運動を記述する

放物運動

著者：柚木芹香

問い

木の枝に猿がぶら下がっています．離れた地面にいる猟師が，猿を狙って銃を構えました．猟師は猿をまっすぐ狙っていますが，弾が出る瞬間に猿は驚いて枝から手を離し，真下に落ち始めました．弾は重力で曲がりながら飛ぶので，猿のいた位置には届かないはずです．ところが猿も落ちています．

**［図：猟師と木の枝の猿］**
左下に猟師が立ち，銃口から右上の枝にぶら下がる猿の最初の位置へ向けて，狙う向きに直線を引く．水平面とのなす角はθ．銃口から猿の最初の位置までの水平距離がL，高さがH．猿の真下には落下の経路を赤い破線の矢印で示す．弾の軌道は描かない．

弾は猿に当たるでしょうか．それとも上を通り過ぎるのでしょうか．弾の速さで答えは変わるでしょうか．まず予想を立ててみてください．

考えてみる

手がかりは，重力が弾にも猿にもはたらくことです．重力がなければ，弾は狙った向きに一直線に進み，動かない猿に当たります．重力があると，弾は直線から下へ，猿も元の位置から下へずれます．そのずれはどちらも，時間 $t$ の間に $\frac{1}{2} g t^{2}$ で同じ大きさです．重力がなければ弾と猿は出会う時刻があるので，その時刻には両方が同じだけ下へずれ，やはり出会うはずです．

確かめるには，運動を水平方向と鉛直方向に分けて考えます．水平方向は等速，鉛直方向は $g$ の等加速度になります．この考え方で弾の運動を調べ，次の節の例題1で式を使って確かめます．

水平と鉛直の独立

物体を斜めに投げると，その位置は平面（水平方向と鉛直方向）の中を動きます．座標軸を水平に $x$ 軸，鉛直上向きに $y$ 軸をとり，加速度の成分は

a_{x} = 0, a_{y} = - g

です．水平方向には何も加速するものがなく，鉛直方向には重力加速度 $g$ だけが下向きにあります．空気抵抗は無視します．2つの方向は互いに影響しないので，それぞれを「等加速度運動と自由落下」の節の等加速度運動として別々に扱えます．これを独立といいます．

実験でも確かめられます．同じ高さから一方の球を静かに放し，同時にもう一方を水平に弾き出すと，2つの球は同時に床に着きます．連続写真に撮ると，2つの球は常に同じ高さにあり，弾き出した球が一定の間隔で横へ進んでいくのが見えます．水平に動いていても，鉛直方向の落ち方は変わらないのです．

法則放物運動（水平投射・斜方投射）

原点から，水平面と角 $θ$ をなす向きに，初速度の大きさ $v_{0}$ で投げたとき，時刻 $t$ の速度と位置は

v_{x} = v_{0} \cos θ, v_{y} = v_{0} \sin θ - g t

x = v_{0} \cos θ \cdot t, y = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

［図：斜方投射の軌道と速度の成分］

原点から斜め上に投げた物体の放物線の軌道を，水平方向をx，鉛直上向きをyとして描く．スライダーで射出角θを変えられ，初期状態はθ＝60°．軌道上の等しい時間間隔の5点に速度ベクトルを青い矢印で示し，その水平成分と鉛直成分を破線で示す．水平成分は5点とも同じ長さで，鉛直成分は上向きから最高点で0になり下向きに変わる．破線の軌道は45°の場合で，到達距離Rが最大．目盛はv0²/gを単位とする．

軌道の式

$t$ を消すと軌道の形が分かります． $t = \frac{x}{v_{0} \cos θ}$ を $y$ の式に入れて

y = x \tan θ - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ} x^{2}

です． $y$ は $x$ の2次式で，上に凸の放物線です． $\frac{1}{\cos^{2} θ} = 1 + \tan^{2} θ$ を使った形も書いておきます．

y = x \tan θ - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} (1 + \tan^{2} θ)

最高点と到達距離

最高点は $v_{y} = 0$ の瞬間です． $v_{0} \sin θ - g t = 0$ より，最高点に達する時刻と高さは

t_{1} = \frac{v_{0} \sin θ}{g}, H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{2 g}

で，最高点の速度は水平成分 $v_{0} \cos θ$ だけです．次に，投げた高さまで戻る時刻は，鉛直投げ上げと同じく最高点に達する時刻の2倍で，

T = \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}

です．この間に水平方向へ進む距離，つまり到達距離は

R = v_{0} \cos θ \cdot T = \frac{2 v_{0}^{2} \sin θ \cos θ}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 θ}{g}

です．最後の変形には2倍角の公式 $\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$ を使いました（次の節で復習します）．

たとえば $v_{0} = 20 m s^{- 1}$ ， $θ = 30^{\circ}$ なら，滞空時間は約2.0 s，最高点の高さは約5.1 m，到達距離は約35 m です．同じ初速で最も遠くへ飛ばすと約41 m（ $θ = 45^{\circ}$ ）になります．

最大の到達距離と2つの角

$R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 θ}{g}$ は $\sin 2 θ = 1$ ，すなわち $θ = 45^{\circ}$ のとき最大で，最大の到達距離は $\frac{v_{0}^{2}}{g}$ です．また，ある到達距離 $R$ （ $R < v_{0}^{2} / g$ ）を与える角は2つあります． $\sin 2 θ = \sin (180^{\circ} - 2 θ) = \sin 2 (90^{\circ} - θ)$ なので， $θ$ と $90^{\circ} - θ$ は同じ到達距離を与えます．

［図：同じ到達距離を与える2つの投射角］

同じ初速の大きさv0で，投射角がθと90°−θの2本の放物線を描く．初期状態はθ＝30°（青，低い軌道）と60°（橙，高い軌道）．2本は同じ点に着地し，到達距離Rは等しいが，60°のほうが高く上がる．スライダーで低い方の角θを変えると，着地点は2本とも同じまま，高さと滞空時間の比がtanθに応じて変わる．目盛はv0²/gを単位とする．

角 $θ$ で投げたときの滞空時間と最高点の高さを $T_{1}, H_{1}$ ，角 $90^{\circ} - θ$ で投げたときを $T_{2}, H_{2}$ とすると，それらの比は $T_{1} : T_{2} = \tan θ : 1$ ， $H_{1} : H_{2} = \tan^{2} θ : 1$ です． $T$ は $\sin θ$ に， $H$ は $\sin^{2} θ$ に比例し， $\sin (90^{\circ} - θ) = \cos θ$ だからです．大きい角で投げたほうが高く上がり，時間もかかります．

ポイントここまでのまとめ

水平方向は等速，鉛直方向は加速度 $- g$ の等加速度運動で，2つは互いに影響しない．
軌道は $y$ が $x$ の2次式になる放物線．最高点では $v_{y} = 0$ だが，水平成分 $v_{0} \cos θ$ は残る．
最高点の高さは $\frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{2 g}$ ，到達距離は $R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 θ}{g}$ ． $θ = 45^{\circ}$ で最大 $\frac{v_{0}^{2}}{g}$ ， $θ$ と $90^{\circ} - θ$ は同じ到達距離を与える．
問いの答え：弾も猿も，同じ時間に同じだけ $\frac{1}{2} g t^{2}$ 落ちるので，弾は速さによらず猿に当たる（式での確認は次の節）．ただし猿が地面に着く前に限る．