波と音

反射と定常波の例題

著者：柚木芹香

弦のモードと張力，気柱の共鳴による音速の測定，2つの波源の干渉を，例題で確かめます．どの例題も，境界条件や経路差から「どこが節になるか」を先に決めるのが出発点です．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

ギターの1本の弦は，両端を固定した長さ $l = 0.650 m$ の部分が振動し，線密度は $μ = 3.60 \times 10^{- 3} kg m^{- 1}$ である．調律が済んだとき，基本振動数は $110 Hz$ になる．

**［図：フレットで押さえる弦と軽く触れる弦］**
ナットとブリッジで固定された長さl = 0.650 mの弦を，2つの場合に分ける．上段は途中のフレットを押さえ，下段はナットからl/4の点に指を軽く触れる．フレットの位置は模式的に描く．線密度と調律後の基本振動数を示す．

調律が済んだときの弦を伝わる波の速さと，張力 $S$ を求めよ．
フレットを押さえて基本振動数を $165 Hz$ にするには，振動する部分の長さをいくらにすればよいか．張力と線密度は変わらないとする．
押さえずに，端から $l / 4$ の点に指を軽く触れたまま弦をはじく．聞こえる音のうち最も低い振動数を求めよ．
調律の前，弦と $110.0 Hz$ の音叉を同時に鳴らすと，毎秒 $2.0$ 回のうなりが聞こえた．張力を少し大きくすると，うなりの回数は減った．調律を済ませるには，張力を何倍にすればよいか．また，何 $N$ 増やせばよいか．

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考え方 両端固定の弦の基本振動では $l = λ / 2$ である．軽く触れた点は節になり，その点が節であるモードだけが残る．

$λ_{1} = 2 l = 1.30 m$ なので， $v = f_{1} λ_{1} = 110 \times 1.30 m s^{- 1} = 143 m s^{- 1}$ である． $v = \sqrt{S / μ}$ から

S = μ v^{2} = 3.60 \times 10^{- 3} \times 143^{2} N = 73.6 N

である．

張力と線密度が同じなら $v$ は変わらず， $f_{1} = v / (2 l)$ は長さに反比例する． $l^{'} = 0.650 \times \frac{110}{165} m = 0.433 m$ である．振動数の比 $3 / 2$ は完全5度で，弦の長さは $2 / 3$ 倍になる．
両端固定の $n$ 番目のモードは $y \propto \sin (n π x / l) \cos (ω_{n} t + ϕ_{n})$ で， $x = l / 4$ が節になるのは $\sin (n π / 4) = 0$ ，つまり $n = 4, 8, 12, \dots$ のときである．残る最も低い音は $n = 4$ で， $f_{4} = 4 \times 110 Hz = 440 Hz$ である．
うなりが毎秒 $2.0$ 回なので，弦の振動数は $108.0 Hz$ か $112.0 Hz$ である．張力を大きくすると $f_{1} \propto \sqrt{S}$ は高くなり，うなりが減ったのだから，元は $108.0 Hz$ で $110.0 Hz$ より低かった．張力は振動数の2乗に比例するので，必要な倍率は

\frac{S}{S_{0}} = {(\frac{110.0}{108.0})}^{2} = 1.037

である．調律の前の張力は $S_{0} = μ (2 l \times 108.0 Hz)^{2} \approx 71.0 N$ で，増やす張力は $S - S_{0} = μ (2 l)^{2} [(110.0 Hz)^{2} - (108.0 Hz)^{2}] \approx 2.7 N$ （ $3.7$ %）である．

確かめ：振動数の変化が小さいとき， $f \propto S^{1 / 2}$ から $Δ f / f \approx \frac{1}{2} Δ S / S$ である． $Δ f / f = 2.0 / 108 \approx 1.9$ % の2倍が $3.7$ % で，上の結果と合う．弦の振れが小さく張力が一定とみなせること，弦の両端が動かないことを仮定した．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

上端が開いたガラス管に水を入れ，水面の高さを変えられるようにする．管口の近くで振動数 $500 Hz$ の音叉を鳴らしながら水面を管口から下げていくと，管口から水面までの距離が $L_{1} = 0.155 m$ と $L_{2} = 0.495 m$ のときに，それぞれ1回目と2回目の共鳴が起こり，音が大きく響いた．

**［図：音叉と水面を使う気柱共鳴の装置］**
上端が開いたガラス管と水だめをゴム管でつなぎ，管口の上に500 Hzの音叉を置く．管口から下に測った1回目と2回目の共鳴の水面の位置はL₁ = 0.155 m，L₂ = 0.495 mである．点線は1回目，実線は2回目の水面を示す．管内の橙は1回目，青は2回目の変位の振幅で，水面が節，腹は管口の少し上にある．

音の波長と音速を求めよ．
開口端補正 $Δ l$ を求めよ．開口端補正が管の半径の $0.6$ 倍だとすると，管の半径はいくらか．
水面をさらに下げたとき，次に共鳴する水面の位置を求めよ．また， $L_{2}$ で共鳴しているとき，管の中で圧力のずれの振幅が最大になる位置をすべて答えよ．
$0^{\circ} C$ （ $273 K$ ）での音速を $331 m s^{- 1}$ とし，音速は絶対温度の平方根に比例するとする．実験室の温度を求めよ．

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考え方 水面は閉口端で変位の節，管口は開口端で，変位の腹は管口より $Δ l$ だけ上にある．共鳴は，水面から腹までの長さが $λ / 4$ の奇数倍のときに起こる．

1回目と2回目の共鳴では，水面から腹までの長さが $λ / 4$ と $3 λ / 4$ で，その差 $λ / 2$ が水面の位置の差に等しい．

λ = 2 (L_{2} - L_{1}) = 2 \times 0.340 m = 0.680 m, v = f λ = 340 m s^{- 1}

である．差をとったので，分からない $Δ l$ が消えている．

1回目の共鳴では $L_{1} + Δ l = λ / 4$ だから， $Δ l = 0.170 - 0.155 m = 0.015 m$ である．管の半径は $r = 0.015 / 0.6 m = 0.025 m$ ほどになる．
次の共鳴では腹までの長さが $5 λ / 4$ なので， $L_{3} = L_{1} + λ = 0.835 m$ である．圧力のずれの振幅が最大になるのは， $δ p = - γ p \frac{\partial ξ}{\partial x}$ から変位の節の位置である． $L_{2}$ の共鳴では，変位の節は水面（管口から $0.495 m$ ）と，そこから $λ / 2 = 0.340 m$ 上の点（管口から $0.155 m$ ）の2か所である．
$v \propto \sqrt{T}$ より

T = 273 \times {(\frac{340}{331})}^{2} K = 288 K

で，およそ $15^{\circ} C$ である．

確かめ： $Δ l > 0$ で， $L_{1}$ は $λ / 4$ よりわずかに短く，管口の外まで空気が動くという補正の向きと合う．開口端補正を $0.6 r$ とする近似は，管の半径が波長よりずっと小さいとき（ここでは $r / λ \approx 0.04$ ）に使える．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

水槽の水面の2点 $S_{1}$ ， $S_{2}$ を， $d = 5.0 cm$ 離して同じ振動数で上下に振動させ，波長 $λ = 1.2 cm$ の円い波を出す．はじめ2つの波源は同じ位相で振動する．2つの波の振幅は，考える範囲で等しいとする．

**［図：2波源の間隔と遠方の方向を表す角］**
同じ位相で振動する波源S₁，S₂を間隔d = 5.0 cmで配置し，波長λ = 1.2 cmの波の山を同心円で描く．橙の曲線は節線の例で，全部は描いていない．破線はそのうち1本の漸近線で，θは垂直二等分線からその漸近線までの角である．節線の本数とθの値は示さない．

線分 $S_{1} S_{2}$ を横切る節線は何本あるか．線分の上での節の位置を，線分の中点からの距離で答えよ．
波源から十分遠い所で，節線の向きは垂直二等分線から角 $θ$ の方向に近づく． $θ$ をすべて求めよ．
2つの波源を逆位相で振動させると，線分を横切る節線は何本になるか．
同位相に戻し， $S_{2}$ の波の振幅だけを $S_{1}$ の半分にした．(1) の節の位置の振幅は，強め合う位置の振幅の何倍になるか．

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考え方 点 P での位相差は $δ = k (r_{1} - r_{2}) + α$ である．同位相なら経路差 $r_{1} - r_{2}$ が半波長の奇数倍の所が節になる．三角形の2辺の差は第3辺より小さいので，経路差は $- d$ から $d$ の範囲を動く．

節線は $| r_{1} - r_{2} | = (m + 1 / 2) λ$ を満たす双曲線である． $(m + 1 / 2) \times 1.2 cm < 5.0 cm$ を満たすのは $0.6, 1.8, 3.0, 4.2 cm$ の4つで，経路差の正負それぞれにあるから節線は8本である．線分の上で中点から $S_{2}$ の側へ $x$ の点では $r_{1} = d / 2 + x$ ， $r_{2} = d / 2 - x$ で，経路差は $2 x$ である．節は $x = \pm 0.3, \pm 0.9, \pm 1.5, \pm 2.1 cm$ である．間隔 $0.6 cm$ は $λ / 2$ で，線分の上では逆向きに進む2つの波が定常波を作っていることと合う．
波源からの距離が $d$ より十分大きいと， $S_{1}$ と $S_{2}$ から P へ向かう線はほぼ平行で，経路差は $r_{1} - r_{2} \approx d \sin θ$ である．節線の方向は $d \sin θ = (m + 1 / 2) λ$ より $\sin θ = 0.12, 0.36, 0.60, 0.84$ で， $θ = {6.9}^{\circ}, 21^{\circ}, 37^{\circ}, 57^{\circ}$ （垂直二等分線の両側）である．
逆位相では $α = π$ で，節は経路差が $m λ$ の所になる． $m λ < 5.0 cm$ を満たすのは $0, 1.2, 2.4, 3.6, 4.8 cm$ で，経路差0の垂直二等分線と，その両側に4本ずつで，節線は9本である．
振幅を $A$ と $A / 2$ とすると，弱め合う所は $A - A / 2 = A / 2$ ，強め合う所は $A + A / 2 = 3 A / 2$ で， $1 / 3$ 倍である．振幅が違うと，弱め合っても0にはならず，節線は「揺れの小さい線」になる．

確かめ：(1) で $m = 4$ とすると経路差 $5.4 cm$ は $d$ を超えるので除いた． $\sin θ \leq 1$ の範囲の本数は (1) と同じ8本で，遠方の向きと線分の上の節が1対1に対応している．(2) は $d / r$ が十分小さい遠方での近似で，水面の波の振幅が距離とともに減るので，現実には波源の近くほど節がはっきりする．

ポイントここまでのまとめ

弦の基本振動数は $f_{1} = \frac{1}{2 l} \sqrt{S / μ}$ ．長さに反比例し，張力の平方根に比例する．軽く触れた点が節になるモードだけが残る．
気柱の共鳴の位置の差は $λ / 2$ で，差をとると開口端補正が消える．圧力のずれの振幅が最大になるのは変位の節．
2つの波源の干渉では，経路差の位相に初期位相の差を足す．節線は経路差が一定の双曲線で，その本数は経路差が $- d$ から $d$ の範囲にある節の条件の数．
振幅が違う2つの波は，弱め合っても0にならない．