確率振幅から組み立てる量子力学（発展）

確率振幅から見た量子力学の全体像

著者：柚木芹香

問い

この章では，「確率は振幅の絶対値の2乗」「区別できない経路の振幅は足す」「続けてたどる経路の振幅は掛ける」という規則を出発点に置き，波と粒子の二重性，スピン，粒子の統計，2状態系を組み立てました．第29章で別々に学んだ光子，物質波，飛び飛びの準位は，この枠組みの中でどこに位置づくのでしょうか．そして，原子や素粒子を扱う本当の量子力学へは，ここからどうつながるのでしょうか．

事実から規則へ

第13章で力学を対称性から組み立て直したように，この章では量子の現象を振幅の規則から組み立て直しました．

前の章での位置づけ	この章での出どころ
光や電子の干渉（第27章，第29章）	区別できない経路の振幅の足し算
光子のエネルギー $E = h ν$ （第29章）	定常状態の振幅が $e^{- i E t / ℏ}$ で回ること
ド・ブロイ波長 $λ = h / p$ （第29章）	振幅の位相 $- (E t - p \cdot r) / ℏ$ がローレンツ変換で変わらないこと
不確定性原理（第29章）	どちらの経路かを見ると振幅を足せなくなること
飛び飛びの準位（第29章）	ハミルトニアン行列の固有値
光の吸収と放出（第29章）	振動する外場による定常状態の間の共鳴
誘導放出，プランクの式	ボース粒子の振幅の足し算
パウリの排他律，周期表	フェルミ粒子の振幅の引き算
化学結合	電子が移る振幅によるエネルギーの低下
停留作用の原理（第13章）	作用で位相が決まる経路の振幅の重ね合わせ

逆に，この章で出発点として認めたものは次の4つです．

振幅の規則：確率は振幅の絶対値の2乗．区別できない経路は足し，続けてたどる経路は掛ける．
時間変化の形：振幅は $i ℏ \frac{d C}{d t} = H C$ に従い， $H$ はエルミート．
対称性：回転で振幅がどう変わるか（スピン），ローレンツ変換で位相がどう変わるか（ド・ブロイの関係），同じ粒子の入れ替えで振幅がどう変わるか（統計）．
相互作用の中身：ハミルトニアン行列の具体的な成分．

力学の場合と同じく，1から3はどんな系にも共通の枠組みで，4だけが自然を調べて決める物理の中身です．

2つの状態から無限個の状態へ

この章では2つや3つの基底しか使いませんでした．ところが，粒子の位置のように連続な量を扱うには，無限個の基底が要ります．その入口を，2状態系の考え方から作ってみましょう．

一直線に等間隔 $b$ で並んだ原子の列を，電子が渡り歩くとします． $n$ 番目の原子にいる状態を基底に選び，振幅を $C_{n}$ とします．アンモニアと同じく，各原子にとどまるエネルギーを $E_{0}$ ，となりの原子へ移る振幅を表す成分を $- A$ とすると

i ℏ \frac{d C_{n}}{d t} = E_{0} C_{n} - A C_{n + 1} - A C_{n - 1}

です．原子の間隔 $b$ が，振幅が変化する長さに比べてずっと小さいとし，振幅を位置 $x = n b$ の滑らかな関数 $ψ (x)$ とみなします．テイラー展開（第7章）で $ψ (x \pm b) \approx ψ \pm b \frac{\partial ψ}{\partial x} + \frac{b^{2}}{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ とすると，両どなりの和は $2 ψ + b^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ です．エネルギーの基準を $E_{0} - 2 A$ にずらし， $A b^{2} = ℏ^{2} / (2 m)$ とおき，場所によって違うエネルギーのずれを $V (x)$ と書けば

法則シュレーディンガー方程式（1次元）

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V (x) ψ

が得られます． $ψ (x)$ が，第29章で波動関数と呼んだものです． $V = 0$ のとき $ψ = e^{i (k x - ω t)}$ を入れると $ℏ ω = ℏ^{2} k^{2} / (2 m)$ で， $E = ℏ ω$ ， $p = ℏ k$ とすれば $E = p^{2} / (2 m)$ という自由な粒子のエネルギーです．となりへ移る振幅が，粒子の運動エネルギーの正体だったのです． $m$ は $ℏ^{2} / (2 A b^{2})$ で決まるので，結晶の中の電子は真空中と違う「有効質量」をもちます．これは半導体（第29章）を理解する鍵になります．

**［図：原子列の振幅から滑らかな波動関数へ］**
左右に等間隔bの原子列を描き，ある時刻に実数である振幅C_nを符号付きの棒の高さで示す．左は粗い原子列，右は同じ位置の範囲でbを小さくした原子列である．棒の先は滑らかな関数ψ(x)をなぞり，位置はx=nbである．

この方程式は，第29章の箱に閉じこめた電子の準位も，トンネル効果も説明します．エネルギーの決まった状態を探すことは，2状態系の固有値問題を，無限個の成分をもつ場合へ広げたものです．

水素原子の量子数

3次元のシュレーディンガー方程式に，陽子のクーロンの位置エネルギー $V = - \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} r}$ を入れて固有値を探すと，エネルギーは

E_{n} = - \frac{13.6 eV}{n^{2}} (n = 1, 2, 3, \dots)

となり，第29章のボーア模型と同じ値が出ます．ただし，電子は円軌道を回るのではなく，振幅が原子の周りに広がった定常状態にあります．

定常状態は，3つの整数で区別されます． $n$ は主量子数です．残りの2つは回転の対称性から来ます．スピンの題材で，回転すると振幅が決まった位相で変わることを見ました．同じように，状態を $z$ 軸のまわりに角 $φ$ だけ回したとき振幅が $e^{- i m φ}$ 倍になる状態は，角運動量の $z$ 成分が $m ℏ$ です（スピン1/2の $| + ⟩$ に付く $e^{- i ϕ / 2}$ は $m = 1 / 2$ に当たります．この $m$ は質量ではありません）．軌道の運動では一周で元に戻るので $m$ は整数です．角運動量の大きさを表す $l$ は $0$ から $n - 1$ まで， $m$ は $- l$ から $l$ までの値をとります．さらに電子のスピンの2つの向きがあるので，同じ $n$ の状態は

2 \sum_{l = 0}^{n - 1} (2 l + 1) = 2 n^{2}

個あります． $n = 1$ で2個， $n = 2$ で8個です．電子はフェルミ粒子なので，1つの状態に1個しか入れません（パウリの排他律）．多くの電子をもつ原子では，電子が下の状態から順に詰まり，詰まり方の区切りが周期表の周期になります．化学の性質の周期性は，回転の対称性とフェルミ粒子の統計から出てくるのです．

場の量子論へ

同じ粒子の題材では，すでに $n$ 個の光子がいる状態へもう1個の光子が入る確率が $n + 1$ 倍になることを見ました．光子の数そのものが変わる過程を扱うには，「光子が $n$ 個いる状態」を基底に選び，光子を作る振幅と消す振幅を考える必要があります．電磁場の各振動の形（第26章）を1つの振動子とみなすと，そのエネルギーの準位が $ℏ ω$ 間隔に並び，準位の番号がちょうど光子の数になります．これが光の量子論です．

相対論と量子力学を合わせると，電子もまた「電子の場」の振動として扱わなければなりません． $E = m c^{2}$ のために，十分なエネルギーがあれば粒子と反粒子の対が生まれ，粒子の数は保存しないからです（次の第31章で扱う対生成）．同じ種類の粒子が完全に区別できないこと，スピンが半整数ならフェルミ粒子，整数ならボース粒子になることは，この場の量子論で説明されます．

場の量子論でも，規則はこの章と同じです．起こりうる過程（電子が光子を出す，光子が対を作る，など）を図に描き，それぞれに振幅を割り当てて足し，絶対値を2乗して確率にします．この図をファインマン図といいます．電子と光の量子論（量子電磁力学）で計算した電子の磁気モーメントは，実験と10けたを超える精度で一致しています．

ポイントここまでのまとめ

干渉，光子，ド・ブロイ波長，準位，吸収と放出，統計，化学結合は，振幅の規則・時間変化の形・対称性という共通の枠組みから出る．物理の中身として残るのはハミルトニアンの成分．
となりへ移る振幅をもつ基底を連続に並べると，シュレーディンガー方程式になる．移る振幅が運動エネルギーを与える．
水素原子の定常状態は $n, l, m$ とスピンで区別され，同じ $n$ に $2 n^{2}$ 個ある．回転の対称性とパウリの排他律から周期表が出る．
粒子の生成と消滅を扱う場の量子論でも，過程ごとの振幅を足して2乗するという規則は変わらない．