万有引力と天体

球対称な質量分布と潮汐

著者：柚木芹香

問い

地球に，中心を通るまっすぐなトンネルを掘ったとします．空気抵抗も摩擦もなく，地球は密度が一様な球だとします．地表の入口から静かに飛び込むと，どんな運動をするでしょうか．

考えてみる

万有引力の法則 $F = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ は，大きさの無い質点どうしの式でした．地球は無数の質点の集まりなので，本来は各部分からの力を全て足さなければなりません．これまで $g = G M / R^{2}$ を使えたのは，地球全体の質量が中心に集まったものとして扱ったからで，その根拠は確かめていません．

トンネルの中では，もっと困ります．中心からの距離が $r$ の点で，中心に質量が集まったと考えて $G M m / r^{2}$ とすると， $r \to 0$ で力が無限大になってしまいます．しかし実際には，まわり中から引かれて打ち消し合うはずです．どこまでが中心に集まったと見なせて，どこから打ち消し合うのでしょうか．

球殻の定理

球を同心の薄い殻に分けて考えると，答えが単純になります．

定理球殻の定理

質量 $M_{s}$ ，半径 $a$ の一様な薄い球殻が，中心から距離 $r$ の質量 $m$ の質点に及ぼす万有引力は

殻の外（ $r > a$ ）：中心に質量 $M_{s}$ が集まった質点と同じ．大きさ $\frac{G M_{s} m}{r^{2}}$ ，向きは中心向き．
殻の内（ $r < a$ ）：0．

位置エネルギーは，外で $U = - \frac{G M_{s} m}{r}$ ，内で一定値 $U = - \frac{G M_{s} m}{a}$ である．

殻の内側で力が0になるわけは，次のように見えます．殻の内側の点 P から，ごく小さな同じ開き角（立体角）の円錐を，反対向きに2本伸ばします．円錐が殻を切り取る面積は，P からの距離の2乗に比例します（殻に斜めに当たる角度は，両側で等しくなります）．近い側の面積は小さいのですが，近い分だけ力が強く，その質量が及ぼす力は距離の2乗に反比例するので，両側の力は同じ大きさになります．向きは逆なので，力は消えます．面積が距離の2乗に比例し，力が距離の2乗に反比例するからで，万有引力が $1 / r^{2}$ だから成り立つ性質です．

**［図：球殻の内側での相殺］**
殻内の点から反対向きに伸びる円錐の断面を示す．遠い切り口ほど大きく，距離による減衰と打ち消し合う．

殻の外では，この打ち消しは起きませんが，積分すると中心に集まった質点と同じ結果になります．その証明は次の節で，位置エネルギーを使って行います．

一様な球の内部

球殻の定理から，一様な球（質量 $M$ ，半径 $R$ ）の内部の重力が決まります．中心から $r$ の点を考えると， $r$ より外側の殻は力を及ぼさず，内側の殻は合わせて質量

M (r) = M \frac{r^{3}}{R^{3}}

が中心に集まった質点として働きます．よって

F = \frac{G M (r) m}{r^{2}} = \frac{G M m}{R^{3}} r = \frac{m g}{R} r (r \leq R)

です． $g = G M / R^{2}$ を使いました．外（ $r \geq R$ ）では $F = G M m / r^{2}$ です．内部の重力は中心からの距離に比例し，地表で最大の $m g$ になります．

**［図：一様球の内外の重力］**
内部のF/mg=r/Rと外部のF/mg=(R/r)²を数値計算し，表面で連続につないだ．

トンネルの中の運動

中心を原点にトンネルに沿って $x$ 軸をとります．このとき質点に働く力は中心向きで， $F = - \frac{m g}{R} x$ です．運動方程式は

m \ddot{x} = - \frac{m g}{R} x

で，これはばねと同じ形です．よって単振動で，角振動数と周期は

ω = \sqrt{\frac{g}{R}}, T = 2 π \sqrt{\frac{R}{g}}

となります． $R = 6.37 \times 10^{6} m$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ を入れると $T \approx 5.1 \times 10^{3} s$ ，つまり約 84 分です．振幅は $R$ なので，反対側の出口にちょうど届いて止まります．片道は約 42 分です．中心を通るときの速さが最大で， $ω R = \sqrt{g R} \approx 7.9 km s^{- 1}$ です．

**［図：直径トンネルの復元力］**
物体は位置xから中心向きにF=−mgx/Rの力を受ける．

この周期 84 分は，地表すれすれを回る人工衛星の周期 $2 π R / \sqrt{g R} = 2 π \sqrt{R / g}$ と同じです．偶然ではありません．一様な球の内部では，半径 $r$ の円運動の角速度も，力 $\frac{m g}{R} r = m ω^{2} r$ から $ω = \sqrt{g / R}$ で， $r$ によりません．円運動を横から見た影が単振動になるので，トンネルを往復する運動は，この円運動を射影したものになっているのです．

実際の地球は一様ではなく，中心ほど密度が高くなっています．そのため内部の重力は中心近くまであまり弱まらず，周期は 84 分より少し短くなります．ここで使った一様な球は，その近似にすぎません．

潮汐

球殻の定理は，球対称な天体なら点とみなせることを保証しました．ただし地球には大きさがあるので，月や太陽の引力は，地球の場所によってわずかに違います．この差が潮汐を生みます．

地球全体は月の引力で，月の方へ加速されています．その加速度は，地球の中心での値 $G M_{m} / r^{2}$ です．地球の月側の海は，中心より月に近く，より強く引かれます．反対側の海は，中心より遠く，弱く引かれます．中心を基準に見ると，月側は月へ向かって余分に引かれ，反対側は月と逆に取り残されるので，海水は両側に盛り上がります．

この「中心での引力との差」が潮汐力です．月による潮汐の目安として，多くの海域では約 12 時間 25 分ごとに満潮が来ます（地球が自転して月に再び同じ向きになるまでに約 24 時間 50 分かかり，その半分です）．ただし，1日に1回だけの海域や両者の混ざった海域もあり，実際の満潮の時刻や回数は海域によって異なります．潮汐力は距離の3乗に反比例します（次の節で示す）．太陽の引力は月の約 180 倍ですが，太陽は月よりずっと遠いので，潮汐力は月の方が約 2 倍大きくなります．新月と満月では太陽と月が一直線に並び，潮汐力が重なって大潮になります．

ポイントここまでのまとめ

一様な薄い球殻は，外の質点には中心に質量が集まった質点として，内の質点には力を及ぼさない（球殻の定理）．万有引力が $1 / r^{2}$ だから成り立つ．
一様な球の内部では，内側の質量だけが中心に集まったものとして働き，重力は $F = \frac{m g}{R} r$ と中心からの距離に比例する．
トンネルの中の運動は， $T = 2 π \sqrt{R / g} \approx 84$ 分の単振動で，地表すれすれの円軌道と周期が等しい．
潮汐力は，月や太陽の引力の，場所による差である．
問いの答え：地球を一様な球と見なすと，トンネル内の質点は中心を中心に単振動する．約 84 分で往復し，中心を通るとき最も速い．