確率振幅から組み立てる量子力学（発展）

2状態系の準位と遷移の演習

著者：柚木芹香

準位の分裂と確率の振動を結びつけましょう．直交基底 $| 1 ⟩, | 2 ⟩$ の振幅列 $C = (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \end{matrix})$ は $i ℏ \frac{d C}{d t} = H C$ を満たします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

2地点間を行き来する模型を $H = (\begin{matrix} E_{0} & - A \\ - A & E_{0} \end{matrix})$ ， $A > 0$ とします．

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ と $(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ に行列を掛け，エネルギーと規格化した定常状態を求めよ．
$| 1 ⟩$ から出発したときの $P_{2}$ と，最初の完全移行時刻を求めよ．

**［図：2地点の基底と結合］**
場所1，2に対応する直交基底|1⟩，|2⟩を示す．各対角成分はE₀で，2地点の結合は−Aである．固有準位と遷移時刻は描かない．

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考え方 定常状態に分け，位相を付けて基底へ戻す．

行列を掛けるとそれぞれ $(E_{0} - A) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ ， $(E_{0} + A) (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ ．したがって $| s ⟩ = (| 1 ⟩ + | 2 ⟩) / \sqrt{2}$ のエネルギーは $E_{0} - A$ ， $| a ⟩ = (| 1 ⟩ - | 2 ⟩) / \sqrt{2}$ は $E_{0} + A$ である．
$| 1 ⟩ = (| s ⟩ + | a ⟩) / \sqrt{2}$ より

| ψ (t) ⟩ = e^{- i E_{0} t / ℏ} [\cos (A t / ℏ) | 1 ⟩ + i \sin (A t / ℏ) | 2 ⟩]

よって $P_{2} = \sin^{2} (A t / ℏ)$ ，最初の完全移行は $t = π ℏ / (2 A)$ ．確率の往復周期は $π ℏ / A$ で， $A \to 0$ では行き来が消える．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

外場中で反転する分子の行列は $H = (\begin{matrix} E_{0} + δ & - A \\ - A & E_{0} - δ \end{matrix})$ ， $A > 0$ ， $δ$ は実数です．

行列式から準位とその間隔を求めよ．
下の定常状態の振幅比 $C_{2} / C_{1}$ を求めよ． $δ > 0$ でどちらの場所の確率が大きいか．
$| δ | / A$ が十分小さい場合の準位間隔を2次まで求めよ． $\sqrt{1 + x} \approx 1 + x / 2$ を使ってよいとします．

**［図：外場中の対角成分と結合］**
外場中の2基底の対角成分E₀＋δ，E₀−δと結合−Aを同じ高さの箱に示す．δの符号に応じた準位の大小は描かない．

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考え方 対角差と結合を含めて固有値を求める．

$\det (H - E I) = {(E_{0} - E)}^{2} - δ^{2} - A^{2} = 0$ なので， $D = \sqrt{A^{2} + δ^{2}}$ とおけば $E = E_{0} \pm D$ ．準位間隔は $2 D \geq 2 A$ ，外場で広がる． $I$ は単位行列である．
下の準位では $(δ + D) C_{1} - A C_{2} = 0$ より $r = C_{2} / C_{1} = (δ + D) / A$ ． $δ > 0$ なら $r > 1$ なので場所2の確率が大きい．
$2 D = 2 A \sqrt{1 + δ^{2} / A^{2}} \approx 2 A + δ^{2} / A$ ．2次の補正に対する捨てた項の比は $δ^{2} / A^{2}$ 程度で， $1 ≫ | δ | / A$ が必要である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

未知の2状態系で $H = (\begin{matrix} δ & - A \\ - A & - δ \end{matrix})$ ， $A > 0, δ \geq 0$ とします． $| 1 ⟩$ から出発したとき， $P_{2}$ の最初の最大は $t_{m} = 2.0 \times 10^{- 11} s$ ，最大値が $P_{m} = 0.64$ でした． $ℏ = 1.05 \times 10^{- 34} J s$ とします．

$D = \sqrt{A^{2} + δ^{2}}$ とおき，連立方程式から $P_{2} (t)$ を導け．
測定値から $A, δ$ を推定せよ．最大値が1未満なのは $A$ が小さいためか．

**［図：初期値と最初の最大の測定記録］**
P₂対tの座標に初期点(0，0)と，測定された最初の最大t_m＝2.0×10⁻¹¹ s，P_m＝0.64を示す．測定点を結ぶ曲線は描かない．

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考え方 周期と最大値から2つの未知量を決める．

$i ℏ \frac{d C_{1}}{d t} = δ C_{1} - A C_{2}$ ， $i ℏ \frac{d C_{2}}{d t} = - A C_{1} - δ C_{2}$ ．後式を微分すると $i ℏ \frac{d^{2} C_{2}}{d t^{2}} = - A \frac{d C_{1}}{d t} - δ \frac{d C_{2}}{d t}$ ．両式を代入して $- ℏ^{2} \frac{d^{2} C_{2}}{d t^{2}} = (A^{2} + δ^{2}) C_{2}$ ．初期条件は $C_{2} (0) = 0, \frac{d C_{2}}{d t} (0) = i A / ℏ$ なので $C_{2} = i (A / D) \sin (D t / ℏ)$ ， $P_{2} = (A^{2} / D^{2}) \sin^{2} (D t / ℏ)$ ．
$D t_{m} / ℏ = π / 2$ より $D = π ℏ / (2 t_{m}) \approx 8.25 \times 10^{- 24} J$ ．丸める前の $D$ を用いて， $A = D \sqrt{P_{m}} \approx 6.6 \times 10^{- 24} J$ ， $δ = D \sqrt{1 - P_{m}} \approx 4.9 \times 10^{- 24} J$ ． $δ = 0$ なら， $A$ は周期だけを変える． $P_{1} + P_{2} = 1$ であり，粒子は失われていない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

水素分子イオンを，電子の左右の局在を表す直交基底で模型化します．距離 $R > 0$ ， $x = e^{- R / a}$ とし，電子の行列を

H (R) = (\begin{matrix} E_{0} + 2 A_{0} x^{2} & - A_{0} x \\ - A_{0} x & E_{0} + 2 A_{0} x^{2} \end{matrix})

とします．正の対角項は短距離の反発です． $A_{0} = 8.0 eV, a = 8.0 \times 10^{- 11} m$ とします．電子は下の定常状態です．

下の準位と平衡距離の有無を求めよ．
平衡距離と結合エネルギーを数値で求めよ．分離した極限を基準とします．上の準位にも極小はあるか．

**［図：2陽子の距離と電子の局在基底］**
距離Rの2陽子と左右に局在する電子基底を示す．対角成分E₀＋2A₀x²，反発項2A₀x²，結合−A₀x，x＝e^{−R/a}は問題で与えられた成分である．

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考え方 下の準位を核間距離のポテンシャルとして調べる．

対称な状態のエネルギーは $E_{-} = E_{0} + 2 A_{0} x^{2} - A_{0} x$ ． $\frac{d x}{d R} = - x / a$ より $\frac{d E_{-}}{d R} = (A_{0} / a) x (1 - 4 x)$ ．停留点は $e^{- R / a} = 1 / 4$ ， $R_{e} = a \ln 4$ ．そこで $\frac{d^{2} E_{-}}{d R^{2}} = A_{0} / (4 a^{2}) > 0$ なので安定である．
$R_{e} \approx 1.1 \times 10^{- 10} m$ ， $E_{-} (R_{e}) - E_{0} = A_{0} / 8 - A_{0} / 4 = - A_{0} / 8$ ．結合エネルギーは正の $1.0 eV$ ．上の準位は $E_{+} = E_{0} + 2 A_{0} x^{2} + A_{0} x$ ， $\frac{d E_{+}}{d R} = - (A_{0} / a) x (4 x + 1) < 0$ で，極小はない．遠方で両準位は $E_{0}$ に戻る．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

静磁場に回転する磁場を加えたスピン1/2の模型を，基底 $| + ⟩, | - ⟩$ で

H (t) = (\begin{matrix} - ℏ ω_{0} / 2 & g e^{i ω t} \\ g e^{- i ω t} & ℏ ω_{0} / 2 \end{matrix})

とします． $g > 0, ω_{0} > 0$ は定数， $g$ はエネルギーの次元を持ちます． $t = 0$ に $| + ⟩$ から出発します．

$C_{+} = e^{i ω t / 2} a, C_{-} = e^{- i ω t / 2} b$ と変数を変え，行列を求めよ．
$Δ = ω - ω_{0}$ ， $Ω = \sqrt{Δ^{2} + 4 g^{2} / ℏ^{2}}$ とおき， $-$ にある確率を求めよ．
共鳴時の最初の完全移行時刻を求めよ． $| Δ | = 2 g / ℏ$ での最大確率も求めよ．

**［図：静磁場と回転磁場とz方向の分析］**
時刻0の|+⟩を，静磁場とそれに垂直な面で回転する磁場の領域へ入れる．磁場を緑の矢印で示し，回転の角振動数ωとz方向の分析を付す．

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考え方 回転する位相を変数に吸収する．

代入すると $i ℏ \frac{d a}{d t} = ℏ Δ a / 2 + g b$ ， $i ℏ \frac{d b}{d t} = g a - ℏ Δ b / 2$ ．行列は $H^{'} = (\begin{matrix} ℏ Δ / 2 & g \\ g & - ℏ Δ / 2 \end{matrix})$ である．
$H^{' 2} = ℏ^{2} Ω^{2} I / 4$ より $\frac{d^{2} b}{d t^{2}} = - Ω^{2} b / 4$ ． $b (0) = 0, \frac{d b}{d t} (0) = - i g / ℏ$ なので $b = - 2 i g \sin (Ω t / 2) / (ℏ Ω)$ ．位相の絶対値は1なので

P_{-} = \frac{4 g^{2}}{ℏ^{2} Ω^{2}} \sin^{2} (Ω t / 2)

共鳴では $Δ = 0$ ， $P_{-} = \sin^{2} (g t / ℏ)$ ，最初の完全移行は $π ℏ / (2 g)$ ．指定のずれでは $Ω^{2} = 8 g^{2} / ℏ^{2}$ なので最大値は $1 / 2$ ．この行列に対して厳密で， $g t / ℏ$ の小ささは不要である． $g = 0$ なら遷移は起こらず， $g / ℏ$ の次元は角振動数である．

ポイント教える人へ

基底と定常状態，周期と移行時刻を区別させます．
対角差が最大確率にどう現れるか問います．
周期と振幅から模型を決めさせます．
完全移行の条件と模型の限界を問います．