運動を記述する

等加速度運動と自由落下の例題

著者：柚木芹香

鉛直投げ上げ

地面から初速度 $v_{0}$ で真上に投げた物体を考えます．最高点では，上昇から下降に変わる瞬間に速度が0になります． $v = v_{0} - g t = 0$ より，最高点に達する時刻は

t_{1} = \frac{v_{0}}{g}

です．最高点の高さは $y = v_{0} t_{1} - \frac{1}{2} g t_{1}^{2} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ ．これは3つ目の式で $v = 0$ とおいても得られます．地面に戻る時刻は $y = 0$ より $v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} = t (v_{0} - \frac{1}{2} g t) = 0$ で $t_{2} = 2 v_{0} / g$ ，最高点に達する時刻のちょうど2倍です．戻ってきたときの速度は $v_{0} - g \cdot 2 v_{0} / g = - v_{0}$ で，大きさは初速度と同じです．

数値で確かめます． $v_{0} = 9.8 m s^{- 1}$ で投げると，最高点まで1.0 s，最高点の高さは $\frac{{9.8}^{2}}{2 \times 9.8} = 4.9 m$ ，地面に戻るのは2.0 s後です．

同じ高さを通るときの速さは，上りでも下りでも等しくなります．3つ目の式は $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - y_{0})$ の形で，時間が入らず，高さ $y$ だけで $v^{2}$ が決まるからです．速度の向きだけが逆になります．v-tグラフでは，上りの正の面積と下りの負の面積が打ち消し合うので，地面に戻ったときの変位は0です．

ポイント数学の道具：2次方程式の解の選び方

この節に新しい公式は出てきません．積分で式を作り，あとは2次方程式を解くだけです．注意すべきは解の選び方です．例えば $y = h$ となる時刻を求める式は $t$ の2次式で，解が2つ出ます．地面から投げ上げた物体は， $0 < h < v_{0}^{2} / (2 g)$ の高さなら上りと下りで $h$ を2度通るので，2つとも意味があります． $h = v_{0}^{2} / (2 g)$ （最高点）では解は1つ（重解）で， $h > v_{0}^{2} / (2 g)$ では実数解がなく，その高さには届きません．落下時間のように，負の解や条件に合わない解は捨てます．

2次方程式 $A t^{2} + B t + C = 0$ （ $A \neq 0$ ）の解は $t = \frac{- B \pm \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}$ で，判別式 $B^{2} - 4 A C$ が正なら2つ，0なら1つ（重解），負なら実数の解はありません．

練習． 地面から初速度 $14 m s^{- 1}$ で真上にボールを投げる（ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）．(1) 高さ $5.0 m$ を通る時刻をすべて求め，それぞれ上りか下りかを答えよ．(2) 高さ $12 m$ を通るか，判別式で調べよ．(3) 高さ $10 m$ を通る時刻を求めよ．

答え：(1) $14 t - 4.9 t^{2} = 5.0$ より $4.9 t^{2} - 14 t + 5.0 = 0$ ． $t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 98}}{9.8} = \frac{14 \pm 9.90}{9.8}$ で， $t \approx 0.42 s$ （上り）と $2.4 s$ （下り）．(2) $4.9 t^{2} - 14 t + 12 = 0$ の判別式は $196 - 235.2 < 0$ なので通らない（最高点は $14^{2} / (2 \times 9.8) = 10 m$ ）．(3) 判別式が $196 - 196 = 0$ で重解 $t = 14 / 9.8 \approx 1.4 s$ ．ちょうど最高点である．

重力加速度の測り方

$g$ はどのように測るのでしょうか．最も素朴な方法は，高さ $h$ から物体を静かに落とし，落下にかかる時間 $t$ を測ることです． $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ より

g = \frac{2 h}{t^{2}}

です．ところが時間の測定は誤差が大きく，高さ1.0 mなら落下時間は約0.45 sで，0.01 sの誤差は約 2 % です． $g$ は $t^{2}$ に反比例するので， $g$ の誤差はその2倍の約 4 % になります．そこで，いくつかの高さ $h$ について時間を測り， $h$ を縦軸， $t^{2}$ を横軸にとってグラフにします．点が原点を通る直線に並べば等加速度の確認になり，傾きが $g / 2$ です．誤差が平均されて，よい値が得られます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

地面から真上に，初速度 $v_{0}$ でボールを投げた．空気の抵抗は無視できる．(1) 最高点の高さと，そこに達する時刻を求めよ．(2) 最高点の高さの $\frac{3}{4}$ の高さを通る時刻を， $v_{0}$ と $g$ で表せ．(3) $v_{0} = 19.6 m s^{- 1}$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ のとき，(1)，(2) の数値を求めよ．

**［図：地面からの投げ上げ］**
地面から鉛直上向きの初速度v₀でボールを投げる．重力加速度gを示す．

解答を見る

考え方 鉛直上向きを正にとり， $a = - g$ として式を立てる．最高点では速度が0．高さを指定された時刻は2次方程式の2つの解になる．

$v = v_{0} - g t = 0$ より $t_{1} = v_{0} / g$ ．高さは $H = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ ．
$\frac{3}{4} H = \frac{3 v_{0}^{2}}{8 g}$ とおくと， $v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{3 v_{0}^{2}}{8 g}$ ． $t = τ v_{0} / g$ と置いて整理すると $τ - \frac{1}{2} τ^{2} = \frac{3}{8}$ ，すなわち $τ^{2} - 2 τ + \frac{3}{4} = 0$ ．これは $(τ - \frac{1}{2}) (τ - \frac{3}{2}) = 0$ と因数分解でき， $τ = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ である．よって $t = \frac{v_{0}}{2 g}$ と $\frac{3 v_{0}}{2 g}$ ．前者は上りの途中，後者は下りの途中である．
数値を直接代入する． $t_{1} = \frac{19.6 m s^{- 1}}{9.8 m s^{- 2}} = 2.0 s$ ， $H = \frac{(19.6 m s^{- 1})^{2}}{2 \times 9.8 m s^{- 2}} = 19.6 m$ ．(2) の時刻は $\frac{v_{0}}{2 g} = 1.0 s$ と $\frac{3 v_{0}}{2 g} = 3.0 s$ ，そのときの高さは $\frac{3}{4} H = 14.7 m$ ．

例題 2

オリジナル ★☆☆☆☆

橋の上から石を静かに放したところ，3.0 s後に水面に着いた．空気の抵抗と音の伝わる時間は無視する．(1) 橋の高さ (2) 水面に着く直前の速さ (3) 着水までの最後の1.0 sに落ちる距離を求めよ．

**［図：橋から放す石］**
橋から石を静かに放す．着水まで3.0 sであることだけを示す．

解答を見る

考え方 落下を「放した点から測った距離」で表し，その時刻の値を引き算する．

鉛直下向きを正にとると，放した点からの落下距離は $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ ，速度は $v = g t$ である．

$h = \frac{1}{2} \times 9.8 m s^{- 2} \times (3.0 s)^{2} = 44.1 m$ ．有効数字2桁で約 $44 m$ ．
$v = 9.8 m s^{- 2} \times 3.0 s = 29.4 m s^{- 1}$ ．約 $29 m s^{- 1}$ ．
2.0 sまでの落下距離は $\frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^{2} = 19.6 m$ ．最後の1.0 sに落ちる距離は $44.1 - 19.6 = 24.5 m$ ．約 $25 m$ ．

例題 3

オリジナル ★☆☆☆☆

質量の違う2つの球を，同じ高さ $h$ から同時に静かに放す．また，高さ $h$ と高さ $4 h$ から，同じ球を静かに放す．空気の抵抗は無視する．(1) 2つの球の落下時間と着地速度を比べよ．(2) 高さ $h$ と $4 h$ から放したときの，落下時間の比と着地速度の比を求めよ．

**［図：高さと質量を変えた落下］**
同じ高さの異なる質量の球と，高さhと4hの同じ球を並べる．落下後の位置は示さない．

解答を見る

考え方 自由落下の加速度は質量によらない．落下時間は $t = \sqrt{2 h / g}$ ，着地速度は $v = \sqrt{2 g h}$ である．

式 $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ ， $v = g t$ のどこにも質量が入らないので，2つの球は同時に着地し，速さも等しい．
高さ $h$ のとき $t = \sqrt{2 h / g}$ ， $4 h$ のとき $\sqrt{8 h / g} = 2 \sqrt{2 h / g}$ なので，落下時間の比は $1 : 2$ ．着地速度も $\sqrt{2 g h}$ と $\sqrt{8 g h} = 2 \sqrt{2 g h}$ で比は $1 : 2$ である．

ポイントここまでのまとめ

鉛直投げ上げは，上向きを正にとって $a = - g$ とおく．最高点は $v = 0$ より $t_{1} = v_{0} / g$ ，高さは $v_{0}^{2} / (2 g)$ ，地面に戻る時刻は $2 v_{0} / g$ で，戻るときの速さは初速度と同じである．
高さを指定された時刻は2次方程式の解で，地面から投げ上げて最高点より低い高さ（ $0 < h < v_{0}^{2} / (2 g)$ ）なら2つあり，上りと下りに対応する．最高点では重解，それより高い所には届かない．落下時間を求めるときは，条件に合わない解を捨てる．
落下は放した点からの距離で表し，時刻ごとの値を引き算すると区間の距離が出る．
重力加速度は $g = 2 h / t^{2}$ で測れる．いくつかの高さで $h$ を $t^{2}$ に対してグラフにすると，傾きが $g / 2$ になる．