波の反射と定常波の演習 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

$x \leq 0$ の弦を入射波 $y_{i} = A \sin (ω t - k x)$ が進み， $x = 0$ で反射します．固定端と自由端を考えます．波長は $λ$ ，周期は $T$ です．

反射波と合成波，端に最も近い変位の節を求めよ．
固定端では， $t = T / 4$ には弦全体の変位が0になる．このとき， $x = - λ / 4$ の媒質は静止するか．

**［図：固定端と軽い輪の自由端］**
xが0以下の弦を，原点の端へ向かって入射波が進む．固定端と，軽い輪が弦に対して横向きに動ける自由端を並べる．

解答を見る

考え方 固定端は変位0，自由端は張力の横成分0，つまり傾き0になる．

反射波は左向きなので $y_{r} = B \sin (ω t + k x)$ とする．固定端では $A + B = 0$ ，したがって $y_{r} = - A \sin (ω t + k x)$ ， $y = - 2 A \cos ω t \sin k x$ ．節は $x = - n λ / 2$ （ $n = 0, 1, \dots$ ），端も節である．自由端では $\partial y / \partial x |_{x = 0} = k (B - A) \cos ω t = 0$ から $B = A$ ． $y = 2 A \sin ω t \cos k x$ で，端に最も近い節は $x = - λ / 4$ となる．
固定端の媒質の速度は $\frac{\partial y}{\partial t} = 2 A ω \sin ω t \sin k x$ ．指定点では $- 2 A ω$ なので，下向きに最大の速さで動く．線形近似には $A k$ が十分小さい必要がある．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

気体を入れた長さ $l = 0.680 m$ の管で，閉管は $x = 0$ が閉口， $x = l$ が開口で，開管は両端開口です．開口端補正を無視します．温度 $289 K$ で音速は $340 m s^{- 1}$ です．

低い3つの共鳴振動数を求めよ．
閉管の3番目の変位を $ξ = A \sin k x \cos ω t$ として，圧力振幅が最大の位置を求めよ． $δ p = - γ p \frac{\partial ξ}{\partial x}$ を使える．
温度を $324 K$ にする．音速は絶対温度の平方根に比例し，伸びは無視する．元の3番目の音で閉管は共鳴するか．

**［図：長さが等しい閉管と開管］**
長さlが0.680 mの閉管と開管を並べる．閉管のx=0は閉口で，x=lは開口である．開管は両端とも開口である．

解答を見る

考え方 開口は圧力0，閉口は変位0で，圧力と変位の節・腹は入れ替わる．

閉管では $k l = (2 n - 1) π / 2$ なので $f_{n} = (2 n - 1) v / (4 l)$ ．順に $125, 375, 625 Hz$ ．開管では $k l = n π$ ， $f_{n} = n v / (2 l)$ なので $250, 500, 750 Hz$ となる．
$k = 5 π / (2 l)$ ， $δ p = - γ p A k \cos k x \cos ω t$ ． $| \cos k x | = 1$ の位置は $x = 0, 2 l / 5, 4 l / 5$ ，つまり $0, 0.272, 0.544 m$ ．開口は圧力の節である．
速さと各共鳴振動数は $\sqrt{324 / 289} = 18 / 17$ 倍になる．3番目は $662 Hz$ へ移る． $(2 n - 1) \times 125 \times 18 / 17 = 625$ を満たす整数 $n$ はなく，元の音では共鳴しない．端補正と熱膨張を無視し，圧縮 $A k$ が小さい範囲である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

メルデの実験で，有効長 $l = 1.05 m$ の弦を $f = 50.0 Hz$ で振りました．滑らかな滑車に質量 $m$ をつるし，張力は $S = m g$ です． $g = 9.80 m s^{- 2}$ です．両端を変位の節と近似し，共鳴時の腹の個数 $n$ を記録しました．伸びと張力の変動は無視します．

$m$ （ $kg$ ）	$0.0125$	$0.0500$	$0.1125$
$n$	$6$	$3$	$2$

$m$ と $1 / n^{2}$ の関係を導き，線密度 $μ$ を求めよ．
腹4個の質量を予測せよ．腹を増やすには張力をどう変えるか．

**［図：メルデの実験装置］**
駆動装置で有効長lが1.05 mの弦を振動数50.0 Hzで振る．弦は滑らかな滑車を介して質量mのおもりにつながる．

解答を見る

考え方 振動数を保つと張力が腹の個数を決める．

$l = n λ / 2$ ， $f = v / λ$ ， $v^{2} = m g / μ$ より $m = 4 μ l^{2} f^{2} / (g n^{2})$ ． $m$ と $1 / n^{2}$ は原点を通る直線で，表では $m n^{2} = 0.450 kg$ なので

μ = \frac{g m n^{2}}{4 l^{2} f^{2}} = 4.00 \times 10^{- 4} kg m^{- 1}

となる．

$m = 0.450 / 4^{2} kg = 0.0281 kg$ ． $n \propto 1 / \sqrt{m}$ だから腹を多くするには張力を減らす． $g m n^{2} / (l^{2} f^{2})$ の次元は線密度である．駆動端を節とするには，駆動端と腹の振幅比も十分小さい必要がある．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

水面波が速さ $v_{1} = 0.30 m s^{- 1}$ の領域から $v_{2} = 0.20 m s^{- 1}$ の帯へ進みます．幅は $b = 0.60 m$ ，両境界は平行で，帯の外では速さが $v_{1}$ に戻ります．振動数は $f = 10 Hz$ ，入射角は法線から $θ_{1} = 30^{\circ}$ です．

境界に沿う波面の間隔が共通になることから，屈折角 $θ_{2}$ と波長を求めよ．
出射方向と，後の境界上での直進位置からのずれを求めよ．

**［図：平行な境界をもつ水面波の帯］**
幅bが0.60 mの帯を示す．入射波は法線から角θ_1が30°の向きに進み，波面は進行方向に垂直である．帯の外の速さはv_1，帯の中はv_2である．

解答を見る

考え方 境界上の波の周期と交点は両側で等しい．

境界に沿う間隔は $λ_{1} / \sin θ_{1} = λ_{2} / \sin θ_{2}$ ．振動数は一定で $λ_{j} = v_{j} / f$ なので $\sin θ_{2} = (v_{2} / v_{1}) \sin θ_{1} = 1 / 3$ ， $θ_{2} = 19^{\circ}$ ．波長は $λ_{2} = v_{2} / f = 0.020 m$ である．
出射角を $θ_{3}$ とすると $\sin θ_{3} = (v_{1} / v_{2}) \sin θ_{2} = \sin θ_{1}$ ，よって $θ_{3} = 30^{\circ}$ ．出射波は入射波と平行．ずれは丸める前の角度で

Δ = b (\tan θ_{1} - \tan θ_{2}) = 0.60 (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{8}}) m = 0.13 m

である． $v_{2} \to v_{1}$ なら差は0になる．小振幅で， $λ_{2} / b = 0.033$ も小さいことを使った．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

水路の $x = 0, d$ の波源が，同じ振動数の波を逆位相で内側へ出します． $d = 5 λ / 4$ で， $λ$ は波長です．振幅は一定ですが異なり，反射・吸収を無視します． $0 < x < d$ で合成波の振幅は最大 $0.90 mm$ ，最小 $0.30 mm$ でした．

各振幅を大小で求め，合成振幅 $B (x)$ の式を導け．
振幅の極値の位置をすべて求めよ．節はあるか．
速さ・振幅・逆位相を保ち，振動数を2倍にする．元の最大位置はどうなるか．

**［図：逆位相の波源と水路内の測定点］**
x=0とx=dの波源が逆位相の波を内側へ出す．間隔はd=5λ/4で，測定点xは二つの波源の間にある．

解答を見る

考え方 位相差 $π$ に経路差の位相を足して合成する．

$A_{1} > A_{2}$ とすれば $A_{1} + A_{2} = 0.90 mm$ ， $A_{1} - A_{2} = 0.30 mm$ より $A_{1} = 0.60 mm$ ， $A_{2} = 0.30 mm$ ．大小の波源は特定できない．2波は $A_{1} \sin (ω t - k x)$ ， $A_{2} \sin [ω t + π - k (d - x)]$ と書ける．位相差は $π + k (2 x - d)$ なので

B^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} - 2 A_{1} A_{2} \cos [k (2 x - d)]

である．

最小は $2 x - d = n λ$ ，つまり $x = λ / 8, 5 λ / 8, 9 λ / 8$ ．最大は $2 x - d = (n + 1 / 2) λ$ ，つまり $x = 3 λ / 8, 7 λ / 8$ ．整数 $n$ は $0 < x < 5 λ / 4$ から選ぶ．最小でも $B = A_{1} - A_{2} > 0$ なので変位の節はない．
波数は $2 k$ ．元の最大位置で $k (2 x - d) = \pm π$ を2倍すると $\pm 2 π$ ．余弦は1となり，両方とも最小になる． $A_{1} = A_{2}$ なら最小値は0となり，節が現れる．