運動を記述する

放物運動の演習

著者：柚木芹香

水平方向と鉛直方向に分け，それぞれの加速度を書き出してから取りかかります．三角関数の式変形が出てきたら，前の節の加法定理と2倍角を見直してください．

演習

演習 1

オリジナル ★★☆☆☆

地面のボールを初速 $14 m s^{- 1}$ ，水平面との角 $30^{\circ}$ で蹴った．空気の抵抗は無視する．(1) 滞空時間，最高点の高さ，到達距離を求めよ．(2) 同じ到達距離を与える別の角を答えよ．また，この初速でボールを最も遠くへ飛ばしたときの到達距離はいくらか．必要なら，2倍角の公式 $\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$ を使ってよい．

**［図：ボールの蹴り出し］**
水平な地面から30°の向きに速さ14 m s⁻¹で蹴り出す瞬間を示す．

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考え方 $T = \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}$ ， $H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{2 g}$ ， $R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 θ}{g}$ を用いる． $v_{0}^{2} = 196$ ．

$T = \frac{2 \cdot 14 \cdot 0.5}{9.8} \approx 1.43 s$ ． $H = \frac{196 \cdot 0.25}{2 \cdot 9.8} = 2.5 m$ ． $R = \frac{196 \cdot \sin 60^{\circ}}{9.8} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.3 m$ ．
$\sin 2 θ = \sin (180^{\circ} - 2 θ)$ から，もう1つの角は $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ ．最大の到達距離は $θ = 45^{\circ}$ のときの $\frac{v_{0}^{2}}{g} = \frac{196}{9.8} = 20 m$ である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

原点から初速 $14 m s^{- 1}$ で球を投げ，水平距離 $12 m$ ，高さ $3.0 m$ の位置にある的に当てたい．投射角を2つ求めよ．必要なら $\frac{1}{\cos^{2} θ} = 1 + \tan^{2} θ$ を使ってよい．

**［図：原点と的］**
原点と水平距離12 m，高さ3.0 mの的を示す．投射方向は未記入とする．

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考え方 軌道の式を $\tan θ$ の2次方程式とみて解く．

$u = \tan θ$ とおくと， $y = x u - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} (1 + u^{2})$ ． $\frac{g}{2 v_{0}^{2}} = \frac{9.8}{392} = 0.025$ より， $x = 12$ ， $y = 3.0$ では

3.0 = 12 u - 0.025 \cdot 144 (1 + u^{2}) = 12 u - 3.6 (1 + u^{2})

である．整理して $3.6 u^{2} - 12 u + 6.6 = 0$ ，両辺を0.6で割って $6 u^{2} - 20 u + 11 = 0$ ．解は $u = \frac{20 \pm \sqrt{136}}{12} \approx \frac{20 \pm 11.66}{12}$ なので， $u \approx 0.695, 2.64$ ．よって $θ \approx 35^{\circ}, 69^{\circ}$ ．

演習 3

オリジナル ★★★☆☆

傾き $α$ の斜面の下端Oから，斜面を含む鉛直面内で，水平面との角 $θ$ （ $θ > α$ ）で初速 $v_{0}$ の小球を投げる．斜面に沿った着地点までの距離 $d$ について，(1) $d$ を $α$ ， $ϕ = θ - α$ の式で表せ．(2) 投射角 $θ$ を変えたときの $d$ の最大値と，そのときの $θ$ を求めよ．(3) $α = 30^{\circ}$ のとき，水平面上の最大到達距離 $v_{0}^{2} / g$ との比を求めよ．必要なら，2倍角の公式 $\sin ϕ \cos ϕ = \frac{1}{2} \sin 2 ϕ$ ， $\sin^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 ϕ)$ と，加法定理 $\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を使ってよい．

**［図：斜面の下端からの投射］**
傾きαの斜面の下端Oから，水平とθをなす初速度v₀で投げる．着地点は示さない．

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考え方 斜面に沿った向きをX，斜面に垂直な向きをYとする．重力加速度の成分は $- g \sin α$ （Xの向き）と $- g \cos α$ （Yの向き）で，初速は斜面から $ϕ$ だけ傾く．

$v_{0 X} = v_{0} \cos ϕ$ ， $v_{0 Y} = v_{0} \sin ϕ$ ．Y方向は $Y = v_{0} \sin ϕ t - \frac{1}{2} g \cos α t^{2}$ より，着地（ $Y = 0$ ）の時刻は $T = \frac{2 v_{0} \sin ϕ}{g \cos α}$ ．X方向の距離は

d = v_{0} \cos ϕ T - \frac{1}{2} g \sin α T^{2} = \frac{2 v_{0}^{2}}{g \cos^{2} α} (\sin ϕ \cos ϕ \cos α - \sin^{2} ϕ \sin α)

である． $\sin ϕ \cos ϕ = \frac{1}{2} \sin 2 ϕ$ ， $\sin^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 ϕ)$ を使うと

d = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos^{2} α} (\sin 2 ϕ \cos α + \cos 2 ϕ \sin α - \sin α) = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos^{2} α} (\sin (2 ϕ + α) - \sin α)

$\sin (2 ϕ + α) = 1$ ，すなわち $ϕ = 45^{\circ} - \frac{α}{2}$ のとき最大である．このとき $θ = ϕ + α = 45^{\circ} + \frac{α}{2}$ ．最大値は

d_{max} = \frac{v_{0}^{2} (1 - \sin α)}{g \cos^{2} α} = \frac{v_{0}^{2}}{g (1 + \sin α)}

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ より $d_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{g} \cdot \frac{2}{3}$ ．水平面の最大到達距離の $\frac{2}{3}$ である．（ $α \to 0$ で水平面の結果に一致する．）

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

地面の原点から，初速の大きさ $v_{0}$ で，鉛直面内のいろいろな向きに物体を投げる．(1) 軌道の式を $\tan θ$ の2次方程式とみて（ $\frac{1}{\cos^{2} θ} = 1 + \tan^{2} θ$ を使う），点 $(x, y)$ に届く向きがあるための条件を求めよ．これが，投げうる範囲を囲む放物線（安全放物線）になることを示せ．(2) 高さ $h$ の崖の上の原点から投げるとき，地面に届く最大の水平距離を求めよ． $v_{0} = 14 m s^{- 1}$ ， $h = 19.6 m$ のときの値も求めよ．

**［図：高さのある原点からの投射］**
地面の原点と高さhの崖上の原点について，初速の大きさv₀と任意の投射方向を示す．到達範囲は描かない．

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考え方 軌道の式を $u = \tan θ$ の2次方程式とみると，実数の $u$ があること，つまり判別式が0以上であることが，その点に届く条件である．

$y = x u - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} (1 + u^{2})$ を $u$ についてまとめると

\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} u^{2} - x u + (y + \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}) = 0

である．実数解があるための条件は，判別式が0以上，すなわち

x^{2} - 4 \cdot \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} (y + \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}) \geq 0

で， $x^{2}$ で割って整理すると

y \leq \frac{v_{0}^{2}}{2 g} - \frac{g}{2 v_{0}^{2}} x^{2}

を得る．等号のとき，その点には1つの向きだけで届く．この放物線の内側が届く範囲で，外側には決して届かない．境界の放物線はすべての軌道に接している（包絡線）． $x = 0$ で最高到達高さ $\frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ ， $y = 0$ で最大の到達距離 $\frac{v_{0}^{2}}{g}$ が出る．

崖の上の原点から地面（ $y = - h$ ）へ向かうので， $y = - h$ を代入して

- h = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} - \frac{g}{2 v_{0}^{2}} x^{2} ⟹ x_{max} = \frac{v_{0}}{g} \sqrt{v_{0}^{2} + 2 g h}

である．数値は $v_{0}^{2} + 2 g h = 196 + 384.16 = 580.16$ ，その平方根は約24.1 なので， $x_{max} = \frac{14}{9.8} \times 24.1 \approx 34 m$ である．このときの向きは重根 $u = \frac{v_{0}^{2}}{g x_{max}} \approx 0.58$ から約 $30^{\circ}$ である．

ポイント教える人へ

問いかけ：モンキーハンティングは，まず予想を聞く．「速い弾なら当たる」「遅いと上を通る」など，直感の誤りが出るので，その理由を言葉にさせてから式に入る．
つまずき：水平と鉛直を別々に扱うことに納得しない教わる人が多い．水平方向の速度は変わらないこと，最高点でも加速度は $- g$ のままであることを，図で確認させる．初速の分解（ $\cos θ$ と $\sin θ$ の取り違え）も頻出である．
到達距離の式は暗記させず，その場で導けるようにする．
理解の確かめ：「最高点での速さは0か」と尋ねる．水平成分が残るので0ではない，と答えられれば，独立の考え方がつかめている．