原子核と素粒子

放射性崩壊と放射線測定の演習

著者：柚木芹香

核数と放射能，計数を区別して解いてください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

単一核種の放射能が $80 Bq$ から $9.0 h$ 後に $10 Bq$ となった． $1 h = 3600 s$ とする．

半減期・崩壊定数・平均寿命を求めよ．
初めの核数と崩壊した核数を求めよ．

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考え方 放射能 $R = λ N$ の比は核数の比に等しい．

$10 / 80 = 1 / 8 = 2^{- 3}$ より $T_{1 / 2} = 3.0 h$ ． $λ = \ln 2 / 10800 s^{- 1} = 6.4 \times 10^{- 5} s^{- 1}$ ， $τ = 1 / λ = 4.3 h$ ．
$N_{0} = R_{0} / λ = 1.2 \times 10^{6}$ ．崩壊数は $7 N_{0} / 8 = 1.1 \times 10^{6}$ ． $R / λ$ は無次元となる．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

質量数232，原子番号90の核が $α$ ・ $β^{-}$ 崩壊を経て，質量数208，原子番号82になる．

各崩壊の回数を求めよ．途中の $γ$ 放出で回数は変わるか．
単色の $γ$ 線の未散乱光子数が厚さ $d$ の板で半分になる． $I (x) = I_{0} e^{- μ x}$ として， $μ$ と透過数を1/32以下にする最小厚さを求めよ．

**［図：崩壊系列の両端とγ線の透過］**
質量数232，原子番号90から，質量数208，原子番号82へ変わる崩壊系列．別図にγ光子束，厚さxの板，検出器を示す．

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考え方 質量数から $α$ の回数，電荷保存から $β^{-}$ の回数を決める．

回数を $a, b$ とすると $232 - 4 a = 208$ ， $90 - 2 a + b = 82$ ．よって $a = 6$ ， $b = 4$ である． $γ$ 放出では質量数・原子番号は不変．
$e^{- μ d} = 1 / 2$ から $μ = \ln 2 / d$ ． $e^{- μ x} \leq 2^{- 5}$ より $x \geq 5 d$ で，最小は $5 d$ ．散乱光子も検出する配置では，この指数則をそのまま使えない．

演習 3

東京大 2000 後期（改題） ★★☆☆☆

単一核種を固定した配置で $60 s$ ずつ測り，下表の総計数 $C_{i}$ を得た．毎回の独立な同時間の背景計数 $D_{i}$ は400で，検出効率は一定とする．

開始時刻 $t$	$C_{i}$
$0 s$	5200
$600 s$	2800
$1200 s$	1600

$S_{i} = C_{i} - D_{i}$ を片対数で直線化して半減期を求めよ．総計数も直線になるか．
計数の不確かさはその平方根で，正味計数の分散は $σ_{i}^{2} = C_{i} + D_{i}$ である．両端から求める $L = \ln (S_{0} / S_{2})$ について， $σ_{L}^{2} = σ_{0}^{2} / S_{0}^{2} + σ_{2}^{2} / S_{2}^{2}$ を使い，半減期の不確かさを求めよ．

**［図：計数測定と片対数の作図用座標］**
試料ありの測定と独立な背景測定を示す．下段は開始時刻tと正味計数S_iの片対数作図用座標で，測定点は未記入．

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考え方 背景を引いても背景計数のゆらぎは残る．

正味計数は4800，2400，1200．効率 $ε$ ，測定時間 $Δ t$ で $S (t) = ε [N (t) - N (t + Δ t)] = ε N_{0} (1 - e^{- λ Δ t}) e^{- λ t}$ ． $\ln S$ の傾きは $- λ$ で， $λ = \ln 4 / (1200 s)$ ， $T_{1 / 2} = \ln 2 / λ = 600 s$ ．中央も一致する．総計数は直線にならない．
$σ_{L} = \sqrt{5600 / 4800^{2} + 2000 / 1200^{2}} = 0.0404$ ． $T_{1 / 2} = 1200 \ln 2 / L s$ を微分すると $σ_{T} / T_{1 / 2} = σ_{L} / L$ ．よって $σ_{T} = 600 \times 0.0404 / \ln 4 s \approx 17 s$ である．相対ゆらぎ $σ_{L} / L \approx 0.029$ は小さい．

演習 4

東京大 1995 前期（改題） ★★☆☆☆

木炭の炭素の単位質量あたりの $_{6}^{14} C$ 放射能は現代炭素の0.325倍である．炭素質量の10.0 %は後で混入した現代炭素である．植物の生前の同位体比は一定で，この混入以外には死後の炭素交換はない．半減期は $5730 年$ とする．

木炭由来の現代炭素に対する比と年代を求めよ．
混入を無視した年代と誤りの向きを求めよ．

**［図：木炭由来と現代由来の炭素］**
炭素質量の90.0 %が木炭由来，10.0 %が混入した現代炭素である．試料全体の単位質量あたりの放射能は現代炭素の0.325倍．

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考え方 炭素質量で重みをつけて放射能を足す．

木炭由来の比を $r$ とすると $0.325 = 0.900 r + 0.100$ なので $r = 0.250$ ． $t = - 5730 \ln r / \ln 2 年 = 1.15 \times 10^{4} 年$ ．
$t^{'} = - 5730 \ln 0.325 / \ln 2 年 = 9.29 \times 10^{3} 年$ ．比放射能が増すので約 $2.2 \times 10^{3} 年$ 若く見える．混入0なら年代は一致する．

演習 5

東京大 2000 後期（改題） ★★☆☆☆

静止核が $α$ 粒子と基底状態の娘核に崩壊する．娘核は $216 u$ ， $α$ 粒子は $4.00 u$ とする．α粒子の測定運動エネルギーは $6.48 MeV$ であった．運動は非相対論近似で扱い， $1 u c^{2} = 931.5 MeV$ とする．

娘核の運動エネルギーと解放エネルギー $Q$ を求めよ．
$v_{α} / c$ を求め，近似を確かめよ． $β^{-}$ 崩壊の電子が連続エネルギーになる理由を述べよ．

**［図：静止親核のα崩壊］**
静止親核から娘核とα粒子が生じる．娘核の質量216 u，α粒子の質量4.00 uと測定運動エネルギー6.48 MeVを示す．

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考え方 等しい運動量では，運動エネルギーは質量に反比例する．

$p_{D} + p_{α} = 0$ ． $K = p^{2} / (2 m)$ より $K_{D} / K_{α} = 4 / 216$ なので $K_{D} = 0.120 MeV$ ． $Q = K_{α} + K_{D} = 6.60 MeV$ である．
$v_{α} / c = \sqrt{2 K_{α} / (m_{α} c^{2})} = \sqrt{12.96 / (4.00 \times 931.5)} = 0.0590$ ． $K_{α} / (m_{α} c^{2}) = 0.00174$ は小さく，非相対論近似がよい． $β^{-}$ 崩壊は娘核・電子・反ニュートリノへエネルギーと運動量を分けるので，電子の取り分は一定でない．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

PからD，Dから安定核へ枝分かれなく崩壊する．初めに $N_{P} = N_{0}$ ， $N_{D} = 0$ とする．半減期はPが $40 日$ ，Dが $2.0 日$ である．

$λ_{P} = λ$ とおき， $N_{D} (t)$ と放射能比 $r = R_{D} / R_{P}$ を求めよ．
娘の放射能の最大時刻と $r$ を求めよ．
十分後の $r$ と，放射能を等しくする近似条件を求めよ．

**［図：親核から娘核を経る崩壊系列］**
PからD，Dから安定核への崩壊．Pの半減期40日，Dの半減期2.0日と，時刻0のN_P=N_0，N_D=0を示す．

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考え方 娘核の増減は生成率と崩壊率の差である．

$λ_{D} = 20 λ$ ， $N_{P} = N_{0} e^{- λ t}$ ． $\frac{d N_{D}}{d t} + 20 λ N_{D} = λ N_{0} e^{- λ t}$ ． $e^{20 λ t}$ を掛けて0から積分すると $e^{20 λ t} N_{D} = N_{0} (e^{19 λ t} - 1) / 19$ ．よって

N_{D} = \frac{N_{0}}{19} (e^{- λ t} - e^{- 20 λ t}), r = \frac{20}{19} (1 - e^{- 19 λ t})

微分を0とすると $- e^{- λ t} + 20 e^{- 20 λ t} = 0$ ． $t_{*} = \ln 20 / (19 λ) = 40 \ln 20 / (19 \ln 2) 日 = 9.1 日$ ．このとき $r = 1$ で，微分は正から負へ変わる．
極限は $20 / 19 \approx 1.053$ である． $λ_{P} / λ_{D}$ と $e^{- 19 λ t}$ が小さければ $r \approx 1$ ．前者は0.050で約5 %のずれが残る． $t = 0$ で娘核数は0となる．

ポイント教える人へ

半減期と平均寿命が対応する値を問います．
背景を引いてもゆらぎが残る理由を問います．
反跳のエネルギー等分の誤りを問います．
娘の放射能の最大と放射平衡を区別させます．