運動を記述する

等加速度運動と自由落下の演習

著者：柚木芹香

まず座標軸の向きを決めて，符号を書いてから式を立ててください．等加速度運動の3つの式のうち，聞かれていない量が入らない式を選ぶと，計算が短くなります．

演習

演習 1

オリジナル ★★☆☆☆

斜面上で静止していた球を放し，水時計の水が流れ出た重さ $w$ で時間を測った．水は毎秒 $20 g$ の割合で流れ出る． $w = 10, 20, 30, 40 g$ の時刻の球の位置は，出発点から順に $5, 20, 45, 80 cm$ だった．(1) 球は等加速度運動をしていると考えてよいか，理由とともに答えよ．(2) 加速度の大きさを求めよ．

**［図：斜面と水時計］**
斜面の出発点からの測定位置と，毎秒20 gずつ流出する水時計を示す．

解答を見る

考え方 等加速度で静止から出発するなら $x = \frac{1}{2} a t^{2}$ なので， $x$ は $t^{2}$ に比例し，時間は $w$ に比例する． $x / w^{2}$ が一定かを調べる．

$x / w^{2}$ は $5 / 100 = 0.05$ ， $20 / 400 = 0.05$ ， $45 / 900 = 0.05$ ， $80 / 1600 = 0.05 cm g^{- 2}$ と一定である． $x$ が $w^{2}$ ，つまり $t^{2}$ に比例するので，等加速度運動と考えてよい．隣り合う区間の距離も $5, 15, 25, 35 cm$ で， $1 : 3 : 5 : 7$ に並ぶ．
$w = 10 g$ は $t = 10 / 20 = 0.50 s$ に当たる． $x = 0.05 m$ より， $a = \frac{2 x}{t^{2}} = \frac{2 \times 0.05}{0.25} = 0.40 m s^{- 2}$ ．自由落下の加速度のおよそ4 %で，球の動きは自由落下よりずっとゆっくりである．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

高さ $44.1 m$ のビルの屋上から，石Aを静かに放した．その1.0 s後に，同じ点から石Bを初速度 $v_{0}$ で真下に投げ下ろしたところ，AとBは同時に地面に着いた．空気の抵抗は無視する．(1) $v_{0}$ を求めよ．(2) 地面に着く直前のA，Bの速さを求めよ．

**［図：二つの石の放し方］**
同じ高さ44.1 mからAを静かに放し，1.0 s後にBを下向きの初速度v₀で投げる．

解答を見る

考え方 Aの落下時間から着地時刻を出し，Bはその1.0 s前から動いているとして立式する．鉛直下向きを正にとる．

Aは $44.1 = \frac{1}{2} g t_{A}^{2}$ より $t_{A} = 3.0 s$ で着く．Bの落下時間は $t_{B} = 3.0 - 1.0 = 2.0 s$ ．Bについて $44.1 = v_{0} \cdot 2.0 + \frac{1}{2} g (2.0)^{2} = 2 v_{0} + 19.6$ なので， $v_{0} = 12.25 m s^{- 1}$ ，約 $12 m s^{- 1}$ ．
A： $v_{A} = g t_{A} = 29.4 m s^{- 1}$ ．B： $v_{B} = v_{0} + g t_{B} = 12.25 + 19.6 = 31.85 m s^{- 1}$ ．約 $29 m s^{- 1}$ と $32 m s^{- 1}$ で，後から投げたBのほうが少し速い．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

高さ $H = 40 m$ の位置から球Pを静かに放すと同時に，真下の地面から球Qを初速度 $v_{0} = 20 m s^{- 1}$ で真上に投げた．(1) PとQが出会う時刻と高さを求めよ．(2) PとQが空中で出会うために， $v_{0}$ が満たすべき条件を求めよ．

**［図：上下から出発する二球］**
高さHの球Pを静かに放すと同時に，真下の地面から球Qを上向きに投げる．

解答を見る

考え方 2つの球の高さを同じ時刻で等しいとおく．重力の項は共通なので打ち消し合う．

上向きを正とし，地面を原点にとる．Pの高さは $y_{P} = H - \frac{1}{2} g t^{2}$ ，Qの高さは $y_{Q} = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ． $y_{P} = y_{Q}$ とおくと $\frac{1}{2} g t^{2}$ が消えて $H = v_{0} t$ となり，出会う時刻は $t = H / v_{0} = 2.0 s$ ．高さは $y = 40 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 4.0 = 40 - 19.6 = 20.4 m$ ．
出会う高さが0以上であればよい． $y = H - \frac{g H^{2}}{2 v_{0}^{2}} \geq 0$ より $v_{0}^{2} \geq \frac{g H}{2}$ ， $v_{0} \geq \sqrt{g H / 2}$ ． $H = 40 m$ なら $v_{0} \geq \sqrt{196} = 14 m s^{- 1}$ ．出会う時刻が $g$ によらないのは，Qから見るとPが一定の速さ $v_{0}$ で近づいてくるからである（相対運動はこの章の「相対運動」の節で扱う）．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

深い井戸の口から石を静かに落としたところ，落としてから3.0 s後に水面に当たる音が聞こえた．空気の抵抗を無視し，音の速さを $V = 340 m s^{- 1}$ とする．井戸の深さ $h$ を求めよ．また，音の伝わる時間を無視した場合の値と比べよ．

**［図：井戸の石と音］**
井戸の口から落とす石と，水面から口へ伝わる音を示す．深さをhとする．

解答を見る

考え方 音が聞こえるまでの時間は，石が落ちる時間 $t_{1}$ と，音が上ってくる時間 $h / V$ の和である． $t_{1}$ について2次方程式を立てる．

石の落下は $h = \frac{1}{2} g t_{1}^{2}$ ，音が上る時間は $h / V$ ．合計が $T = 3.0 s$ なので

t_{1} + \frac{g t_{1}^{2}}{2 V} = T

である．数値を入れて整理すると $4.9 t_{1}^{2} + 340 t_{1} - 1020 = 0$ ．解の公式より

t_{1} = \frac{- 340 + \sqrt{340^{2} + 4 \times 4.9 \times 1020}}{2 \times 4.9} = \frac{- 340 + \sqrt{135592}}{9.8} \approx \frac{- 340 + 368.2}{9.8} \approx 2.88 s

である（負の解は捨てる）．深さは $h = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot {2.88}^{2} \approx 40.7 m$ ，有効数字2桁で約 $41 m$ ．音が上る時間は $40.7 / 340 \approx 0.12 s$ である．

音の時間を無視すると $h = 44.1 m$ となり，約 8 % 大きく見積もる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

一定の加速度 $1.0 m s^{- 2}$ で上昇を始めたエレベーターの，床から天井までの高さは $2.4 m$ である．出発してから2.0 s後に，天井からボルトが外れて落ち始めた．ボルトは外れた瞬間に，エレベーターと同じ速度で上向きに動いていたものとして，地上に固定した座標系で次を求めよ．(1) ボルトが床に着くまでの時間 (2) その間のボルトの変位と道のり

**［図：上昇するエレベーターのボルト］**
高さ2.4 mのエレベーターで，天井のボルトが外れる瞬間を示す．ボルトは上向きの速度を引き継ぐ．

解答を見る

考え方 外れた瞬間を時刻0とし，その時刻の床の位置を原点にとる．ボルトは加速度 $- g$ の運動，床は加速度 $+ 1.0 m s^{- 2}$ の運動をする．

外れた瞬間のエレベーターの速度は $u = 1.0 \times 2.0 = 2.0 m s^{- 1}$ （上向き）である．上向きを正にとる．

床の高さは $y_{F} = u t + \frac{1}{2} (1.0) t^{2}$ ，ボルトの高さは $y_{B} = 2.4 + u t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ．ボルトが床に着くのは $y_{B} = y_{F}$ のときで， $u$ の項が消えて

2.4 = \frac{1}{2} (g + 1.0) t^{2}

となる． $g + 1.0 = 10.8 m s^{- 2}$ を用いると， $t^{2} = \frac{4.8}{10.8} = \frac{4}{9}$ ， $t = \frac{2}{3} s \approx 0.67 s$ ．

変位は $u t - \frac{1}{2} g t^{2} = 2.0 \cdot \frac{2}{3} - 4.9 \cdot \frac{4}{9} \approx 1.333 - 2.178 = - 0.84 m$ ，すなわち下向きに $0.84 m$ である．ボルトは初め上向きに動くので，最高点までの時間 $u / g \approx 0.20 s$ は $\frac{2}{3} s$ より短く，いったん上がってから落ちる．上昇する高さは $\frac{u^{2}}{2 g} \approx 0.204 m$ ．最高点から終点まで下がる距離は $0.204 + 0.84 \approx 1.05 m$ ．道のりは $0.204 + 1.05 \approx 1.25 m$ ，約 $1.3 m$ である．

床が上がってくるぶん，中の人にはボルトの落下の加速度が $g + 1.0 m s^{- 2}$ に見える（相対運動はこの章の「相対運動」の節で扱う）．

ポイント教える人へ

問いかけ：「時計がないとき，何を比べれば等加速度だと言えるか」と聞く．時間そのものでなく時間の比で足りること，距離の比が $1 : 3 : 5 : 7$ になることに気づくかを見る．
つまずき：符号である．上向きを正にとったら $a = - g$ になること，最高点で0になるのは速度だけで加速度は $- g$ のままであることを，式と図で確認させる．
2次方程式の解：高さを指定された時刻が2つ出る理由を「上りと下りで2度通る」と説明させ，落下時間で負の解を捨てる理由も問う．
理解の確かめ：「2倍の高さから落とすと，落下時間は何倍か」を式を書かずに答えさせる． $\sqrt{2}$ 倍と答えられれば $t \propto \sqrt{h}$ が分かっている．