万有引力と天体

置換積分による球殻の定理と潮汐の近似

著者：柚木芹香

球殻の定理は位置エネルギーの積分で，潮汐力はテイラー展開の最初の項で示せます．

定理数学の道具：球殻の定理の証明と潮汐力の近似

球殻の定理の証明． 質量 $M_{s}$ ，半径 $a$ の薄い球殻の中心 O から距離 $r$ に，質点 $m$ の点 P を置く．殻を，OP 軸からの角が $α$ から $α + d α$ の輪に分ける．面密度 $\frac{M_{s}}{4 π a^{2}}$ と輪の面積 $2 π a^{2} \sin α d α$ から，輪の質量は

d M = \frac{M_{s}}{2} \sin α d α

である．輪の上の点は P から同じ距離 $s$ にあり， $s^{2} = a^{2} + r^{2} - 2 a r \cos α$ ．これを微分して $\sin α d α = \frac{s d s}{a r}$ ．無限遠を基準にした位置エネルギーは，輪の寄与 $- \frac{G m d M}{s}$ の和で

U = - \frac{G M_{s} m}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin α d α}{s} = - \frac{G M_{s} m}{2 a r} \int_{s_{min}}^{s_{max}} d s = - \frac{G M_{s} m}{2 a r} (s_{max} - s_{min})

となる．外（ $r > a$ ）では $s$ は $r - a$ から $r + a$ までで差は $2 a$ ， $U = - \frac{G M_{s} m}{r}$ ．内（ $r < a$ ）では $a - r$ から $a + r$ までで差は $2 r$ ， $U = - \frac{G M_{s} m}{a}$ で一定になる．力は $F = - \frac{d U}{d r}$ なので，外では $- \frac{G M_{s} m}{r^{2}}$ （中心向き），内では 0 である．

潮汐力の近似． 質量 $M$ の天体から距離 $r$ にある物体の中心から，天体の方へ $d$ （ $r$ より十分小さい）進んだ点の引力による加速度と，中心での値 $\frac{G M}{r^{2}}$ との差は

\frac{G M}{(r - d)^{2}} - \frac{G M}{r^{2}} = \frac{G M}{r^{2}} [{(1 - \frac{d}{r})}^{- 2} - 1] \approx \frac{2 G M d}{r^{3}}

である（ $(1 + h)^{n} \approx 1 + n h$ ）．反対側の $- d$ の点では向きが逆になる．質量 $m$ には潮汐力 $\frac{2 G M m d}{r^{3}}$ が働き， $r$ の3乗に反比例する．

練習 1． (1) 一様な地球で，深さ $100 km$ の重力加速度は，地表より何 %小さいか．(2) 月が今の半分の距離にあると，潮汐力は何倍か．

答え：(1) $g \frac{r}{R}$ より $\frac{100}{6370} \approx 1.6$ %．　(2) $r^{- 3}$ に比例するので 8 倍．

練習 2． (1) 一様な地球で，重力加速度が地表の半分になる深さを求めよ（ $R = 6370 km$ ）．(2) 月の質量が2倍で距離も2倍なら，潮汐力は何倍か．

答え：(1) $r = R / 2$ なので深さは約 $3.2 \times 10^{3} km$ ．(2) 質量に比例し $r^{- 3}$ に比例するので $2 / 2^{3} = \frac{1}{4}$ 倍．

例題

地球について， $g = 9.8 m s^{- 2}$ ，半径 $R = 6.37 \times 10^{6} m$ とし，地球は密度が一様な球とする．

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

地球の中心を通る直線のトンネルがあり，地表の入口から静かに質点を放す．空気抵抗と摩擦は無視する．

周期を求めよ．
中心から $R / 2$ の位置を通るときの速さを求めよ．

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考え方 内部の重力 $F = - \frac{m g}{R} x$ による，中心を原点とする単振動である．

$ω = \sqrt{g / R}$ ， $T = 2 π \sqrt{R / g} \approx 5.1 \times 10^{3} s$ （約 84 分）．
振幅は $R$ なので，位置 $x$ での速さは $v = ω \sqrt{R^{2} - x^{2}}$ ． $x = R / 2$ のとき $v = \sqrt{\frac{g}{R}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} R = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{g R} \approx 6.8 \times 10^{3} m s^{- 1}$ ．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

地表の2点 A，B を結ぶ，なめらかな直線のトンネルがある．トンネルは地球の中心 O から最短距離 $d = R / 2$ の所を通る．A から静かに質点を放す．

**［図：弦のトンネルと力の分解］**
中心から距離dを隔てた弦ABと，中心向きの重力の沿う成分・垂直成分を示す．

A から B まで進むのに要する時間を求めよ．
最大の速さを求めよ．
中点 C で質点がトンネルの壁から受ける垂直抗力の大きさを求めよ．

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考え方 力 $F = - \frac{m g}{R} r$ を，トンネルに沿う成分と垂直な成分に分ける．

中点 C を原点にトンネルに沿って $x$ をとると，位置ベクトルの成分は沿う方向に $x$ ，垂直方向に $d$ ．力の成分は沿う方向に $- \frac{m g}{R} x$ ，垂直方向に $- \frac{m g}{R} d$ で，後者は壁の垂直抗力が打ち消す．

沿う方向の運動方程式は $m \ddot{x} = - \frac{m g}{R} x$ で，中心を通るトンネルと同じ $ω = \sqrt{g / R}$ ．周期は約 84 分で，A から B までは半周期の約 42 分である．弦の長さによらない．
振幅は弦の長さの半分 $\sqrt{R^{2} - d^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} R$ で，最大の速さは C を通るときの $ω \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} R = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{g R} \approx 6.8 \times 10^{3} m s^{- 1}$ ．
垂直方向には動かないので $N = \frac{m g}{R} d = \frac{m g}{2}$ ．位置によらない．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

月による地球の潮汐力を見積もる．月の質量 $M_{m} = 7.35 \times 10^{22} kg$ ，月までの距離 $r_{m} = 3.84 \times 10^{8} m$ ，太陽の質量 $M_{⊙} = 1.99 \times 10^{30} kg$ ，太陽までの距離 $r_{⊙} = 1.50 \times 10^{11} m$ を使え．

**［図：月の引力と潮汐加速度］**
上段はすべて月向きの引力による加速度，下段は中心の加速度を引いた差．長さは違いを誇張している．

月の引力による，地球の中心での加速度を求めよ．
月に最も近い地表の点の，中心に対する加速度の差（潮汐加速度）と， $g$ との比を求めよ．
太陽による潮汐加速度は，月による潮汐加速度の何倍か．

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考え方 潮汐加速度 $\frac{2 G M d}{r^{3}}$ で $d = R$ とおく．

$\frac{G M_{m}}{r_{m}^{2}} = \frac{6.67 \times 10^{- 11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} \approx 3.3 \times 10^{- 5} m s^{- 2}$ ．
$\frac{2 G M_{m} R}{r_{m}^{3}} = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{- 11} \times 7.35 \times 10^{22} \times 6.37 \times 10^{6}}{(3.84 \times 10^{8})^{3}} \approx 1.1 \times 10^{- 6} m s^{- 2}$ ． $g$ との比は約 $1.1 \times 10^{- 7}$ ．
太陽による潮汐加速度は同様に約 $5.0 \times 10^{- 7} m s^{- 2}$ ．比は $\frac{M_{⊙} / r_{⊙}^{3}}{M_{m} / r_{m}^{3}} \approx 0.45$ 倍で，月の方が約 2.2 倍大きい．

ポイントここまでのまとめ

球殻の定理は，輪の寄与を $s$ で置換積分して示せる． $s_{max} - s_{min}$ は外で $2 a$ ，内で $2 r$ なので， $U$ は外で $- G M_{s} m / r$ ，内で一定．
一様な球の内部の重力は $\frac{m g}{R} r$ ．中心を通らない弦のトンネルでも，周期は $2 π \sqrt{R / g}$ （約 84 分）である．
潮汐力 $\frac{2 G M m d}{r^{3}}$ は，引力の差を $(1 + h)^{n} \approx 1 + n h$ で近似して得られる．