電流と回路

充放電と回路の切り替えの演習

著者：柚木芹香

直後・十分後を区別し，孤立部分の電荷を符号つきで数えてください．電源も収支に入れます．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

容量 $C = 5.0 μ F$ のコンデンサーの電圧は初め $V_{i} = 2.0 V$ である．時刻0に抵抗 $R = 40 k Ω$ を介し，同極性の理想電源 $E = 4.0 V$ につなぐ．電圧を $v$ ，正極板へ入る電流を $I$ とする．

回路の式から $v (t), I (t)$ を求め，直後と十分後の値を示せ．
$v = 3.0 V$ になる時刻を求めよ．回路の大きさ $ℓ = 3.0 m$ ，光の速さ $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ として，集中定数回路の条件も確かめよ．

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考え方
初期電圧を使って微分方程式を解く．

$I = C \frac{d v}{d t}$ ， $E = R I + v$ より， $\frac{d (E - v)}{d t} = - (E - v) / (R C)$ ．積分すると $\ln [(E - v) / (E - V_{i})] = - t / (R C)$ ．したがって， $τ = R C = 0.20 s$ として

v = E - (E - V_{i}) e^{- t / τ}, I = \frac{E - V_{i}}{R} e^{- t / τ} .

直後は $v = 2.0 V$ ， $I = 5.0 \times 10^{- 5} A$ ，十分後は $v = 4.0 V$ ， $I = 0$ ．

$e^{- t / τ} = 1 / 2$ より $t = τ \ln 2 \approx 0.14 s$ ．伝わる時間は $ℓ / c = 1.0 \times 10^{- 8} s$ ，比 $ℓ / (c τ) = 5.0 \times 10^{- 8}$ が十分小さく，伝わりの遅れを無視できる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

未充電のコンデンサー $C$ を，抵抗 $R > 0$ を介して一定起電力 $E$ の理想電源で充電する．渡った電荷を $q$ とする．

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考え方
電源の仕事と蓄積エネルギーの差を熱として数える．

$q = C E / 2$ より， $W = E q = C E^{2} / 2$ ． $U = q^{2} / (2 C) = C E^{2} / 8$ だから， $Q_{J} = W - U = 3 C E^{2} / 8$ ．
十分後は $q = C E$ ， $W = C E^{2}$ ， $U = C E^{2} / 2$ ， $Q_{J} = C E^{2} / 2$ ．回路の式 $R C \frac{d q}{d t} + q = C E$ を微分すると $R C \frac{d I}{d t} = - I$ ． $I (0) = E / R$ より $I = E e^{- t / (R C)} / R$ ．よって

\int_{0}^{\infty} R I^{2} d t = \frac{E^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / (R C)} d t = \frac{C E^{2}}{2} .

発熱は $R$ によらない． $R \to 0$ では $ℓ / (c R C)$ が増え，集中定数近似が破れる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

容量が未知のコンデンサーに抵抗 $R = 2.0 M Ω$ と内部抵抗 $R_{V} = 1.0 M Ω$ の電圧計を並列につなぎ，電源を外して放電させた．読みは次のとおりで，他の漏れはない．

$t$	$0 s$	$2.0 s$	$4.0 s$	$6.0 s$
$v$	$8.0 V$	$4.0 V$	$2.0 V$	$1.0 V$

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考え方
電圧計も放電の経路になる．対数で直線化する．

合成抵抗は $R_{p} = R R_{V} / (R + R_{V}) = 2 / 3 M Ω$ ． $C \frac{d v}{d t} = - v / R_{p}$ を積分すると $v = v (0) e^{- t / (R_{p} C)}$ ， $y = - t / (R_{p} C)$ ．測定値は $y = 0, - \ln 2, - 2 \ln 2, - 3 \ln 2$ なので，傾きは $- \ln 2 / (2.0 s)$ ， $τ = 2.0 s / \ln 2 \approx 2.9 s$ ．よって $C = τ / R_{p} \approx 4.3 μ F$ ．
影響を無視すると $C_{app} = τ / R$ ．比は $C_{app} / C = R_{p} / R = 1 / 3$ ． $R_{V} \to \infty$ では比が1へ近づき，補正が不要となる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

容量 $C, 2 C$ のコンデンサー1，2の下側極板を導線でつなぐ．下側に対する上側の初期電圧は，1が $V > 0$ ，2が $- V / 4$ である．電源を外し，時刻0に上側極板どうしを抵抗 $R > 0$ を介してつなぐ．電流 $I$ は1から2へ流れる向きを正とする．

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考え方
上側全体の電荷を保存し，電圧差の減衰を追う．

直後は $v_{1} = V, v_{2} = - V / 4$ のままである．上側全体の電荷は $C V + 2 C (- V / 4) = C V / 2$ ，下側は $- C V / 2$ で，各々保存する．十分後は共通電圧 $v_{f}$ となり， $3 C v_{f} = C V / 2$ から $v_{f} = V / 6$ ．1から失われる電荷は $C V - C V / 6 = 5 C V / 6$ である．
$I = (v_{1} - v_{2}) / R$ ， $C \frac{d v_{1}}{d t} = - I$ ， $2 C \frac{d v_{2}}{d t} = I$ ． $w = v_{1} - v_{2}$ とおくと $\frac{d w}{d t} = - 3 w / (2 R C)$ ． $w (0) = 5 V / 4$ から， $τ = 2 R C / 3$ ， $I = 5 V e^{- t / τ} / (4 R)$ ．発熱は

Q_{J} = \int_{0}^{\infty} R I^{2} d t = \frac{25 V^{2} τ}{32 R} = \frac{25 C V^{2}}{48} .

初期エネルギーは $U_{i} = C V^{2} / 2 + 2 C (V / 4)^{2} / 2 = 9 C V^{2} / 16$ ，終状態は $U_{f} = 3 C (V / 6)^{2} / 2 = C V^{2} / 24$ ．差は $25 C V^{2} / 48$ で一致する．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

未充電のコンデンサー $C$ を抵抗 $R$ を介して充電する．理想電源の電圧を $E / N, 2 E / N, \dots, E$ と $N$ 段階に上げ，各段階で十分待つ．

第 $k$ 段階の電源の仕事と発熱，全段階の仕事と発熱を求めよ．
一度に $E$ まで充電する場合の全発熱の10分の1以下に，全段階の発熱を抑える最小の $N$ を求めよ．全所要時間 $T$ を固定したまま $N \to \infty$ としてよいか．

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考え方
仕事とエネルギーを段階ごとに比べる．

$d = E / N$ とおけば，第 $k$ 段階で増える電荷は $C d$ ，電源の仕事は $W_{k} = (k d) (C d) = k C d^{2}$ ．エネルギー増加は $Δ U_{k} = C [(k d)^{2} - {((k - 1) d)}^{2}] / 2 = C (2 k - 1) d^{2} / 2$ ．よって $Q_{J, k} = W_{k} - Δ U_{k} = C d^{2} / 2$ ． $\sum_{k = 1}^{N} k = N (N + 1) / 2$ より，全仕事は $W = C E^{2} (N + 1) / (2 N)$ ，全発熱は $Q_{J} = C E^{2} / (2 N)$ ．
一度に充電する場合の全発熱は $C E^{2} / 2$ であり，これに対する全段階の発熱の比は $1 / N$ だから最小は $N = 10$ ．1段階の時間を $T / N$ とすると，残る電圧差の割合は $e^{- T / (N R C)}$ ．近似には $N R C / T$ が十分小さい必要があり， $T$ を固定した無限段階の極限では満たせない． $W - Q_{J} = C E^{2} / 2$ は蓄積エネルギーと等しく，収支が合う．

ポイント教える人へ