万有引力と天体

球対称な質量分布と潮汐の演習

著者：柚木芹香

球殻の定理を使う前に，観測点より内側の質量を数えましょう．天体の自転，空気抵抗，トンネルを掘ったことによる質量の減少は無視します．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $M_{s}$ ，半径 $R$ の一様な薄い球殻がある．中心距離 $R / 2$ の点Pと $2 R$ の点Qに，質量 $m$ の粒子を置く．

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考え方 球殻の内側では各部分の引力が打ち消し合う．ただし力は位置エネルギーの微分に関係するので，力が0でも位置エネルギーの定数値は残る．

Pでは重力は0．Qは殻の外なので，全質量を中心に置いたものと同じになり，大きさ $G M_{s} m / (4 R^{2})$ の中心向きの力が働く．近い側の殻だけを見て判断せず，殻全体の寄与を足す必要がある．
Qでは $U_{Q} = - G M_{s} m / (2 R)$ ．殻内部では一定で，表面の値につながるので $U_{P} = - G M_{s} m / R$ ．内部の2点間では仕事は0だが，内部から無限遠へ運ぶには殻の外側で正の仕事が必要である．そのため無限遠基準では内部の値は負になる．位置エネルギーの0点を別に選んでも力は変わらないが，この問題では無限遠を0と指定している．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R$ ，質量 $M$ の一様な球を考える．表面の重力加速度を $g$ とする．

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考え方 内部では観測点より外の球殻が力を及ぼさない．外部では全質量を使えるので，内側と外側で異なる距離依存性を使う．

深さ $R / 4$ は中心距離 $r = 3 R / 4$ に対応する．内側の質量は $M (r) = M (r / R)^{3}$ であり， $g (r) = G M (r) / r^{2} = g r / R$ ．したがって $g (r) = 3 g / 4$ となる．もし $g = 9.8 m s^{- 2}$ なら約 $7.4 m s^{- 2}$ である．
外部の中心距離を $s$ とすれば， $g R^{2} / s^{2} = 3 g / 4$ だから $s = 2 R / \sqrt{3}$ ．求める高度は $h = s - R = (2 / \sqrt{3} - 1) R \approx 0.155 R$ である．内部の深さと外部の高度は等しくない．一様な球では地表で重力が最大となるので，最大値より小さい重力に対応する位置は，通常は内外に1つずつ存在する．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

一様な球の中心を通る細い直線トンネルがある．中心から $A = R / 2$ の位置で物体を静かに放す．表面の重力加速度は $g$ である．

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考え方 内部の力は変位に比例するので，振幅を変えても角振動数は変わらない．位置の原点を球の中心にとり，初期条件を入れる．

運動方程式は $m \ddot{x} = - m g x / R$ ．したがって $ω = \sqrt{g / R}$ ， $x = A \cos ω t$ である．周期は $T = 2 π \sqrt{R / g}$ ，最大速度は中心で $v_{max} = A ω = \sqrt{g R} / 2$ となる．最大速度は振幅に比例するので，地表から放した場合の半分である．
最初の $x = 0$ は $ω t = π / 2$ なので $t = π \sqrt{R / g} / 2 = T / 4$ ．地表から放しても同じである． $R = 6.37 \times 10^{6} m$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ なら約 $1.3 \times 10^{3} s$ ，約21分となる．距離が半分でも，重力も弱く，速さが全過程で半分になるので所要時間は変わらない．この結論には一様密度という条件が不可欠である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R$ の球は半径 $R / 2$ の核と，その外の層からなる．核の密度は $2 ρ$ ，外層の密度は $ρ$ である．

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考え方 球全体を平均密度の一様球に置き換えると，内部の重力を誤る．各半径までの質量を体積で積算する．

全質量は $M = (4 π / 3) ρ {R^{3} + (R / 2)^{3}} = 3 π ρ R^{3} / 2$ ．核内では $M (r) = 8 π ρ r^{3} / 3$ より $g (r) = 8 π G ρ r / 3$ ．外層では $M (r) = (4 π ρ / 3) (r^{3} + R^{3} / 8)$ なので

g (r) = \frac{4 π G ρ}{3} (r + \frac{R^{3}}{8 r^{2}})

である．ここでは $g (r)$ は中心向き加速度の大きさを表し，中心で0とする．

内外の式に $r = R / 2$ を入れると，どちらも $g (R / 2) = 4 π G ρ R / 3$ ．表面では $g (R) = 3 π G ρ R / 2$ なので比は $8 / 9$ である．密度が跳んでも，厚さ0の境界に有限の質量が集中していなければ，内包質量も重力も連続になる．ただし重力の傾きは連続とは限らず，外層で常に単純な比例になるわけでもない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ の遠方の天体が，原点Oから $x$ 軸の正方向へ距離 $D$ にある．Oとともに自由落下する，回転しない座標系で考える． $| x |, | y |$ は $D$ より十分小さい．

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考え方 潮汐は重力そのものではなく，共通に落下する原点の重力を引いた差である．垂直方向では力の大きさだけでなく向きの違いを考える．

$x$ 方向の差は $G M / (D - x)^{2} - G M / D^{2}$ ． $(1 - x / D)^{- 2} \approx 1 + 2 x / D$ を用いて $δ a_{x} \approx 2 G M x / D^{3}$ ．正負どちらの $x$ でも原点から離れる向きであり，天体と結ぶ方向には引き伸ばす作用をする．
点 $(0, y)$ の加速度は $G M (D, - y) / (D^{2} + y^{2})^{3 / 2}$ ． $x$ 成分とOの値の差は $y$ の2次から始まるため，1次では0． $y$ 成分は $δ a_{y} \approx - G M y / D^{3}$ となる．こちらは原点の方へ戻す向きで，横方向には圧縮する．同じ微小距離なら大きさは(1)の半分である．潮汐をあらゆる向きに一様に引き伸ばす力として描くことはできない．

ポイント教える人へ