波と音

反射と定常波

著者：柚木芹香

問い

ギターの弦をはじくと，弦は決まった高さの音を出します．指で強くはじいても弱くはじいても，ピックで弾いても指で弾いても，音の高さは変わりません．変わるのは，フレットを押さえて弦の長さを変えたときと，糸巻きを回して張力を変えたときだけです．弦の上を伝わる波は，第1題材で見たように，どんな形でもどんな振動数でも進めるはずでした．それなのに，弦が鳴るときだけ振動数が決まってしまうのはなぜでしょうか．

考えてみる

はじいた弦の形は，波動方程式に従って左右に分かれて進みます．無限に長い弦ならそのまま遠くへ去るだけですが，ギターの弦は両端を留めてあるので，波は端に着くたびに跳ね返ります．長さ $l$ の弦を速さ $v$ の波が往復すると，かかる時間は $2 l / v$ です．あとで見るように，固定した端で跳ね返るたびに波形は上下が裏返るので，往復して2回裏返った波形は元と同じ形で戻ってきます．すると弦の運動は，はじき方によらず周期 $2 l / v$ で繰り返すはずで，振動数は $v / (2 l)$ に決まりそうです．

この見通しは正しいのですが，これだけでは「端でどう跳ね返るのか」「振動数 $v / (2 l)$ の何倍の音が混ざるのか」「指で軽く触れると何が変わるのか」が分かりません．端で何が起こるかを式にし，行きの波と帰りの波を重ねる必要があります．

境界条件と反射

$x \leq 0$ にある弦を，正弦波 $y_{i} = A \sin (ω t - k x)$ が右へ進み，端 $x = 0$ に着くとします．跳ね返った波は左へ進むので，同じ振動数で $y_{r} = B \sin (ω t + k x)$ と置きます．弦の変位は重ね合わせ $y = y_{i} + y_{r}$ です． $B$ を決めるのは，端で何が決まっているか，つまり境界条件です．

固定端では，端が動かないので，すべての時刻で $x = 0$ の変位が0です． $y (0, t) = (A + B) \sin ω t = 0$ から $B = - A$ で，反射波は $y_{r} = - A \sin (ω t + k x) = A \sin (ω t + k x + π)$ ．反射で位相が $π$ ずれ，山は谷になって戻ります．

自由端は，質量の無視できる小さな輪に弦を結び，輪を滑らかな縦の棒に通したものです．輪にはたらく横向きの力は張力 $S$ の横成分 $- S \frac{\partial y}{\partial x}$ だけで，質量0の輪に力が残れば加速度が無限大になるので，端では $\frac{\partial y}{\partial x} = 0$ （傾きが0）です． $\frac{\partial y}{\partial x} = k (B - A) \cos ω t$ が $x = 0$ で0になるから $B = A$ で，反射波は位相を変えずに戻ります．

パルスで考えると，固定端の反射は，端の向こう側から上下を裏返した鏡像のパルスが近づいてきて，元のパルスと重なっていく様子と同じです．端ではちょうど打ち消し合って変位が0に保たれます．自由端では裏返さない鏡像が近づき，端で重なって変位が一時的に2倍になります．

［図：固定端と自由端で反射するパルス］

初期状態では左の山形パルスが右へ進み，右の点線の鏡像は左へ進む．上段の鏡像は上下が逆，下段は同じ向きである．時刻を進めると，実線の和は固定端で変位0，自由端で傾き0を保ちながら反射する．

法則端での反射

固定端：変位が0．反射波は位相が $π$ ずれる（山が谷になって戻る）．
自由端：傾きが0（横向きの力が0）．反射波は同じ位相で戻る．

気柱の中の音でも同じことが言えます．音の変位を $ξ$ とすると，第1題材で見た圧力のずれは $δ p = - γ p \frac{\partial ξ}{\partial x}$ でした．管の閉口端では空気が壁より先へ動けないので $ξ = 0$ で，変位について固定端と同じです．そこでは $\frac{\partial ξ}{\partial x}$ は0とは限らず，圧力は大きく変わります．開口端では管の中の空気が大気につながっているので $δ p = 0$ ，つまり $\frac{\partial ξ}{\partial x} = 0$ で，変位について自由端と同じです．閉口端は変位の節で圧力の腹，開口端は変位の腹で圧力の節になります．圧力の波で見ると，閉口端では同じ位相で，開口端では位相が $π$ ずれて反射します．

開口端の条件は近似です．管の口の外の空気も少しは押し動かされるので，圧力がちょうど大気圧になる面は口よりわずかに外にあります．この補正を開口端補正といい，半径 $r$ の管ではおよそ $0.6 r$ です．管の半径が波長よりずっと小さいときに，この簡単な補正で足ります．

定常波

固定端に入射した波と反射波を足すと，三角関数の差を積に直して

y = A \sin (ω t - k x) - A \sin (ω t + k x) = - 2 A \sin k x \cos ω t

となります．この式では，場所の関数 $\sin k x$ と時間の関数 $\cos ω t$ が分かれています．どの点も同じ振動数で振動し，振幅 $2 A | \sin k x |$ だけが場所によって違い，波形はどちらへも進みません．このような波を定常波といいます．

振幅が0の点を節，最大の点を腹といいます．固定端の場合，節は $k x = - n π$ ，つまり端から $λ / 2$ ごとにあり，腹はその中央です．隣り合う節と腹の間隔は $λ / 4$ です．節をはさんだ両側は逆向きに振れ，節と節の間はすべて同じ向きに振れます．媒質の速度は $\frac{\partial y}{\partial t} = 2 A ω \sin k x \sin ω t$ で，弦全体がまっすぐになる瞬間（ $\cos ω t = 0$ ）に，腹の点が最も速く動きます．自由端の場合は $y = 2 A \cos k x \sin ω t$ で，端が腹になり，端から $λ / 4$ の所に最初の節があります．

［図：入射波と反射波からできる定常波］

初期状態はωt = π/6．右へ進む入射波を青の点線，左へ進む反射波を赤の点線，和を実線で示す．時刻を変えても黒い節は動かず，橙の印の腹がその場で振動する．節の間隔はλ/2，節と腹の間隔はλ/4である．

定常波では，右向きと左向きに同じ大きさのエネルギーが流れているので，平均すると正味のエネルギーは運ばれません．エネルギーは節と節の間に閉じ込められ，運動のエネルギーと弾性のエネルギーの間を行き来します．

弦のモード

両端 $x = 0$ と $x = l$ を固定した弦を考えます． $x = 0$ が節になる定常波は $y = C \sin k x \cos (ω t + ϕ)$ と書けます． $x = l$ も節であるには $\sin k l = 0$ ，つまり $k l = n π$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）でなければなりません．波数が飛び飛びの値に限られ， $ω = v k$ から振動数も決まります．

定理両端固定の弦のモード

長さ $l$ の弦で許される定常波は

λ_{n} = \frac{2 l}{n}, f_{n} = \frac{n v}{2 l} = \frac{n}{2 l} \sqrt{\frac{S}{μ}} (n = 1, 2, 3, \dots)

である． $n = 1$ を基本振動， $n \geq 2$ を $n$ 倍振動という． $n$ 番目のモードには腹が $n$ 個あり，弦の長さは半波長の整数倍になっている．

**［図：両端固定の弦の4つのモード］**
n = 1，2，3，4のモードを上から並べる．黒い点が節，橙の丸が腹である．両端は節で，腹がn個ある．青線は最大変位の瞬間，薄い線は半周期後を表し，長さlは半波長λₙ/2のn倍である．

1つ1つのモードは，振動数 $f_{n}$ で単振動する1つの振動子です．第7章の連成振動では， $N$ 個のおもりをばねでつなぐと $N$ 個の基準振動ができました．弦はおもりを細かくした極限なので，基準振動が無限にあり，それが $f_{n}$ の並びです．波動方程式は線形なので，弦のどんな運動もモードの重ね合わせで書けます．どのモードの周期も $1 / f_{1} = 2 l / v$ の整数分の1なので，全体は周期 $2 l / v$ で繰り返します．はじいた直後の形がどうであっても，聞こえる音の高さは基本振動数 $f_{1}$ で決まり，はじき方で変わるのはモードの混ざり方，つまり音色です（次の題材）．

指で軽く触れた点は，振れられないので節になります．弦の長さの $1 / 3$ の点に触れると，その点が節であるモード，つまり $n = 3, 6, 9, \dots$ だけが残り，基本振動の3倍の音が出ます．これがきりたんの話した「ハーモニクス」です．

第7章の共鳴も，モードごとに起こります．弦を振動数 $f$ で揺すると， $f$ がどれかの $f_{n}$ に近いとき，そのモードの振幅が大きくなります．振動子が1つの場合と違って，共鳴する振動数がたくさんあるのが弦や気柱の特徴です．弦を一方の端の近くで揺すって共鳴させるのがメルデの実験で，揺する端の振幅は小さいので，近似的に節とみなせます．

ここまでの近似の条件も確かめておきます．波動方程式を使えるのは，弦の傾きが十分小さく（振幅と波数の積 $A k$ が小さく），張力が一定とみなせるときです．また，固定端は端の支えが弦に比べて十分重く硬いという近似です．本物のギターではブリッジがわずかに動き，その動きが胴を揺らして音を大きくしています．完全な固定端なら，弦のエネルギーは外へ出ていきません．

気柱のモード

管の中の空気の変位 $ξ$ にも同じ考え方が使えます．閉口端を $x = 0$ とすると $ξ = A \sin k x \cos ω t$ で，開口端 $x = l$ で変位が腹，つまり $\cos k l = 0$ です．

定理気柱のモード（開口端補正を無視）

閉管（一端が閉じ，他端が開く）： $k l = \frac{(2 n - 1) π}{2}$ より $f = \frac{(2 n - 1) v}{4 l}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）．基本振動の奇数倍だけが出る．
開管（両端が開く）：両端とも変位の腹なので $f = \frac{n v}{2 l}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）．すべての整数倍が出る．
開口端補正 $Δ l$ を入れるときは，開いた端ごとに $l$ に $Δ l$ を足す．

**［図：閉管と開管の変位と圧力の振幅］**
左右に閉管と開管の低い3つのモードを並べる．変位ξの振幅の上下の包絡線は青の実線，圧力のずれδpは赤の点線で，縦の尺度はそれぞれ規格化している．閉口端は変位の節・圧力の腹，開口端は変位の腹・圧力の節になる．開口端補正は無視する．

同じ長さなら，閉管の基本振動数は開管の半分で，音は1オクターブ低くなります．クラリネットが同じくらいの長さのフルートより低い音を出し，奇数倍の音が強いのはこのためです．

2次元の膜でも，周りを固定すると飛び飛びのモードができます．太鼓の膜では，節は点ではなく線（節線）になり，モードの振動数は基本振動の整数倍に並びません．太鼓の音の高さがはっきりしないのはそのためです．金属板に砂をまいて揺すると，砂が節線に集まってクラドニ図形が見えます．

**［図：円形膜の低いモードとクラドニ図形］**
周りを固定した円形膜の低い4つのモードを示す．内部の節線は，なし，直径1本，直径2本，同心円1本で，振動数は基本振動の約1.000，1.593，2.136，2.295倍である．＋と−は同じ瞬間の変位の向きを示す．右の正方形の板は砂が節線に集まるクラドニ図形の模式図である．

平面の波の反射と屈折

水面の波のように平面に広がる波では，同じ位相の点を結んだ線（波面）が進みます．ホイヘンスの原理では，波面の上の各点から小さな円い波（素元波）が出て，それらに共通に接する線が次の波面になると考えます．

［図：素元波の共通接線と屈折波面］

初期状態では入射角θ₁ = 35°，速さの比v₂/v₁ = 0.70で，屈折波は法線に近づく．境界に到着した点から順に緑の素元波が広がり，橙の共通接線が屈折波面になる．入射角，速さの比，経過時刻を変えると波面の形成と屈折角θ₂の変化が分かる．

速さ $v_{1}$ の領域から $v_{2}$ の領域へ，入射角 $θ_{1}$ （波の進む向きと境界の法線のなす角）で波が入るとします．境界の点は1つの振動数で揺れるので，振動数は両側で同じです．さらに，境界に沿って並ぶ波面の間隔も両側で等しくなければ，境界で波がつながりません．その間隔は $λ_{1} / \sin θ_{1}$ と $λ_{2} / \sin θ_{2}$ なので，次の関係が出ます．同じ領域へ戻る反射波は速さが変わらないので，反射角は入射角に等しくなります．

法則屈折の法則

\frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

振動数は境界の両側で変わらない．

式で書くと，平面に広がる正弦波は，進む向きの単位ベクトルの成分を使って $y = A \sin [ω t - k (x \sin θ + z \cos θ)]$ です（ $z$ 軸を境界の法線， $x$ 軸を境界に沿ってとる）．境界 $z = 0$ で入射波と屈折波の位相がいつも合うことは，境界に沿う波数の成分が等しいこと， $k_{1} \sin θ_{1} = k_{2} \sin θ_{2}$ と同じです．

2つの波源の干渉

水面の2点 $S_{1}$ ， $S_{2}$ から，同じ振動数の波を出します．点 P までの距離を $r_{1}$ ， $r_{2}$ とし，P での2つの波を $y_{1} = A_{1} \sin (ω t - k r_{1})$ ， $y_{2} = A_{2} \sin (ω t - k r_{2} + α)$ とします． $α$ は波源の初期位相の差です．前の題材の複素数の足し算から，合成の振幅 $B$ は

B^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos δ, δ = k (r_{1} - r_{2}) + α

です．位相差 $δ$ は，経路差による分 $k (r_{1} - r_{2}) = 2 π (r_{1} - r_{2}) / λ$ と，初期位相の差 $α$ の和です．

ポイント 2つの波源の干渉の条件

強め合う： $δ = 2 m π$ ，弱め合う： $δ = (2 m + 1) π$ （ $m$ は整数）．
同位相の波源（ $α = 0$ ）なら，経路差 $| r_{1} - r_{2} |$ が $m λ$ で強め合い， $(m + 1 / 2) λ$ で弱め合う．逆位相（ $α = π$ ）なら逆になる．
弱め合う所の振幅は $| A_{1} - A_{2} |$ で，振幅が等しいときだけ0になる．

経路差が一定の点を結ぶと， $S_{1}$ ， $S_{2}$ を焦点とする双曲線になります．水面では，弱め合う双曲線に沿って水面がほとんど揺れない線（節線）が並んで見えます．実際の水面の波は広がるにつれて振幅が小さくなるので，2つの波源から遠さが違う点では振幅がずれ，節線の上でも完全には0になりません．

**［図：円い波の重なりと双曲線の節線］**
同位相の波源S₁，S₂から出る円い波の山を実線，谷を点線で示す．青と緑は各波源の波，橙の双曲線は山と谷が重なる節線である．緑の一点鎖線の垂直二等分線では2波が強め合う．図は振幅が等しい場合を示す．

問いに戻る

弦の上の波は，両端で跳ね返り，行きの波と帰りの波が重なって定常波を作ります．両端が節であるという境界条件を満たすのは，弦の長さが半波長の整数倍のときだけで，振動数は $f_{n} = n v / (2 l)$ の飛び飛びの値に限られます．どんなはじき方でも弦の運動はこれらのモードの重ね合わせで，全体は周期 $2 l / v$ で繰り返すので，音の高さは基本振動数 $f_{1} = \frac{1}{2 l} \sqrt{S / μ}$ で決まります．フレットを押さえて $l$ を短くするか，糸巻きで $S$ を大きくすると，音は高くなります．はじく強さで変わるのは振幅だけで，はじく場所で変わるのはモードの混ざり方です．

ポイントここまでのまとめ

固定端（変位0）では反射波の位相が $π$ ずれ，自由端（傾き0）では同じ位相で戻る．気柱の閉口端は変位の節・圧力の腹，開口端は変位の腹・圧力の節．
逆向きに進む同じ振幅の波の和は定常波で，節の間隔は $λ / 2$ ，節と腹の間隔は $λ / 4$ ．
両端固定の弦と開管は $f_{n} = n v / (2 l)$ ，閉管は $f = (2 n - 1) v / (4 l)$ ．開口端補正は開いた端ごとに $l$ に足す．
モードは1つ1つが振動子で，弦や気柱は多くの振動数で共鳴する．ギターの音の高さは基本振動数で決まる．
屈折では振動数が変わらず $\sin θ_{1} / \sin θ_{2} = v_{1} / v_{2}$ ．2つの波源の干渉は，経路差の位相に初期位相の差を足して判定する．