / (4 r)$ ．これを $- G M / (2 a)$ と比較して $a = 2 r$ ．近点は $r_{p} = r$ なので， $r_{a} = 2 a - r = 3 r$ ．実際，噴射直後の動径加速度は $v^{' 2} / r - G M / r^{2} = G M / (2 r^{2}) > 0$ で，中心距離は増え始める．
噴射後は $L$ が保存するから $r v^{'} = 3 r v_{a}$ より $v_{a} = v^{'} / 3 = \sqrt{G M / (6 r)}$ ．周期は長半径の $3 / 2$ 乗に比例するので $T^{'} / T = 2^{3 / 2} = 2 \sqrt{2}$ ．噴射直後に速くなっても，周回の大部分を遠方で過ごすため1周は長くなる．噴射をまたいで角運動量が保存するとしてはいけない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $r$ の円軌道で接線方向に減速し，速さを $v^{'} = \sqrt{2 / 3} \sqrt{G M / r}$ にする．中心天体の半径は $R < r$ である．

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考え方 減速すると半径一定の円運動を支える速さが不足し，中心距離は減り始める．したがって噴射点は遠点として扱う．

$E^{'} / m = G M / (3 r) - G M / r = - 2 G M / (3 r)$ より $a = 3 r / 4$ ．遠点距離は $r_{a} = r$ だから $r_{p} = 2 a - r = r / 2$ である．また噴射直後に $\dot{r} = 0$ ， $\ddot{r} = v^{' 2} / r - G M / r^{2} = - G M / (3 r^{2}) < 0$ なので，遠点という判断も確認できる．近点速さは角運動量保存から噴射直後の2倍になる．
接触を避けるには $r_{p} > R$ ，すなわち $r > 2 R$ が必要である． $r = 2 R$ なら理想的には地表に接するが，接触しないという条件は満たさない． $r < 2 R$ なら計算上の楕円は地球の内部を通るため，外部の逆2乗力だけで楕円を1周するという予測は適用できない．実際に地表へ達するまでの外部軌道にだけこの解を使える．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $r$ の円軌道から半径 $4 r$ の同一平面・同方向の円軌道へ，ホーマン遷移で移る． $v_{c} = \sqrt{G M / r}$ ，元の円軌道の周期を $T_{c}$ とする．

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考え方 遷移楕円の両端の速さと，それぞれの円軌道の速さとの差をとる．噴射は瞬間的とし，飛行時間は楕円の半周期で求める．

$a = 5 r / 2$ なので，近点で $v_{p}^{2} = G M {2 / r - 2 / (5 r)} = 8 v_{c}^{2} / 5$ ．遠点では角運動量保存から $v_{a} = v_{p} / 4 = v_{c} / \sqrt{10}$ ．外側の円速度は $v_{c} / 2$ である．したがって

Δ v_{1} = (\sqrt{8 / 5} - 1) v_{c}, Δ v_{2} = (1 / 2 - 1 / \sqrt{10}) v_{c}

となる．合計は約 $0.449 v_{c}$ で，両方とも進行方向への速度増分である．

$t = π \sqrt{(5 r / 2)^{3} / (G M)} = \frac{1}{2} (5 / 2)^{3 / 2} T_{c} \approx 1.98 T_{c}$ ．遠点速度は約 $0.316 v_{c}$ で，そこにとどまる円速度 $0.500 v_{c}$ より遅い．2回目を省けば再び内側へ落ちて元の近点へ戻るため，遠点での加速が必要になる．軌道が高くなるにつれ円速度が小さくなることだけから，2回目を減速と判断してはいけない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量の等しい2機の衛星が，同じ長半径 $a$ をもつ別々の楕円軌道を進む．離心率はそれぞれ $e_{1} = 1 / 5$ ， $e_{2} = 3 / 5$ である．

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考え方 エネルギーは速さ全体を決め，角運動量はそのうち接線方向の成分を決める．同じ場所で同じ速さでも，速度の向きまで同じとは限らない．

$E = - G M m / (2 a)$ より $E_{2} / E_{1} = 1$ ． $L^{2} = G M m^{2} a (1 - e^{2})$ より $L_{2} / L_{1} = \sqrt{(16 / 25) / (24 / 25)} = \sqrt{2 / 3}$ ．離心率が大きい方の角運動量は小さい．
$v^{2} = G M (2 / a - 1 / a) = G M / a$ なので，共通の速さを $v_{*} = \sqrt{G M / a}$ と書ける．接線速度は $v_{t} = L / (m a) = v_{*} \sqrt{1 - e^{2}}$ ．外向きの動径速度は $v_{r} = \sqrt{v_{*}^{2} - v_{t}^{2}} = e v_{*}$ である．したがって1機目は $(v_{r}, v_{t}) = (v_{*} / 5, 2 \sqrt{6} v_{*} / 5)$ ，2機目は $(3 v_{*} / 5, 4 v_{*} / 5)$ ．内向きなら動径成分だけが負になる．エネルギーの等しさだけから軌道が同じだとは結論できない．

ポイント教える人へ