運動を記述する

放物運動と加法定理

著者：柚木芹香

放物運動の式では， $\sin 2 θ$ や $\tan θ$ など，三角関数の公式が何度も出てきます．先に高校の公式を整理してから，モンキーハンティングの証明と斜面への投射を例題で扱います．

定理数学の道具：加法定理と2倍角（復習）

\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β, \cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β

で， $α = β = θ$ とおくと2倍角の公式になる．

\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ, \cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = 2 \cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 \sin^{2} θ

また $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ の両辺を $\cos^{2} θ$ で割ると $1 + \tan^{2} θ = \frac{1}{\cos^{2} θ}$ が得られる．放物運動では， $\sin θ \cos θ$ の積が出てきたら $\frac{1}{2} \sin 2 θ$ と書き直して，角度の最大・最小を調べるのが定石である．

練習 1． 加法定理を使って， $\sin 75^{\circ}$ の値を求めよ．

練習 2． $\tan θ = \frac{3}{4}$ （ $0 < θ < 90^{\circ}$ ）のとき， $\sin 2 θ$ と $\cos 2 θ$ を求めよ．

練習 3． 加法定理を使って， $\cos 75^{\circ}$ と $\sin 15^{\circ}$ を求めよ．

練習 4． $\sin θ = \frac{5}{13}$ （ $0 < θ < 90^{\circ}$ ）のとき， $\cos θ$ ， $\tan θ$ を求め， $1 + \tan^{2} θ = \frac{1}{\cos^{2} θ}$ が成り立つことを数値で確かめよ．

練習 5． $\sin 2 θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $θ$ （ $0 < θ < 90^{\circ}$ ）をすべて求めよ．

答え：(1) $\sin 75^{\circ} = \sin (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ．(2) $\sin θ = \frac{3}{5}$ ， $\cos θ = \frac{4}{5}$ なので， $\sin 2 θ = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ ， $\cos 2 θ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ ．(3) $\cos 75^{\circ} = \cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0.259$ ． $\sin 15^{\circ} = \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ で，同じ値になる（ $\sin 15^{\circ} = \cos 75^{\circ}$ ）．(4) $\cos θ = \frac{12}{13}$ ， $\tan θ = \frac{5}{12}$ ． $1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144} = {(\frac{13}{12})}^{2}$ で一致する．(5) $0 < 2 θ < 180^{\circ}$ で $2 θ = 60^{\circ}, 120^{\circ}$ より $θ = 30^{\circ}, 60^{\circ}$ ．放物運動で同じ到達距離を与える2つの角にあたる．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

問いのモンキーハンティングを数式で確かめよ．猟師の銃口を原点とし，猿の最初の位置を $(L, H)$ とする．弾は猿を狙う向き（水平面との角 $θ$ ， $\tan θ = H / L$ ）に速さ $v_{0}$ で撃ち出され，その瞬間に猿は手を離して自由落下する．弾が猿に当たることを示し，当たる条件を求めよ．

**［図：狙う点と射出方向］**
原点の銃口から猿の初期位置(L，H)を狙う．猿は発射と同時に手を離す．衝突位置は描かない．

解答を見る

考え方 弾と猿の位置を同じ時刻で式にし，水平位置が等しくなる時刻の高さを比べる．

弾の位置は $x = v_{0} \cos θ \cdot t$ ， $y = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ．猿の位置は $x = L$ ， $y = H - \frac{1}{2} g t^{2}$ ．弾の水平位置が $L$ になる時刻は $t^{*} = \frac{L}{v_{0} \cos θ}$ である．このときの弾の高さは

y_{弾} = v_{0} \sin θ \cdot t^{*} - \frac{1}{2} g t^{* 2} = L \tan θ - \frac{1}{2} g t^{* 2} = H - \frac{1}{2} g t^{* 2}

で，同じ時刻の猿の高さ $H - \frac{1}{2} g t^{* 2}$ と等しい．よって時刻 $t^{*}$ に弾は猿に当たる．これは $v_{0}$ の大きさによらない．

ただし当たるのは，その時刻に猿がまだ地面より上にいるときだけである．条件は $H - \frac{1}{2} g t^{* 2} \geq 0$ ，すなわち $v_{0}^{2} \cos^{2} θ \geq \frac{g L^{2}}{2 H}$ で，弾が速いほど当たりやすい．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

傾き $α$ の斜面が，点Oから下向きに続いている．Oから水平に速さ $v_{0}$ で小球を投げる．(1) 小球が斜面に落ちるまでの時間 (2) Oから落下点までの斜面に沿った距離 (3) 落下の瞬間の速度の向き（水平面から下向きに測った角 $ϕ$ ）を求めよ． $α = 30^{\circ}$ ， $v_{0} = 10 m s^{- 1}$ のときの数値も求めよ．

**［図：下り斜面への水平投射］**
下向きに傾く斜面の上端Oから，水平な初速度v₀で投げる．

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考え方 Oを原点とし，水平にx軸，鉛直上向きにy軸をとる．斜面は $y = - x \tan α$ である．小球の軌道がこの直線と交わる点が落下点である．

水平投射なので $x = v_{0} t$ ， $y = - \frac{1}{2} g t^{2}$ ．

斜面上の点は $y = - x \tan α$ を満たす． $- \frac{1}{2} g t^{2} = - v_{0} t \tan α$ より， $t > 0$ で $t = \frac{2 v_{0} \tan α}{g}$ ．
落下点のx座標は $x = v_{0} t = \frac{2 v_{0}^{2} \tan α}{g}$ ．斜面に沿った距離は $d = \frac{x}{\cos α} = \frac{2 v_{0}^{2} \sin α}{g \cos^{2} α}$ ．
落下の瞬間に $v_{x} = v_{0}$ ， $v_{y} = - g t = - 2 v_{0} \tan α$ ．水平面から下向きの角は $\tan ϕ = \frac{| v_{y} |}{v_{x}} = 2 \tan α$ ．この結果は $v_{0}$ によらない．

数値は $t = \frac{20}{\sqrt{3} g} \approx 1.2 s$ ， $d = \frac{2 \cdot 100 \cdot \frac{1}{2}}{g \cdot \frac{3}{4}} = \frac{400}{3 g} \approx 13.6 m$ ， $\tan ϕ = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ ， $ϕ \approx 49^{\circ}$ である．

例題 3

オリジナル ★☆☆☆☆

高さ $19.6 m$ の崖の上から，水平に $15 m s^{- 1}$ で石を投げた．空気の抵抗は無視する．(1) 着水までの時間 (2) 崖の真下から着水点までの水平距離 (3) 着水直前の速さと，水平面から下向きに測った角度を求めよ．

**［図：崖からの水平投射］**
高さ19.6 mの崖から，水平に15 m s⁻¹で石を投げる．着水位置は示さない．

解答を見る

考え方 水平は等速，鉛直は初速度0の自由落下として扱う．

鉛直方向は $19.6 = \frac{1}{2} g t^{2}$ より $t = \sqrt{2 \cdot 19.6 / g} = 2.0 s$ ．
水平距離は $15 \times 2.0 = 30 m$ ．
$v_{x} = 15 m s^{- 1}$ ， $v_{y} = - g t = - 19.6 m s^{- 1}$ ．速さは $\sqrt{15^{2} + {19.6}^{2}} = \sqrt{609.16} \approx 24.7 m s^{- 1}$ ，約 $25 m s^{- 1}$ ．角度は $\tan ϕ = 19.6 / 15 \approx 1.31$ より $ϕ \approx 53^{\circ}$ ．

ポイントここまでのまとめ

加法定理から2倍角の公式が出る． $\sin θ \cos θ$ の積は $\frac{1}{2} \sin 2 θ$ と書き直して，角度の最大・最小を調べる． $1 + \tan^{2} θ = 1 / \cos^{2} θ$ は軌道の式を $\tan θ$ の2次式に直すときに使う．
モンキーハンティングでは，弾の水平位置が $L$ になる時刻に，弾と猿の高さがどちらも $H - \frac{1}{2} g t^{2}$ になる．空気抵抗を無視し，地面に着く前に出会える速さであれば，当たることは $v_{0}$ の大きさによらない．
斜面への投射は，軌道と斜面の直線の交点を求める問題になる．水平投射で斜面に落ちるとき，落下の向きは $\tan ϕ = 2 \tan α$ で，初速に依存しない．