原子核と素粒子

崩壊の微分方程式と放射平衡

著者：柚木芹香

崩壊の法則を微分方程式として解き，平均寿命，片対数グラフ，親核と娘核が続けて崩壊するときの式をまとめます．

定理数学の道具：指数関数的な減衰

$λ > 0$ を定数として

\frac{d N}{d t} = - λ N, N (0) = N_{0}

の解は $N = N_{0} e^{- λ t}$ である．変数分離で $d N / N = - λ d t$ とし，両辺を積分すると $\ln (N / N_{0}) = - λ t$ となる（第21章のコンデンサーの放電と同じ形）．

半減期． $e^{- λ T_{1 / 2}} = 1 / 2$ から $T_{1 / 2} = \ln 2 / λ$ ．よって $e^{- λ t} = (1 / 2)^{t / T_{1 / 2}}$ である．

平均寿命． 時刻 $t$ から $t + d t$ の間に崩壊する割合は $λ e^{- λ t} d t$ なので，崩壊までの時間の平均は

τ = \int_{0}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = {(- t e^{- λ t}) |}_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{- λ t} d t = \frac{1}{λ}

である（部分積分）． $τ$ は，初めの減り方 $λ N_{0}$ のまま減り続けたら0になる時刻でもある．

崩壊した数． 時刻 $t_{1}$ から $t_{2}$ の間に崩壊する数は $N (t_{1}) - N (t_{2})$ で，測定時間 $Δ t$ が半減期より十分短ければ $λ N (t_{1}) Δ t$ で近似できる．

練習1　半減期 $8.0 日$ の核が $N_{0}$ 個ある． $20 日$ 後に残る割合と，平均寿命を求めよ．

答え　 $(1 / 2)^{20 / 8.0} = 2^{- 2.5} \approx 0.18$ ． $τ = 8.0 / \ln 2 日 \approx 12 日$ ．

定理数学の道具：片対数グラフ

$N = N_{0} e^{- λ t}$ の自然対数をとると

\ln N = \ln N_{0} - λ t

で，縦軸を $\ln N$ にしたグラフは傾き $- λ$ の直線になる．放射能や一定の時間幅の計数も $N$ に比例するので同じ傾きになる．片対数方眼紙なら，値が半分になる時間の幅から半減期が読める．

バックグラウンドを含む総計数は「指数関数＋定数」なので直線にならず，先に正味の計数にしてから対数をとる．半減期の違う2種類の核が混ざると，グラフは折れ曲がり，後には長い方の直線だけが残る．

**［図：2種類の核の計数を片対数グラフで分ける］**
青線は半減期の違う2種類の核の正味計数の自然対数である．後半の長い半減期の成分を緑の直線として前へ延ばす．その成分を対数をとる前の正味計数から差し引くと，残りは橙の短い半減期の直線となる．赤い点線はバックグラウンドを含む総計数で，後半は一定の背景へ近づいて曲がる．時間と成分の大きさは説明用の値である．

$\ln C$ の不確かさは $C$ の相対的な不確かさ $1 / \sqrt{C}$ なので，計数が小さい後半の点ほど大きく，直線を引くときは前半の点を重く見ます．

親核と娘核の崩壊

親核P（崩壊定数 $λ_{P}$ ）が崩壊して娘核D（崩壊定数 $λ_{D}$ ）になり，Dがさらに崩壊するとします．DはPの崩壊で作られた分だけ増え，自分の崩壊の分だけ減るので

\frac{d N_{P}}{d t} = - λ_{P} N_{P}, \frac{d N_{D}}{d t} = λ_{P} N_{P} - λ_{D} N_{D}

です．2つ目は積分因子を使って解きます．

定理数学の道具：生成と崩壊がある1階の微分方程式

\frac{d y}{d t} + k y = g (t)

の両辺に $e^{k t}$ を掛けると，左辺は $d (e^{k t} y) / d t$ にまとまる（積の微分）．よって

e^{k t} y (t) = y (0) + \int_{0}^{t} e^{k s} g (s) d s

である． $g$ が一定値 $g_{0}$ で $y (0) = 0$ なら， $y = \frac{g_{0}}{k} (1 - e^{- k t})$ となり， $g_{0} / k$ に時定数 $1 / k$ で近づく．

親子の崩壊では $N_{P} = N_{0} e^{- λ_{P} t}$ ， $N_{D} (0) = 0$ ， $λ_{P} \neq λ_{D}$ として， $k = λ_{D}$ ， $g = λ_{P} N_{0} e^{- λ_{P} t}$ とおくと

N_{D} = \frac{λ_{P} N_{0}}{λ_{D} - λ_{P}} (e^{- λ_{P} t} - e^{- λ_{D} t})

です．放射能の比は

\frac{λ_{D} N_{D}}{λ_{P} N_{P}} = \frac{λ_{D}}{λ_{D} - λ_{P}} (1 - e^{- (λ_{D} - λ_{P}) t})

です．

娘の方が速く崩壊する（ $λ_{D} > λ_{P}$ ）と，比は $λ_{D} / (λ_{D} - λ_{P})$ に近づき，親と娘は同じ速さで減ります（過渡平衡）．
さらに $λ_{P} / λ_{D}$ が十分小さいと比は1で，親と娘の放射能が等しくなります（永続平衡）． $g$ を一定とした上の式のとおり，娘は時定数 $1 / λ_{D}$ で平衡に近づきます．
$λ_{D} < λ_{P}$ なら平衡にならず，親が先になくなり娘が残ります．

［図：親と娘の半減期の比と放射平衡］

初期状態ではT_D/T_P = 0.020，娘の初期核数は0である．青い実線は親の放射能λ_P N_P，橙の破線は娘の放射能λ_D N_Dを，初めの親の放射能λ_P N₀で割った片対数グラフである．娘は0から増え，親の直線に寄り添う．半減期の比を変えると，永続平衡に近い場合，過渡平衡，平衡なしの違いが分かる．0は対数目盛に描けないので，娘の曲線は表示範囲に入ったところから見える．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

遺跡の木炭から炭素 $4.0 g$ を取り出し，検出効率 $0.50$ の検出器で $10 h$ 測ったところ，総計数は5400であった．試料を除いて同じ時間測ったバックグラウンドの計数は3300であった．今の植物の炭素 $1 g$ あたりの $_{6}^{14} C$ の放射能を $0.23 Bq$ ，半減期を5730年とし， $1 h = 3600 s$ とする．木が切られたときの炭素 $1 g$ あたりの放射能は今の植物と同じで，その後の炭素の出入りはないものとする．

木炭の炭素 $1 g$ あたりの放射能と，木が切られてからの年数を求めよ．
計数の不確かさをそれぞれの計数の平方根として，年数の不確かさを求めよ．

**［図：炭素試料あり・なしの計数測定］**
左は木炭から取り出した炭素4.0 gを測る配置で，検出効率0.50，測定時間10 h，総計数5400である．右は試料を除いた配置で，検出効率0.50，同じ10 hのバックグラウンド計数3300である．周囲や宇宙線からの放射線は両方の測定で数えられる．

解答を見る

考え方 正味の計数を検出効率と時間と質量で割れば，1 g あたりの放射能になる．測定時間10 h は半減期よりずっと短いので，その間の放射能は一定とみてよい．年数は放射能の比の対数で決まり，対数の不確かさは比の相対的な不確かさに等しい．

正味の計数は $S = 5400 - 3300 = 2100$ ．1 g あたりの放射能は

\frac{S}{ε Δ t m} = \frac{2100}{0.50 \times 3.6 \times 10^{4} s \times 4.0 g} = 2.9 \times 10^{- 2} Bq g^{- 1}

である．今の植物との比は $r = 2.92 \times 10^{- 2} / 0.23 = 0.127$ なので

t = \frac{5730}{\ln 2} \ln \frac{1}{r} 年 = 8.27 \times 10^{3} \times 2.06 年 \approx 1.7 \times 10^{4} 年

である．

$S$ の不確かさは $σ_{S} = \sqrt{5400 + 3300} \approx 93$ で，相対的には $93 / 2100 = 0.044$ ． $t = (T_{1 / 2} / \ln 2) \ln (1 / r)$ で $r$ は $S$ に比例するので， $σ_{t} = (T_{1 / 2} / \ln 2) σ_{S} / S = 8.27 \times 10^{3} \times 0.044 年 \approx 3.7 \times 10^{2} 年$ ．よって $t = (1.71 \pm 0.04) \times 10^{4} 年$ である．

確かめ： $r = 0.127$ は $1 / 8$ に近いので，年数は3半減期 $1.72 \times 10^{4} 年$ に近い．不確かさの大半はバックグラウンドから来ていて，正味の計数がバックグラウンドより小さい試料では，バックグラウンドを長く測ることが効く．なお， $σ_{S} / S$ が十分小さいので， $\ln$ を1次で近似した誤差の伝え方が使える．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

$_{92}^{238} U$ だけからなる試料 $1.00 mg$ の放射能を測ると $12.4 Bq$ であった．アボガドロ定数を $6.02 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ ，モル質量を $238 g {mol}^{- 1}$ ，1年を $3.16 \times 10^{7} s$ とする．

試料の核の数と崩壊定数を求め，半減期を年で表せ．
この半減期を，放射能の時間変化を片対数グラフにして求めることはできるか．1年の測定で放射能が何割変わるかから考えよ．

解答を見る

考え方 半減期が長すぎて減り方が見えない核は，核の数 $N$ と放射能 $λ N$ を別々に求め，その比で $λ$ を決める．

$N = \frac{1.00 \times 10^{- 3}}{238} \times 6.02 \times 10^{23} = 2.53 \times 10^{18}$ ．

λ = \frac{R}{N} = \frac{12.4}{2.53 \times 10^{18}} s^{- 1} = 4.90 \times 10^{- 18} s^{- 1}

T_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ} = 1.41 \times 10^{17} s = 4.47 \times 10^{9} 年

である．

1年で放射能は $e^{- λ t}$ 倍になり， $λ t = 4.90 \times 10^{- 18} \times 3.16 \times 10^{7} = 1.55 \times 10^{- 10}$ だけ相対的に減る．これは $1.55 \times 10^{- 9}$ 割である．これを測るには，計数の相対的な不確かさ $1 / \sqrt{C}$ をこれより小さく，つまり $C > 1 / (λ t)^{2} \approx 4.2 \times 10^{19}$ にしなければならず，できない．片対数グラフの方法は使えない．

確かめ：地球の年齢（約46億年）と同じほどの半減期なので， $_{92}^{238} U$ は地球ができたときの約半分が今も残っている．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

$_{88}^{226} Ra$ （半減期 $1.60 \times 10^{3} 年$ ） $1.00 g$ を，ラドンを除いた直後に容器に密閉した． $_{88}^{226} Ra$ は α 崩壊して $_{86}^{222} Rn$ （半減期 $3.82 日$ ）になる．観測期間はラジウムの半減期より十分短く，ラジウムの放射能は一定と見なす．ラジウムのモル質量を $226 g {mol}^{- 1}$ ，アボガドロ定数を $6.02 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ ，1年を $3.16 \times 10^{7} s$ ，標準状態の気体の数密度を $2.69 \times 10^{25} m^{- 3}$ とする．

$_{88}^{226} Ra$ の放射能を求めよ．
十分時間がたったとき，容器の中の $_{86}^{222} Rn$ の原子の数と，それが標準状態で占める体積を求めよ．
$_{86}^{222} Rn$ の放射能が (2) の平衡の値の99 %になるまでの日数を求めよ．

**［図：密閉容器内のRaから生じるRn］**
ラドンを除いた直後に，ラジウムRaの試料1.00 gを容器に密閉する．Raは半減期1600年でα崩壊してRnとなり，Rn気体が容器内に生じる．Rnは半減期3.82日でさらに崩壊する．粒子の数や容器の大きさは模式的で，求める核数・体積・日数は示さない．

解答を見る

考え方 親の半減期1600年は娘の3.82日より5桁長いので，数週間の間，親の数は一定とみなせる．娘は一定の割合 $λ_{P} N_{P}$ で作られ，生成と崩壊がつり合う永続平衡へ近づく．

$N_{P} = \frac{6.02 \times 10^{23}}{226} = 2.66 \times 10^{21}$ ， $λ_{P} = \frac{\ln 2}{1600 \times 3.16 \times 10^{7} s} = 1.37 \times 10^{- 11} s^{- 1}$ ．放射能は

R_{P} = λ_{P} N_{P} = 3.65 \times 10^{10} Bq

である．

平衡では $λ_{D} N_{D} = λ_{P} N_{P}$ ． $λ_{D} = \frac{\ln 2}{3.82 \times 8.64 \times 10^{4} s} = 2.10 \times 10^{- 6} s^{- 1}$ なので

N_{D} = \frac{R_{P}}{λ_{D}} = \frac{3.65 \times 10^{10}}{2.10 \times 10^{- 6}} = 1.74 \times 10^{16}

である．体積は，丸める前の $N_{D}$ を用いて $V = N_{D} / (2.69 \times 10^{25} m^{- 3}) = 6.46 \times 10^{- 10} m^{3}$ ，つまり $0.646 {mm}^{3}$ ほどにすぎない．

$N_{D} = \frac{λ_{P} N_{P}}{λ_{D}} (1 - e^{- λ_{D} t})$ で， $1 - e^{- λ_{D} t} = 0.99$ となるのは

t = \frac{\ln 100}{λ_{D}} = \frac{\ln 100}{\ln 2} \times 3.82 日 \approx 25.4 日

のときである．

確かめ： $λ_{P} / λ_{D} = 6.5 \times 10^{- 6}$ は十分小さく，25.4日の間に親が減る割合 $λ_{P} t \approx 3 \times 10^{- 5}$ も無視できるので，親を一定とした近似は正しい．過渡平衡の式の比 $λ_{D} / (λ_{D} - λ_{P})$ も1と $10^{- 5}$ 以下しか違わない．

ポイントここまでのまとめ

$d N / d t = - λ N$ の解は $N_{0} e^{- λ t}$ ．半減期 $T_{1 / 2} = \ln 2 / λ$ ，平均寿命 $τ = 1 / λ$ （部分積分で示せる）．
片対数グラフで $\ln N$ は傾き $- λ$ の直線．バックグラウンドは先に引き，2種類の核が混ざると折れ曲がる．
半減期が長すぎる核は，核の数と放射能の比 $λ = R / N$ から崩壊定数を決める．
娘核は $d N_{D} / d t = λ_{P} N_{P} - λ_{D} N_{D}$ に従い，積分因子 $e^{λ_{D} t}$ で解ける．親の方が十分長寿命なら，娘は時定数 $1 / λ_{D}$ で永続平衡 $λ_{P} N_{P} = λ_{D} N_{D}$ に近づく．