力と運動の法則

圧力と浮力の演習

著者：柚木芹香

圧力は面を押す強さ，浮力は表面に働く力の合計です．水面，圧力を比べる高さ，液体に入っている体積を図で確かめてから式を立ててください．特に断らない限り，液体は静止し，水の密度は $ρ_{w} = 1.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ とします．空気の浮力，糸の体積，表面張力を無視します．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

密度 $8.0 \times 10^{2} kg m^{- 3}$ の油を厚さ $0.25 m$ だけ水の上に重ねる．水中の圧力計は，境目から $0.40 m$ 下にある．液面の大気圧を $p_{0} = 1.0 \times 10^{5} Pa$ とする．

圧力計の位置の圧力を求めよ．
圧力計の小さな受圧面を水平から鉛直に回すと，圧力の値は変わるか．

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考え方 境目で圧力は連続する．液面から計器まで，層ごとの圧力増加を足す．

$p - p_{0} = ρ_{o} g \times 0.25 + ρ_{w} g \times 0.40 = 5880 Pa$ だから， $p \approx 1.06 \times 10^{5} Pa$ ．計算の内訳を示すため桁を残した．圧力増加は約 $5.9 \times 10^{3} Pa$ である．
同じ位置なら変わらない．静止した流体の圧力は面の向きによらず，力の向きだけが面に垂直な向きへ変わる． $ρ g h$ の単位は $kg m^{- 1} s^{- 2} = Pa$ ．油の厚さを0にすれば水だけの式に戻る．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m = 0.12 kg$ ，外側の断面積 $S = 4.0 \times 10^{- 4} m^{2}$ の密閉した細長い円筒を，鉛直に浮くように下端へおもりを内蔵した密度計として使う．液体に沈む部分の長さを $d$ とする．外側は一様な円筒形で，長さは $0.50 m$ ．

密度 $ρ$ と $d$ の関係を求めよ．水と密度 $8.0 \times 10^{2} kg m^{- 3}$ の液体での $d$ を計算せよ．
密度に等間隔の目盛りをつけると，円筒上でも等間隔になるか．

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考え方 液体を押しのける体積は $S d$ ．液体の密度が変わっても密度計の重さは変わらない．

$ρ S d g = m g$ より $d = m / (ρ S)$ ．水では $d = 0.30 m$ ，もう一方では $d = 0.375 m \approx 0.38 m$ ．どちらも円筒の長さ未満で，液面から上に出る部分がある．
$d$ は $ρ$ の逆数に比例するので等間隔にならない． $\frac{d d}{d ρ} = - m / (S ρ^{2})$ だから，密度が大きい側ほど目盛りの間隔は狭い． $m / (ρ S)$ は長さの次元をもち，密度が大きい液体では浅く沈むという直感とも合う．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

同じ固体をばねばかりでつり，空気中では $2.94 N$ ，水に完全に沈めると $1.96 N$ ，未知の液体に完全に沈めると $2.16 N$ を示した．固体は容器に触れず，液体を吸収しない．

固体の体積と密度を求めよ．
未知の液体の密度を求めよ．

**［図：同じ固体を3つの環境でつる］**
同じ固体を3つの環境でつるを示す模式図．

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考え方 水中の目盛りは重力から浮力を引いた値である．固体の体積は変わらないので，目盛りの減少の比が液体の密度の比になる．

質量は $m = 2.94 / 9.8 = 0.300 kg$ ． $ρ_{w} V g = 2.94 - 1.96 = 0.98 N$ より $V = 1.0 \times 10^{- 4} m^{3}$ ．したがって $ρ_{s} = m / V = 3.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ．
$ρ / ρ_{w} = (2.94 - 2.16) / (2.94 - 1.96) = 0.78 / 0.98$ より $ρ \approx 8.0 \times 10^{2} kg m^{- 3}$ ．力の比は無次元である．目盛りが空気中と等しければ，この模型では液体の密度は0となる．水中でも張力が正なので，糸はたるまない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

体積 $V = 2.0 \times 10^{- 3} m^{3}$ ，密度 $ρ_{s} = 6.0 \times 10^{2} kg m^{- 3}$ の球を水に全部沈め，球から容器の底への鉛直な糸で止める．球の下面には水が回り込み，球は底に触れない．

糸の張力を求めよ．
糸を切った直後の球の加速度を求めよ．水の抵抗と，球の加速に伴って周囲の水を動かす効果は無視する模型とする．

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考え方 浮力が重力より大きいので，糸が下向きに球を引いている．切った直後には，その力だけがなくなる．

上向きを正にすると $ρ_{w} V g - ρ_{s} V g - T = 0$ ．よって $T = (ρ_{w} - ρ_{s}) V g = 7.84 N \approx 7.8 N$ ．
$m = ρ_{s} V = 1.2 kg$ だから $a = T / m \approx 6.5 m s^{- 2}$ ，鉛直上向きである．一般式は $a = g (ρ_{w} / ρ_{s} - 1)$ ．密度が等しければ張力も加速度も0になる．実際の液体では周囲の水も動くため，(2)は指定した模型での値である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

断面積が両脚とも $S = 2.0 \times 10^{- 4} m^{2}$ のU字管に水を入れ，初めの水面を同じ高さにする．左脚へ，水と混ざらない油（密度 $ρ_{o} = 7.5 \times 10^{2} kg m^{- 3}$ ）を体積 $60 {cm}^{3}$ だけ注ぐ．両端は大気に開いており，管は十分に長い．

左脚の水と油の境目が下がる距離と，右脚の水面が上がる距離を求めよ．
左の油面と右の水面の高低差を求め，どちらが高いか答えよ．

**［図：油を注ぐ前後のU字管］**
初めの水面と，左脚へ注ぐ油を示す．注いだ後の液面の高さは図に入れていない．

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考え方 同じ高さの水の圧力を等置するだけでなく，水の体積が変わらない条件も使う．

油の柱の高さは $h = 60 \times 10^{- 6} / S = 0.30 m$ ．左の境目が $x$ 下がると，両脚の断面積が等しいので右の水面は $x$ 上がる．境目の高さの圧力は，左では $p_{0} + ρ_{o} g h$ ，右では $p_{0} + ρ_{w} g (2 x)$ である．よって $x = ρ_{o} h / (2 ρ_{w}) = 0.1125 m \approx 0.11 m$ ．両方ともこの距離だけ動く．
油面は初めの高さより $h - x$ ，右の水面は $x$ 上なので，高低差は $h - 2 x = h (1 - ρ_{o} / ρ_{w}) = 0.075 m$ ．油面が高い．重力加速度は消え，密度の比と長さだけが残る．密度が等しければ高低差は0で，液面がそろう．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m = 0.50 kg$ ，体積 $V = 1.0 \times 10^{- 3} m^{3}$ の小さな球を水中に完全に沈め，水槽の左右の底に固定した2本の糸で静止させる．糸が球から下向きに延び，左の糸は鉛直と $30^{\circ}$ ，右の糸は鉛直と $60^{\circ}$ をなす．球は壁と底に触れない．

左右の糸の張力を求めよ．
液体の密度を徐々に下げるとき，同じ配置でつり合える密度の下限を求めよ．

**［図：下向きの2本の糸で止める球］**
下向きの2本の糸で止める球を示す模式図．

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考え方 重力と浮力の差を，2本の糸の鉛直成分で支える．水平成分は互いにつり合う．

左右の張力を $T_{1}, T_{2}$ とすると， $T_{1} \sin 30^{\circ} = T_{2} \sin 60^{\circ}$ ， $T_{1} \cos 30^{\circ} + T_{2} \cos 60^{\circ} = (ρ_{w} V - m) g = 4.9 N$ ．第1式より $T_{1} = \sqrt{3} T_{2}$ で，第2式は $2 T_{2} = 4.9$ ．したがって $T_{1} = 2.45 \sqrt{3} \approx 4.2 N$ ， $T_{2} = 2.45 \approx 2.5 N$ ．両方とも正なので，仮定した糸の向きと合う．
糸は押せないので $ρ V - m \geq 0$ が必要．下限は $ρ = m / V = 5.0 \times 10^{2} kg m^{- 3}$ ．等号では両張力が0で，張った糸で配置を保つにはこれより大きい密度が要る．下限より低いと球は沈み，この配置では静止できない．張力は $(ρ V - m) g$ に比例し，単位も力になる．

ポイント教える人へ

圧力計の向きを変える問いで，圧力と力の向きを区別できるか確かめる．
浮力の体積は，物体全体か沈んだ部分かを毎回指さして答えさせる．
U字管では，同じ高さの圧力の条件と，水の体積の条件を別々に説明させる．
糸の張力が負になったら，数値をそのまま採用せず，糸がたるむ条件へ戻らせる．